山东省威海市2024届高三下学期二模试题 数学 含解析

2024年威海市高考模拟考试数学注意事项：1、答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为（）A.20 B.21 C.22 D.23.52.在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则=（）A.2 B.3 C.4 D.65.已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线过点F，且与C在第一象限的交点为A，若，则p=（）A.2 B.4 C.8 D.126.在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为（）A. B. C. D.7.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）A.-2 B.-1 C.1 D.28.设，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.是纯虚数B.对任意的复数z，C.对任意的复数z，为实数D.10.已知函数，则（）A.在上单调递减B.将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称C.在上有两个零点D.11.数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A，B，则（）A.B.若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12C.椭圆C蒙日圆上存在两个点M满足D.若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率都存在，记为，，则为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______．（用数字作答）13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______．14.已知圆锥顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．（1）若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到产品达到优秀等级的概率；（2）若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．16.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．（1）证明：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.已知函数．（1）求的极值；（2）证明：．18.在直角坐标系xOy中，已知曲线C：过点，且与x轴的两个交点为A，B，．（1）求C的方程；（2）已知直线l与C相切．（i）若l与直线交点为M，证明：；（ii）若l与过原点O的直线相交于点P，且l与直线OP所成角的大小为45°，求点P的轨迹方程．19.设，y是不超过x最大整数，且记，当时，的位数记为例如：，，．（1）当时，记由函数的图象，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求，及；（2）是否存在正数M，对，，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；（3）当，时，证明：．2024年威海市高考模拟考试数学注意事项：1、答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为（）A.20 B.21 C.22 D.23.5【答案】C【解析】【分析】由百分位数的定义计算即可.【详解】样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36共9个数字，所以，所以分位数为从小到大排列的第个数，即为.故选：C.2.在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，确定，从而求出的值.【详解】由题：所以，故选：A.3.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据公式求出，结合焦点位置即可得渐近线方程.【详解】由题知，，解得，又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为.故选：D4.已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则=（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】由等差中项的性质可得，再由等比数列的性质可得，即可得出答案.【详解】因为，，成等差数列，所以，因为是正项等比数列，且，，所以，解得：或（舍去），所以.故选：A.5.已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线过点F，且与C在第一象限的交点为A，若，则p=（）A.2 B.4 C.8 D.12【答案】B【解析】【分析】过点A作x轴的垂线，垂足为H，利用斜率求出点A的坐标，然后代入抛物线方程即可得解.【详解】过点A作x轴的垂线，垂足为H，因为直线AF的斜率为，所以，则，所以，点A坐标为，代入得，整理得，解得或（舍去）.故选：B6.在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用线面平行判定定理和性质定理可证，再由直线平行的传递性可得，可知即为所求，可得答案.【详解】因为E，F分别为棱BC，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面平面，，所以，又，所以，所以l与直线所成角的大小等于.故选：C7.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】对两边平方，根据二次函数性质即可求解.【详解】因为，所以，所以，因为对，，所以，所以，所以.故选：C.8.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求导可证明，进而可得，可判断，令，求导可证，令，可判得.【详解】令，可得，所以在上单调递增，当时，，所以，所以，所以，令，求导可得，当，，所以单调递减，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.是纯虚数B.对任意的复数z，C.对任意的复数z，为实数D.【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据复数运算化简后，结合纯虚数概念可判断；对于B，设，根据复数乘法运算和复数模公式计算即可判断；对于C，设出复数z，根据共轭复数概念和复数乘法运算即可判断；对于D，根据复数除法运算与和差公式化简即可判断.【详解】对于A，是纯虚数，A正确；对于B，对任意复数，，，所以和不一定相等，B错误；对于C，设，则，则，C正确；对于D，，D错误.故选：AC10.已知函数，则（）A.在上单调递减B.将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称C.在上有两个零点D.