2021-2022学年湖南省长沙市万寿山中学高三数学理期末试卷含解析

1、2021-2022学年湖南省长沙市万寿山中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)参考答案：D2. 设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若m，m，则若m，m，则若m，n，则mn若mn，则mn上述命题中，所有真命题的序号是（）ABCD参考答案：A【考点】空间中直线与平面

2、之间的位置关系【分析】根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可同时利用反例的应用【解答】解：若m，m，则这是直线和平面垂直的一个性质定理，故成立；若m，m，则或，相交，故不成立；若m，n，则m，n平行、相交或异面，则错误；由垂直与同一平面的两直线平行可知：为真命题，故选：A3. 设非空集合 满足，则 （ ）A B，有C，使得 D，使得参考答案：B4. 设函数的零点为，函数的零点为，若，则可以是A.B.C. D.参考答案：B，则,所以 。若为A.，则的零点为，所以，所以，不满足题意。如为B. 的零点为，所以，所以满足。若为C. 的零点为，所以，不满足题意。若为

3、D.的零点为，即，所以，不满足题意，所以选B.5. 已知函数的图象关于点对称，则在上的最大值为（ ）A B C D参考答案：D6. 已知集合则为（ ） A B C D参考答案：A略7. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A B C D参考答案：A，故选A8. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则=( ) (A) (B) (C) (D) 参考答案：A 9. 复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )A B C D参考答案：A【知识点】复数的基本概念与运算L4由-i）i|+i5=+i4?i=2+i，得=2-i【思路点拨】直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则

4、复数z的共轭复数可求10. 中，为锐角，点O是外接圆的圆心，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若离散型随机变量的分布列为10则常数 ，的数学期望 参考答案：， 12. 已知，若，则的值为参考答案：1或 13. 已知O为坐标原点，点M（3，2），若N（x，y）满足不等式组，则 的最大值为_参考答案：1214. 已知在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，1）到直线l的距离分别为1和2，则这样的直线l共有 条参考答案：3【考点】直线的截距式方程 【专题】数形结合；综合法；直线与圆【分析】由于AB=2+1，故满足条

5、件的且和线段AB有交点的直线存在，故满足条件的直线有三条，另外两条直线位于线段AB的两侧【解答】解：AB=3=2+1，故存在和线段AB有交点的直线故满足条件的直线有三条，如图：故答案为：3【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想15. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_。参考答案：16. 在中，则=参考答案：117. 已知点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则|BF|=参考答案：10【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】由题意先求出准线方程x=2，再求出p，从而得到抛物线方

6、程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的距离公式可求得【解答】解：点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=2，p0，=2即p=4，抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y=2，则在切点处的斜率为，=，即m+2=23，解得： =2或（舍去），切点B（8，8），又F（2，0），|BF|=10故答案为：10三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知三棱锥，分别 为的中点，且为正三角形.（1）求

7、证：平面；（2）若，求点到平面的距离参考答案：（）解：因为 为正三角形，为中点因为EF,，又因为AB，平面 ，又因为AD平面 （）设点到平面的距离为因为AC=10,BE=BC=5，在中，因为F为中点， 因为CD=3,BC=5,BD=4 点到平面的距离为略19. 已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：相切，设点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1（1，0），F2（1，0）两点分别作F1Pl2，F2Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直

8、线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索（d1+d2）?d3是否存在最值？若存在，请求出最值参考答案：【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，求出圆的方程为x2+y2=12，由此利用相关点法能求出曲线C的方程（2）将直线l2：y=kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出（d1+d2）?d3存在最大值，并能求出最大值【解答】解：（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，得R，即R=2，圆的

9、方程为x2+y2=12，设A（x0，y0），N（x，y），AMx轴于M，M（x0，0），（x，y）=（x0，y0）+（）（x00）=（），即，点A（x0，y0）为圆C1上的动点，=12，（）2+（2y）2=12，=1（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=0，整理得m2=4k2+3，且，1当k0时，设直线l2的倾斜角为，则d3?|tan|=|d1d2|，即=m2=4k2+3当k0时，2当k=0时，四边形F1F

10、2PQ为矩形，此时，d3=2综上1、2可知，（d1+d2）?d3存在最大值，最大值为20. （本题满分16分）已知双曲线（1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知点的坐标为设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点记求的取值范围；（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长试将表示为直线的斜率的函数参考答案：【解析】（1）所求渐近线方程为 .3分 （2）设P的坐标为，则Q的坐标为， .4分 7分的取值范围是 9分 （3）若P为双曲线C上第一象限内的点， 则直线的斜率 11分 由计算可得，当 当 15分 s表示为直线的斜率k的函数是.16分21. （1

11、2分）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2ac）cosBbcosC=0（1）求B；（2）设函数f（x）=2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间参考答案：考点：正弦定理专题：解三角形分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosB的值，即可确定出B的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间解答：解：（1）由（2ac）cosBbcosC=0及正弦定理得，（2sinAsinC）cosBs

12、inBcosC=0，即2sinAcosBsin（B+C）=0，因为A+B+C=，所以sin（B+C）=sinA，因为sinA0，所以cosB=，由B是三角形内角得，B=，（2）由（1）得，B=，则f（x）=2cos（2x+B）=2cos（2x+），所以g（x）=2cos2（x+）+，=2cos（2x+）=2sin2x，由得，故函数g（x）的单调递增区间是：点评：本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题22. （12分）曲线C是中心在原点，焦点在轴上的双曲线，已知它的一个焦点F的坐标为（2，0），一条渐进线的方程为，过焦点F作直线交曲线C的右支于PQ两点，R是弦PQ的中点。 （）求曲线C的方程； （）当点P在曲线C右支上运动时，求点R到轴距离的最小值； （）若在轴在左侧能作出直线，使以线段pQ为直径的圆与直线L相切，求m的取值范围。参考答案：解析：（）设所求双