矩阵分析理论的基础知识

1、1. 线性空间与度量空间 2. 线性空间与内积空间的同构 3. 线性变换 第一章矩阵分析理论的基础知识 4 线性变换的矩阵表示 5 不变子空间与点到子空间的距离 1 线性空间和度量空间一、线性空间数域 定义2 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任意两个元素 与 ，在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 = + .在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 ,叫做数量乘法；这就是说，对于数域 P 中任一数 k 与 V 中任一元素 ，在 V 中都有唯一的一个2线性空间

2、元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记 = k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：1) ；2) ( ) ( )；3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素 都有 + 0 = (具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素，或记为) ；4) 对于 V 中每一个元素 ，都有 V 中的元素 ，使得 + = 0( 称为 的负元素) .数量乘法满足下面两条规则：5) 1 = ；6) k( l ) = ( kl ) .数量乘法与加法满足下面两条规则：7) ( k + l ) = k + l ;8) k( + ) = k + k

3、.结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：例2：，P实数域R 按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R上的线性空间，记为： 同样，若V为n维向量，则可构成R上的n维向量空间 线性空间。例3：PR 按照连续函数的运算， 显然可建立R上的一个线性空间，记为 根据线性代数中向量空间的维数与基的定义。我们可以定义线性空间的基与维数3. 线性空间的基和维数定义3 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 1 , 2 , , n 称为 V 的一组基.设 是V 中任一向量，于是 1 , 2 , , n , 线性相关，因此 可以被基 1 , 2 , , n 线性表出

4、： = a1 1 + a2 2 + + an n ,其中系数 a1, a2 , an 是被向量 和基 1 , 2 , , n 唯一确定的， n 下的坐标，记为 ( a1, a2 , , an ) .这组数就称为 在基 1 , 2 , , 例 4 在线性空间 P x n 中，1 , x , , x n - 1 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域 P 上的多项式都可被它们线性表出，P x n 是 n 维的，而 1 , x , , x n - 1 就是它的基.所以4.子空间定义4 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子集合W 称为 V 的一个线性子空间(或简称子空间),如果 W

5、对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域 P 上的线性空间.下面来看几个例子.例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例 2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间.例 4 P x n 是线性空间 P x 的子空间.例 5 在线性空间 P n 中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数

6、等于 n - r , 其中 r 为系数矩阵的秩.5. 生成子空间 设 ， 构成线性空间V的子空间，称为由 的生成子空间。其中 ： 思考： 若 线性无关，则 若 线性相关，则 6.子空间的和定义 5 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 + 2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记作 V1 + V2 ，即V1 + V2 = | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 结论：若 ， 是线性空间V的子空间，则 亦是V的子空间。进一步的，若 分解唯一，则称 为 与 的直和，记为 结论： 为直和 若 是 的子空间，则存在唯一

7、的子空间 ，使 7.维数公式 设V是P上的n维线性空间。 , 是V的子空间。则有 推论：若 ，则 即线性空间没有涉及到向量的长度，向量之间夹角等度量性质。为此引入内积概念，使这样的空间可以处理这些度量性质的问题。二、度量空间定义：设V是R上的线性空间 恒有唯一的实数与之对应，记为 且满足： 等号成立。 称 为 与 的内积，V称为度量空间（内积空间，欧几里得空间） 例 线性空间 易验证：满足，。故是度量空间 性质1性质2性质3性质4 设 则有 （见 ）长度 设 为内积空间V的任一元素，称 为的长度。记为 ，即 夹角 称为 与 的夹角。 相应地有：性质2. 内积空间（见 推论） 若 与 正交，则，

8、 该性质可以推广到有限个元素的情形。 2 线性空间与内积空间的同构 一、线性空间的同构线性空间的一种关系（利用它可以研究线性空间的性质）1. 定义：设 ， 是线性空间P上的两个线性空间，若 与 之间有一个一一对应 ，使得对 及 有： 则称 与 同构， 称为从 到 的同构映射，记为： 性质： 若 在 无关，则 在 中无关；反之亦成立，即在同构对应下，线性无关组对应线性无关组。 同构的有限维线性空间，其维数相同。 此外，还具有自反性，对称性，传递性（线代中）反之，具有哪些性质的线性空间能否同构呢？或者说，两个线性空间在什么条件下才能同构呢？下面定理解决了这个问题。定理：数域P上任意两个n维线性空间

9、 与 是同构的（proof见 ）推论：数域P上两个有限维线性空间 与 同构 类似的，我们可以研究内积空间的同构 二、内积空间的同构（自己看P453）定义：内积空间 与 ，若 （一一对应）使 有： 即作为线性空间 与 同构。在该同构关系下，向量内积保持不变。同构的两个欧氏空间具有相同的维数。定理：所有的n维欧氏空间都同构 3 线性变换 线性变换与线性空间具有密切的联系，是矩阵理论研究的主要对象之一。 一、线性变换映射在集合V与 之间存在一个对应法则 使得对于V中的任一元素a,都有 中唯一的元素 与之对应，称此对应法则 为V到 的一个映射，记 2. 变换线性空间V到自身的映射， 称 为 V 的一个

