《平面向量》课堂实录

1、平面向量课堂实录高一数学组 钟运强教学内容：人民教育出版社 数学 必修4 第二章 课题：复习课教学设计：学生情况分析：通过学习本章的内容，学生对平面向量的实际背景及基本概念、平面向量线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量在物理和几何中的简单运用等知识都有了较深刻的了解，初步掌握了本章的内容，但对平面向量及其运算的意义理解还不深，运用向量语言和方法表述数学和物理中一些问题存在一定的困难，运算能力和解决实际问题的能力还有待提高。自学提纲：基本知识：什么是向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、两向量的夹角？平面向量基本定理是什么？什么是基底？什么

2、是向量的加法的平行四边形法则和三角形法则？运用平行四边形法和三角形法则分别有什么要求？如何用这两个法则求两向量的和与差？实数与向量的乘法的意义是什么？什么是向量的坐标表示和坐标表示法？向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法）有什么法则？数量积（点乘或内积）的概念是？数量积=|cos=xx+yy与“实数与向量的乘法”有何区别？基本方法和技巧：（1）、证明向量平行（共线）问题有哪些方法？（2）、怎么解答向量夹角、垂直问题？（3）、如何计算向量的模（长度）？各个环节要达到的学习目标及时间安排（1）、学习目标：、了解向量的实际背景，理解平面向量、向量相等的含义及几何表示；、掌握向量加法、减法及数乘运

3、算，并理解其几何含义；、了解向量的线性运算性质及其几何意义；、了解平面向量的基本定理及其意义；、会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件、理解平面向量数量积的含义及其物理意义；、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；能用向量的知识解决一些简单的平面几何问题、力学问题和其他一些实际问题。（2）、自学（约8分钟）（复习回顾本章主要内容）（3）、探究（约15分钟）、第一、第二大组的同学探究自学提纲中“基本知识”的七个问题。、第三、第四大组的同学探究自学提纲中“方法技巧”的三个问题。（

4、4）反思（约17分钟）教学过程：创设问题情景、引入导学：同学们，这段时间我们学习了平面向量的有关知识，对平面向量的实际背景及基本概念、平面向量线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量在物理和几何中的简单运用等知识都有了较深刻的了解，初步掌握了本章的内容，这节课，我们将对本章的知识和方法技巧进行梳理、归纳和总结，希望同学们通过这节课的学习能较好的掌握本章的知识，灵活熟练应用向量的知识解决与向量有关的问题。自学（学生阅读本章内容和课堂笔记，教师出示自学提纲前5分钟学生独立自学，后5分钟小组互学）探究师：现在请第一、第二大组的同学回答自学提纲基本知识部分的七个问题？第一个问

5、题，看看哪位同学来回答？（自由发言，踊跃举手）生：向量是既有大小又方向的量；例如：位移和速度都是向量；向量的模是指向量的长度；零向量是长度为零的向量；长度为一个单位的向量就是单位向量；方向相同或相反的非零向量叫平行向量；长度相等且方向相反的向量叫做相等向量；长度相等，但方向相反的一组向量叫做互为相反的向量；起点相同的两个非零向量所成的角角做两向量的夹角。师：回答得很好，看来同学对概念掌握得不错。现在请回答第二个问题，看谁来？生：平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。师：对，请坐

6、下，第三个问题，请两个同学上来分别用三角形法则和平行四边形法则做出向量的和及差向量，其他同学自己在练习本上做。学生纷纷举手，跃跃欲试。老师随机的点了两名学生上黑板做图，巡视其他同学，解答学生的疑问。约两分钟后大部分学生都做完。师：大家注意，用平行四边形法则求两向量的和及差是要求两向量的起点相同，如果不同则要通过平移移到同一起点；那么用三角形法则求向量的差时又要注意什么呢？生：要求两向量首尾向量。师：对，很好，现在我们来回答下一个问题，谁来呢？生：实数与向量的乘法的意义是把向量的长度扩大（当|1时），也可以是缩小（当|1），同时，可以不改变向量的方向（当0时），也可以改变向量的方向当（当0时）。

7、师：掌握得很好，请坐下，实数与向量的乘法的乘积还是向量，但是向量的数量积是实数，大家要注意区分。现在我想请一位女生来回答第六个问题，看哪位勇敢的女生来？向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）有什么法则？（女生很活跃）生：两向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量相应坐标。两非零师：女生的表现很好，现在我想请男生来回答最后一个问题。（男生不甘示弱，比女生更踊跃的举手，都想发言）生：向量与数量积为： =xx+yy，其中是与的夹角。数量积与实数与向量的数乘的区别是：数量积的结果是个实数，数乘的结果还是向量。师：看来男生和女生的实

8、力平分秋色，旗鼓相当啊，基本的知识我复习完了，该总结解题的技巧和 方法了，本章学习那些技巧和方法？请第三、第四大组的同学来回答。生：证明向量平行或共线问题有两种方法：向量与（） 共线存在唯一实数，使得。向量=共线 师：对，其他同学有没有补充？还有其他的方法吗？（有一部分学生发言）生：还有另外两种方法：向量与共线 ；向量与共线 存在不全为零的实数使得师：很好，掌握得很好，这两种方法都是经常用的，大家要掌握好。那么怎么求解向量的夹角和垂直问题呢？（学生一起发言）生：用，数量积师：对用数量积，还记得公式吗？哪位同学来说？生：非零向量的夹角为，则师：很好，公式要记熟，以免用错，现在还剩下最后一个问题，

9、看看同学来。生：应用模的计算公式（其中）生：还可以用平行四边形法则或三角角行法则；生：还有用向量的不等式师：说得对，这三种方法都很常用，但是还有一种方法大家忽略了，要求向量的模，我们是不是可以先求出，模的平方，然后在开平方呢？（学生恍然大悟，纷纷赞同）生：哦？！是可以，可以。反思训练：一、选择题、已知向量与不共线，且，则下列结论中正确的是（ ）.向量与垂直 .向量与垂直 .向量与垂直 .向量与共线、如果向量与共线 ,且方向相反，则的值为（ ）.、已知向量、的夹角为，若，则的值为（ ）.、已知向量，向量，且，则的最小值为（ ）.、下列命题中：若，且，则或;若,则或;若不平行的两个非零向量、满足，则;若与平行，则；若，则；若，则其中真命题的个数是（ ）.、已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）.、若向量，则在方向上的投影为（ ）.二、填空题1已知，则的最大值为_2已知，则的中点的坐标是_.3已知，其中、是互相垂直的单位向量，则的值为三、解答题1、如图所示，中，若，试用向量，来表示2、已知，向量、是否共线？请说明理由求函数的最大值教学反思通过本节课的学习，学生对平面向量这章的内容理解更加深入，基本上掌握了本章的内容，对平面向量及其运算的意义理解加深了，运用向