高三数学一轮复习-圆锥曲线微专题-焦点三角形讲义

1、圆锥曲线微专题焦点三角形一、焦点三角形定义1.椭圆焦点为，P为椭圆上的点，则；2.双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，则二、典例分析题型一：焦点三角形的周长椭圆焦点三角形周长：2a+2c，双曲线的周长利用进行计算例1若椭圆（其中ab0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）ABCD例2.已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，则的周长的最小值为（ ）ABCD自主练习1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）A20B16C18D142.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5

2、，若2a8，那么ABF2的周长是（ ）ABCD题型二：焦点三角形的面积椭圆中焦点三角形面积公式双曲线中焦点三角形面积公式例1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则_例2.已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，则的面积为 例3.双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为 .自主练习1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为16，则_2.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 ( )A. B.3 C. D.23.已知、为双曲线:的左、右焦点，点在上,=，则到轴的距离为 ( )A. B. C. D.4.已知、为双曲线C：的

3、左、右焦点，点P在C上，P=，则（ ）A2B4C6D8题型三：焦点三角形与离心率椭圆中的离心率双曲线中的离心率例1.设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,则的离心率为 ( )A. B. C. D.例2.已知双曲线的焦点为，点为双曲线上一点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD例3.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD自主练习1.已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，则（ ）ABCD2.已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，则双曲线E的离心率为ABC2D33.已知椭圆：的左右焦点分别为，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心

4、率的取值范围为（ ）ABCD题型四：焦点三角形与其他知识的综合运用例1.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（ ）ABCD自主练习1.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若则的面积为 ( )A. B. C. D.三、综合练习1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）A20B16C18D142若椭圆（其中ab0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）ABCD3.设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则 ( )A. B. C. D.4.已知F1，F2是椭圆1的

5、两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A6B5C4D35.椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足：，且，则（ ）A1BCD26.已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，为其焦点，在中，则椭圆的离心率为（ ）ABCD7.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（ ）ABCD8已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（ ）ABCD9.已知点是双曲线上一点，分别为双曲线

6、的左右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ）A15B16C18D2010.设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（ ）ABCD2023届圆锥曲线微专题焦点三角形解析一、焦点三角形定义1.椭圆焦点为，P为椭圆上的点，则；2.双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，则二、典例分析题型一：焦点三角形的周长椭圆焦点三角形周长：2a+2c，双曲线的周长利用进行计算例1若椭圆（其中ab0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）ABCD【答案】D【解析】椭圆（其中ab0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的

7、周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中ab0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：故选D例2.已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，则的周长的最小值为（ ）ABCD【答案】A【详解】设双曲线的左焦点为，则由题可知，的周长为当，三点共线时，最小，最小值为，的周长的最小值为故选：A自主练习1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）A20B16C18D14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a8，那么ABF2的周长是

8、（ ）ABCD【答案】A【详解】解析：|AF2|AF1|2a8，|BF2|BF1|2a8， |AF2|BF2|(|AF1|BF1|)16， |AF2|BF2|16521， ABF2的周长为|AF2|BF2|AB|21526. 故选：A.题型二：焦点三角形的面积椭圆中焦点三角形面积公式双曲线中焦点三角形面积公式例1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则_【答案】3【解析】例2.已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，则的面积为 【答案】【解析】例3.双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为 .【解析】由等面积得：。自主练习1.已知椭圆的左、右焦点分别为、

9、，为椭圆上一点，且，若的面积为16，则_【答案】4【解析】2.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 ( )A. B.3 C. D.2【解析】由，得，选B。3.已知、为双曲线:的左、右焦点，点在上,=，则到轴的距离为 ( )A. B. C. D.【解析】由等面积得：，选B。4.已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，P=，则（ ）A2B4C6D8【答案】B【解析】由双曲线的定义得,又,由余弦定理，由2-得，故选B题型三：焦点三角形与离心率椭圆中的离心率双曲线中的离心率例1.设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,则的离心率为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，选D

10、。例2.已知双曲线的焦点为，点为双曲线上一点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】设 ， ， ，解得 ， 故选D.例3.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，由，即椭圆离心率的取值范围为选B自主练习1.已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】2.已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，则双曲线E的离心率为ABC2D3【答案】A【解析】3.已知椭圆：的左右焦点分别为，若在椭圆上存在点，使得，则

11、椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】，（当且仅当时取等号），由椭圆定义知：，又，又，离心率的取值范围为.故选：.题型四：焦点三角形与其他知识的综合运用例1.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则由余弦定理得.又，则，解得，所以.因为，所以，所以，所以的取值范围是.故选：B.自主练习1.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若则的面积为 ( )A. B. C. D.【解析】设，则，由双曲线的定义得：，,所以由勾股定理得为焦点直角三角形，所以，选B。三、综合练习1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在

12、此椭圆上,则的周长等于（ ）A20B16C18D14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.2若椭圆（其中ab0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）ABCD【答案】D【解析】椭圆（其中ab0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中ab0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：.3.设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则 ( )A. B. C. D.【解析】由向量中线定理得：=，选B。4.已知F1

13、，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A6B5C4D3【答案】A【解析】AF1B的周长公式4a=16,第三边等于16-10=65.椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足：，且，则（ ）A1BCD2【答案】C【解析】设，则，又（1），（2），式平方减去（2）式得：，得：.故选：C.6.已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，为其焦点，在中，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得：，所以，所以，解得.故选：C7.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】当是椭圆的上下顶点时，最大，则椭圆的离心率的最小值为.故选：C.8已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，做出示意图如下图所示，由椭圆与双曲线的定义得，所以得，又因为，由