10、变换。 线性变换称线性空间V的一个变换T(A1)为 线性变换；若对 都有 (x+y)= (x)+ (y) (kx)=k (x)例1. V 线性空间，定义 ， 为常数。则 是V上的线性变换。首先，可以看出 是V的一个变换其次， 对于该线性变换有： 例2. 设A，B是 的两个给定的矩阵，对 ，定义： 则 是 上的线性变换 4. 零变换与单位变换定义1：设V是线性空间, 有 则称 为零变换”O”。 定义1：设V是线性空间, 有 则称 为单位变换”I”。 二、线性变换的性质：1. 证明：设 。则 即：线性变换 保持向量的线性组合与线性关系式。 3. 线性变换把线性相关的向量组变换线性相关的向量组即：线

11、性变换保持向量的线性组合与线性关系式 三、线性变换的运算及运算规律线性变换的运算：设 ， 是线性空间V的任意 两个线性变换。 和变换：对 ，称 为 与 的和变换。记为： ，可以证明 仍为V的线性变换。 积变换：对 ，称 为 与 的积变换。记为：数乘运算： ，称 为k与 的数量乘积，记为 ，注意： 易证， 也是V的线性变换。 运算规律：结合律：（对加、乘法）交换律： 分配律： A1+0=A1 A1+(-A1)=0数乘满足： 注：L(v)由V的全体线性变换组成的非空集合，仍为P上的线性空间. 四、逆变换：定义：设 为V的线性变换，若存在V的线性变 换T，使 则称 是可逆的，T为 的逆变换，记为 。

12、 五、线性变换的秩与零度 定义1：设 是V的线性变换，记 。称 (V)为 的值域（或V的象空间），可见， (V)是V的子空间。称 (V)的维数为 的秩。即 一般情况下 定义2：设 是V的一个线性变换，记 称为 的核。（又记为ker( ) ） 显然 也是集合，也是V的子空间，称为核空间 有即 对 运算封闭， 是V的线性子空间核空间。定义3：称 的维数为 的零度。 六、值域的维数与核空间的维数之间的关系（秩与 零度间的关系）定理：设是n维线性空间V的线性变换，则有 例:设 是R上的线性空间， 在V上定义线性变换如下： 显然而 由即 类似地，可以定义内积空间的正交变换，若 ( x， y)=(x,y)

13、保持内积不变 结论：保持长度不变 标准正交基 标准正交基 保持任两向量间距离不变，即 ，反之不成立。 4 线性变换的矩阵表示 引言：数域上线性空间V上的所有线性变换组成的集合L(V)是数域的线性空间。若V是n维线性空间，那么L(V)的维数是多少呢？ L(V) 与 之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵表示。 一、线性变换在一组基下的矩阵表示： 设是域P上的n维线性空间V的一组基， 是V上的一个线性变换，对 ，则有 又则有： 用矩阵形式表述（*）有 习惯上记上式左边为： 则有： 这就有了下面的定义： ；1. 定义1：若则称A为线性变换 在基 下的矩阵. 若在下的坐标为 那么 ；在基

14、 下的坐标又如何呢？ 可见， 在基 下的坐标是由A与 在 下的坐标来确定的。 练习： 2. 结论：定理1：域P上n维线性空间V中的线性变换 在基 下的矩阵是唯一的。 由此可推得：当给定线性空间V的一组基 后， 与域P上的 一一对应。 进一步可得定理2：若是域P上的n维线性空间V的一组基，在下的矩阵为 ，则有 由此可得：定理3：数域P上的n维线性空间V在取定一组基下，L(V)与P域上所有的 矩阵构成的线 性空间 是同构的 即： 推论： 上述线性变换与矩阵之间的对应关系是在给定的 一组基下实现的，随着基的改变，线性变换的矩阵表示会发生什么样的变化？二、线性变换在不同基下的矩阵表示 定义2：设与是n

15、维线性空间V 的两组不同基，且满足 。则称P为由基 到基 的过渡矩阵，且P是可逆的。从而可以研究同一线性变换在两组不同基下的矩阵的关系。下面定理解决这个问题： 定理4. 在不同基下的矩阵是相似的 证明：设；是线性空间的两组不同基 由则可逆，上式两边右乘 由定理1即例1.设4维线性空间 上的线性变换 在基 下的矩阵为： 试求 在基 下的矩阵 解：由已知有 设 而 计算得： 三、正交变换在一组标准正交基下的矩阵： 设T是内积空间V的正交变换， 是V的一 组标准正交基，由上节课知， 亦是V的 一组标准正交基 若 即 则A可以看作是由 的过渡矩阵 据正交基变换可知：A为正交矩阵 例2. 设是三维欧氏空

