垂直关系的判定

1、垂直关系的判定第1页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二问题提出1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究.2.直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，我们如何从理论上加以认识？第2页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 思考1：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？第3页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考2：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线

2、）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？第4页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考3：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？ ABC第5页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直. 第6页，共41页，2022年，

3、5月20日，11点43分，星期二思考5：在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直？l第7页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考6：如果直线l与平面垂直，则直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足.那么过一点可作多少条平面的垂线？过一点可作多少个直线l的垂面？lA垂线垂面垂足第8页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二知识探究（二）：直线与平面垂直的判定 思考1：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？第9页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考2：我们需要寻求一个简单

4、可行的办法来判定直线与平面垂直.如果直线l与平面内的两条直线垂直，能保证l吗？如果直线l与平面内的一条直线垂直，能保证l吗？第10页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.思考5：上述定理通常称为直线和平面垂直的判定定理，它是判定直线与平面垂直的理论依据.结合下图，怎样用符号语言表述这个定理？alPb第11页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考6：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？第12页，共41页，2022年，5月20日，11点43分

5、，星期二巩固练习练习1 如图，空间中直线b和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C 相交 D不确定第13页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二理论迁移例1 已知 .求证：abcd第14页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二练习2 圆O所在一平面为，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC（3）图中哪些三角形是直角三角形。 巩固练习第15页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二例2 在三棱锥P-ABC中，PA

6、平面ABC，ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.PABCD第16页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1CB1D1，说明你的理由.AA1BCDB1C1D1第17页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二问题提出 1.空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.二：平面与平面垂直的判定第18页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期

7、二知识探究（一）：二面角的有关概念 思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？半平面半平面射线射线第19页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考2:将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，你能画一个二面角的直观图吗？第20页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考3:在二面角-l-的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用AOB来刻画二面角的张开程度？lOAB第21页，共41

8、页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考4:在上图中如何调整OA、OB的位置，使AOB被二面角-l-唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？lOABlOAB第22页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考5:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.lOAB第23页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考6:二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角

9、叫做直二面角. 当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？第24页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考7:如图，过二面角-l-一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则AOB是二面角的平面角吗？为什么？ABOl第25页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考8:如图，平面垂直于二面角的棱l，分别与面、相交于OA、OB，则AOB是二面角的平面角吗？为什么？lAOB第26页，共41页，2022年，5月20日，11点43

10、分，星期二理论迁移 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O第27页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二平面与平面垂直的判定第28页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二知识探究（一）：两个平面垂直的概念 思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？第29页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称

11、这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？第30页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？第31页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考5:如果平面平面，那么平面内的任一条直线都与平面垂直吗？第32页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二知识探究（二）：两个平面垂直的判定 思考1:根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？思考2:如图，AOB为直二面角-l-的平面角，那么直线AO与平面的位置关系如何？ABOl第33页，共41页，2022年，5月20日，

12、11点43分，星期二思考3：在二面角-l-中，直线m在平面内，如果m，那么二面角-l-是直二面角吗？mla第34页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.第35页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？l第36页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二思考6:过一点P可以作多少个平面与平面垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面垂直？Pll第37页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二PABCD例一：如图RTABC中， B=90，P为ABC外一点，PA平面ABC,问：四面体PABC中有几个直角三角形？第38页，共41页，2022年，5月20日，11点43分，星期二理论迁移 例1 如图，O在平面内，AB是O的直径，PA，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. PABCO第39页，共41页，2022年，5月20日