2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是(

)A.C51C22 B.C52.(x−2)(x−3)(x−4)…(x−16)(x∈N∗,x>16)A.Ax−214 B.Ax−215 C.3.若4名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组．每人选报1项．则不同的报名方式有(

)A.34种 B.43种 C.3×2×1种 D.4.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1A.AM=12AB+12AD+5.在正方体ABCD−A1B1A.A1D1⊥B1C B.6.房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是(

)A.31 B.32 C.63 D.647.已知向量a=(1,1,2),b=(−3,2,0)，则aA.(34,34,328.已知a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(bmodm).如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21(bmod6)，若a=C240+C241⋅2+A.2024 B.2023 C.2022 D.2021二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中正确的是(

)A.若向量a，b满足a⋅b<0，则向量a，b的夹角是钝角

B.若OA,OB,OC是空间的一组基底，且OD=2OA−3OB+2OC，则A，B，C，D四点共面

C.若向量{a,b,c}是空间的一个基底，若向量m10.已知(x+2)7=aA.a2=21

B.a1+a2+a3+a4+a5+a611.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.当λ=0时，平面BDF⊥平面BDC1

B.任意λ∈[0,1]，三棱锥B−ADF的体积是定值

C.存在λ∈[0,1]，使得AC1与平面BDF所成的角为π3

D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在三棱锥A−BCD中，E、F、G分别是AB、BC、AD的中点，∠GEF=100°，则BD和AC所成角的度数为______．13.12!+23!14.某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，一共用了1540个球.第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，则这位同学共堆积了______层.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

有3名女生4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数．

(1)全体排成一行，其中4名男生互不相邻；

(2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有1人；

(3)全体排成前后两排，前排3人，后排4人，且后排至少2个男生16.(本小题15分)

已知在图(1)的平面四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=4，BC=CD=26，沿着对角线BD将△ABD折起，如图(2)中点A到达A1处，使平面A1BD⊥平面BDC．

(1)求线段A1C的长度；

17.(本小题15分)

已知(2x+1x)n,n∈N∗的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3．

18.(本小题17分)

如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，A1A=4，且A1A⊥底面ABCD，点Q满足BQ=3QC，点P是棱DD1上的一个点(包括端点)．

(1)19.(本小题17分)

莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数n都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：n=p1r1p2r2…pkrk(k为n的质因数个数，pi为质数，ri≥1，i=1，2，…，k)，例如：90=2×32×5，对应k=3，p1=2，p2=3，p3=5，r1=1，r2=2，r3=1．

现对任意n∈N∗，定义莫比乌斯函数μ(n)=1,n=1(−1)k,r1=r2=…=r参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.D

9.BC

10.ACD

11.BC

12.80°

13.1−114.20

15.解：(1)根据题意，全体排成一行，其中4名男生互不相邻，

必须男女相间排列，且女生在两端，有A44A33=144种排法；

(2)根据题意，分2步进行分析：

①在除甲乙外的5人中，选出1人，安排在甲乙之间，与甲乙一起作为一个整体，有C51A22=10种情况，

②将这个整体与其他4人全排列，有A55=120种排法，

则有10×120=1200种排法；

(3)根据题意，分3种情况讨论：

①后排2男2女，有C42C32A416.解：(1)取BD的中点O，连接A1O，OC，

又因为∠A=90°，AB=AD=4，BC=CD=26，所以A1O⊥BD，

因为平面A1BD⊥平面BDC，平面A1BD∩平面BDC=BD，

A1O⊂平面A1BD，所以A1O⊥平面BDC，

而OC⊂平面BDC，

所以A1O⊥OC，A1O=22，OC=BC2−OB2=24−8=4，

所以A1C=A1O2+OC2=8+16=26；

(2)由(1)以O为坐标原点，以OC，OD，OA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A1(0,0,22)，D(0,22,0)，B(0,−22,0)，C(4,0,0)，

BA117.解：(1)由于(2x+1x)n的第2项与第3项的二项式系数之比为1：3，

故Cn1：Cn2=1：3，整理得nn(n−1)2=13，解得n=7．

故(2x+1x)7的展开式的通项为Tr+1=C7r⋅218.解：因为A1A⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，

所以AB，AD，AA1两两互相垂直，

则以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，B1(2,0,4)，C1(2,2,4)，D1(0,2,4)，

(1)证明：因为BD=(−4,4,0)，B1D1=(−2,2,0)，

所以BD=2B1D1，即BD//B1D1，

又因为BD，B1D1不在一条直线上，所以B1D1/​/BD；

(2)因为点Q满足BQ=3QC，点P是棱DD1上的一个点(包括端点)，

所以Q(4,3,0)，设DP=λDD1=λ(0,−2,4)=(0,−2λ,4λ)，(0≤λ≤1)，

所以AQ=(4,3,0)，AP=AD+DP=(0,4,0)+(0,−2λ,4λ)=(0,4−2λ,4λ)，

设平面PAQ的法向量为m19.解：(1)∵66=2×3×11，k=3，p1=2，p2=3，p3=11，r1=1，r2=1，r3=1，