16、间V的一组标准正交基，试求V的一个正交变换T，使得： 解：设 由T在 下的矩阵为正交矩阵 即 其中 为正交矩阵 由 可解得a= b= c= 从而可得正交变换。 5 不变子空间与点到子空间的距离 上节课研究了线性变换在一组基下的矩阵及不同基下的矩阵之间的关系，从中可得，线性变换与矩阵之间的关系，以及正交变换与正交矩阵之间的关系。知道这些关系对研究矩阵理论具有很重要的意义。不但如此，而且线性空间、线性变换及矩阵这三者之间的关系也是紧密的联系在一起，为此我们先研究一下不变子空间。一、不变子空间1. 定义：设是线性空间V的一个线性变换，W 是V的一个子空间，若对 。即。则称W为 的不变子空间，或者说子

17、空间W对线性变换 是不变的。 2.结论：零空间及V本身都是A|的不变子空间。若V1，V2是n维线性空间 V的两个子空间， 且是线性变换A|的不变子空间，若 且 与分别是 与的一组基， 则向量组 便构成 的一组基， 且在基 下的矩阵为分块对角矩阵其中： 是在基 下的矩阵； 是在基 下的矩阵； 注：该结果可以推广到有限个子空间直和的情形。即：若 可分解为有限的 个子空间 的直和，则A|在某组基下的矩阵为分块对角矩阵。二、点到子空间的距离与最小二乘法1. 点到子空间的距离 定义：设是有限维内积空间（即欧氏空间）， 称x-y的长度 为x与y的距离，记为 满足下列三个基本的性质： 当然这里点到子空间的距

18、离，也象几何里点到直线（平面）的距离一样，是指点到子空间各点距离的最短距离。即设子空间 x是V中给定的一元素，显然有 设 ，满足 ，且对W中的任意一个向量 都有： （向量x到W的各向量间距离以垂线最短） 则即为点x到子空间W的距离。 作为点到子空间距离的应用来解决最小二乘法问题2. 最小二乘法：在系统理论中处理最优化 问题时有重要的应用。考虑不相容线性方程组 （方程个数与变量个数不同） 其中（线性代数知：R(A)=R(A,b)时，有解， R(A)与R(A,b) 不等时无解） 这里解决无解的情况（利用最小二乘法）也即：设法找出一组数 使偏差的平方和： 最小， 称为的最小二乘解。 若令y=Ax，则

19、y是n维列向量；上述 即为 。而最小二乘法即是找一组 。使y与b的距离最小。为此，假设 ，表示A的第i列。 则有 显然 ，则上述问题可叙述为： 求x，使 最小，即在 中找一 向量y，使向量b到它的距离比到子空间 中其它向量的距离都短。 若即为所求向量，则 此即即这就是最小二乘解所满足的代数方程，它仍是一个线性方程组，系数矩阵为 ，常数项为 例2：用最小二乘法解方程组： 解： 解此线性方程组，得最小二乘解为， ，一、矩阵的基本概念1.称 为 阶矩阵，其中若m=n，称为n阶方阵2.主对角线以外的元素全为0的矩阵，称为对角矩阵，记3.若 ，则称 为单位矩阵， 记为 或 若 ，则 称为数量矩阵. 6.

20、 矩阵及其分块 4.若 ，当 ，称A为下三角矩阵（或严格下三角矩阵）。5.若 ，称A为上三角矩阵。 ，称A为严格上三角矩阵。6.主对角线元素全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵。7.若 ，称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为 。注：8.设 ，若存在非奇异m阶阵P和n阶阵Q，使B=PAQ，则称A与B等价，记为 。9.由 阶矩阵A的位于第 行,第 列的元素按原来的次序构成的k阶阵，称为A的k阶子阵，相应的行列式称为A的k阶子行列式（子式）。10.矩阵A的所有非零子式的最高阶数称为A的秩，记为rank(A)。11.设A为 阶阵。若rank(A)=min(m,n),则A为满秩阵。 12.