【答案】BCD【解析】【分析】由可知的图象关于对称，可判断AB；整体代入法求出函数零点即可判断C；求出，结合周期可判断D.【详解】对于A，因为，所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；对于B，由上知，的图象关于对称，所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确；对于C，由得函数的零点为，令，解得，所以，即在上有两个零点，C正确；对于D，因为，，，所以因为的最小值周期，所以，D正确.故选：BCD11.数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A，B，则（）A.B.若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12C.椭圆C的蒙日圆上存在两个点M满足D.若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率都存在，记为，，则为定值【答案】ACD【解析】【分析】A选项，边长为的正方形为的蒙日圆的内接正方形，从而得到方程，求出；B选项，设矩形的长为，宽为，根据蒙日圆方程得到，由基本不等式求出面积的最大值；C选项，设，根据得到方程，得到，故C正确；D选项，设切点为，故，椭圆C的切线方程为，联立与，得到两根之和，两根之积，表达出，，故.【详解】A选项，由题意得边长为的正方形为的蒙日圆的内接正方形，故，解得，，A正确；B选项，若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形为的蒙日圆的内接矩形，其中蒙日圆的半径为，设矩形的长为，宽为，故，故矩形面积为，当且仅当时，等号成立，故该矩形面积的最大值为24，B错误；C选项，由题意得，蒙日圆方程为，设，故，，由得，故，解得，显然点可能在第一象限或第四象限，C正确；D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，代入椭圆方程得：，由，化简得：，所以，把代入，得：，于是，则椭圆的切线斜率为，切线方程为，整理得到，其中，故，即，当时，此时或，当时，切线方程为，满足，当时，切线方程为，满足，综上：椭圆在处的切线方程为；设切点为，故，则椭圆C的切线方程为，联立与得，设，则，，将代入得，，，故，为定值，D正确.法2：若的斜率存在，则设直线，则联立与得，由得，联立与得，，设，则，故，将代入得，故，若的斜率不存在，则：或，若：，则或，此时均有，同理当：，也有，故D正确.故选：ACD【点睛】过圆上一点的切线方程为：，过圆外一点的切点弦方程为：.过椭圆上一点的切线方程为，过双曲线上一点的切线方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______．（用数字作答）【答案】35【解析】【分析】化简通项，根据x的指数等于13求出r，然后可得所求系数.【详解】，令，解得，所以的系数为.故答案为：3513.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______．【答案】【解析】【分析】在中，由余弦定理可得，结合已知求得，再由正弦定理可求得.【详解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，因为，所以，所以解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所以.故答案为：.14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______．【答案】##【解析】【分析】将圆锥侧面积用圆锥底面半径与母线长的表达式表示出来，再利用外接球半径为3，建立圆锥底面半径与母线长的关系，从而将圆锥侧面积表示为母线长函数，利用换元，导数法求出函数取最大值时的母线长，底面半径长，从而求出此时的圆锥体积.【详解】如图，圆锥顶点为P，底面圆心为C，底面圆周与顶点均在球心为O的球面上，，记则圆锥侧面积为，若相同时，较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时两点位于球心两侧，此时，，而,又，故令，，当时，单调递增；当时，单调递减，故当时，最大，圆锥侧面积最大，此时，此时圆锥体积，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．（1）若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到产品达到优秀等级的概率；（2）若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）的分布列见解析，【解析】【分析】（1）记该事件为事件，利用，求解即可；（2）由（1）可知，根据二项分布的概率公式可求分布列与数学期望.【小问1详解】记质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级为事件，则，【小问2详解】由（1）可知每件产品达到优秀等级的概率均为，故，，所以，，，，，的分布列为：16.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．（1）证明：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设中点为O，证明平面，从而得，结合，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】设中点为O，连接，为等边三角形，故，由题意知平面⊥平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，又M为的中点，为等边三角形，则,平面，所以⊥平面；【小问2详解】由（1）知平面，平面，故，连接，，则，即四边形为平行四边形，故，故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则,即，令，则，设直线与平面所成角为，则.17.已知函数．（1）求的极值；（2）证明：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；（2）根据要证明的不等式的结构特点，设，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论.【小问1详解】由题意得的定义域为，则，当时，，在上单调递增，无极值；当时，令，则，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；【小问2详解】证明：设，，令，则，即在上单调递增，，故，使得，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故即，即，则.18.在直角坐标系xOy中，已知曲线C：过点，且与x轴的两个交点为A，B，．（1）求C的方程；（2）已知直线l与C相切．（i）若l与直线的交点为M，证明：；（ii）若l与过原点O的直线相交于点P，且l与直线OP所成角的大小为45°，求点P的轨迹方程．【答案】（1）（2）证明详见解析；或【解析】【分析】（1）根据题意直接求参数即可；（2）（i）通过导数的几何意义求得直线l的方程，进而找到交点M的坐标，并求出OM的斜率，通过斜率之积为-1证得垂直；（ii）设P的坐标为，通过向量的夹角公式得到等量关系进行化简，进而用