21、设A为n阶方阵， 为其特征值，记A的行 列式为： ;称 的全体为A的谱，记作 或 。13.若 ，则A可逆， 存在。称 为A的迹。14.若 ，称 为A的转置矩 阵，记为 或 若 ，则称 为A的共轭转置矩 阵，记为 或 .15.若 ，且A为实矩阵则称A为实对称矩阵； 若 , 且A为实矩阵 则称A为实反对称矩阵。 若 ，则A称为厄米特矩阵(Hemite) 若 ，则A称为反厄米特矩阵(Hemite)16.若A为实矩阵，且 ，则称A为正交矩阵， 17.若 ，则称A为正规矩阵。 若 ，则称A为酉阵。 1)行列式的模等于1 2) 3)酉阵的乘积仍是酉阵 4)每个（行）列向量是单位向量，不同 的两个列（行）向

22、量是酉正交的。 18.若 ，则称A为幂等阵， 若 ，则称A为幂零阵。 19.每行每列，恰有一个元素等于1，其余元素全为0的矩阵，称为排列（置换）矩阵，记为 。 20.若n阶阵A的顺序主子式都大于0，则称A为正定阵。二、矩阵的基本性质1. 2.设 ， ，则 3.设A为 矩阵，P,Q分别为m, n阶非奇异阵，则4.5.关于实对称阵与Hemite阵共有的性质： 矩阵的特征值全为实数 相异特征值对应的特征向量正交（不同的特征值对应的特征向量正交） 主对角线上的元素 全为实数。6.反 Hemite阵的特征值为零式或纯虚数7.酉阵的特征值的模等于1三、矩阵的分块1.把一个矩阵用若干横线，纵线，将其分成小矩

23、阵，从而该矩阵可看成是由一些小矩阵组成的，在运算过程中，把这些小矩阵当成数一样处理，称为矩阵的分块。 例: 2.称 为准对 角矩阵。其中 为 阶方阵，且 结论1.若 其中 与 具有相同的阶数， 则: 若 可逆，则 注意：分块时要使运算有意义。 3.称 为分块三角阵。 结论2.若A为分块三角阵，则 的特征值也是A的 特征值，且 的所有特征值即为A的所有特 征值。 一般地，若A为分块矩阵，则可以将A分解为 分块三角阵。如： 。其中 分别为 阶 阵，若 可逆， 则A可分解成： 且 关于矩阵的分解，后面还要进行专门的讲述。一、特征值与特征向量 设 ,称 为A的特征矩阵,称 A的特征多项式,其中 相似矩

24、阵与约当矩阵7 称 为A的特征方程，其根 为A的特征根,称 为A关于 的特征方程组，其非零解称为对于 的特征向量(或存在 和非零向量 使 ，则 为A的特征值； 为A的对于特征值 的特征向量。设 是A的全部不同的特征值，若 ，且称 为 的代数重复度（数）称n元方程组 的解空间为A的特征子空间，记为 。称 （即A对于 的线性无关的特征向量的个数）为 的几何重复度（数），且二、矩阵的相似1.设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵P，使 ，则称A相似于B，记为 。2.注：相似与等价的关系，其共有的性质 自反性：A A 对称性：A B,则B A 传递性：A B, B C, 则A C 对于相似矩阵特有的性质

25、： 若 ，则 ， 若 ，则 , 若 ，则 （特征根特征多项式相同）. 3.线性变换与特征值之间的关系 设 是数域P上n维线性空间V上的线性变换， 是V的一组基， 在基 下的矩阵为 ， 是A的特征值，x是A的对应于 的特征向量，若 （即 ），则 称是 的特征值，x是 的对应于 的特征向量。事实上，由 之间的对应关系，上式即与 相当。进一步地，有下面结论：结论: 有n个线性无关的特征向量 以这n个线性无关的向量为基， 在该基下的矩阵为对角矩阵。 反之， 在基 下的矩阵为对角矩阵 ，即从而有即 有n个线性无关的特征向量。 称 为m阶约当块。 称 为约当标准形 其中三、矩阵的约当标准形（约当Jorda

26、n矩阵） 与矩阵A相似的约当标准形称为阵A的约当标准形。 设A为n阶矩阵，则称A的特征矩阵 中所有非零的 阶子行列式的首项系数为1的最大公因式,是 的k阶行列式因子，记为 ，也称为A的k阶行列式因子。 例1.求 的所有行列式因子。 称 为 的不变因子，简称为A不变因子 性质: 其中 且 初等因子的定义（加上） 例2.设矩阵A,B的不变因子分别为： 试分别写出其初等因子组。 注意：在初等因子组中初等因子可以重复。例2.设矩阵A,B的不变因子分别为： 试分别写出其初等因子组。 注意：在初等因子组中初等因子可以重复。 例3. 求矩阵 的特征矩阵的不变 因子与初等因子。 解： 结论1. A与B具有相同

27、的行列式因子 结论2. A与B具有相同的不变因子 结论3.设 ，若A的初等因子组为 ， 其中 是A的特征值，（可以相同）， 则： 且除了对角块排列次序可变更外，是唯一的。 例5.求 的约当标准形 解： 求行列式因子 求不变因子 初等因子 Jordan形： 例6.求 的标准形 解： 所以初等因子组为 ，有8 矩阵多项式与多项式矩阵例1. 设 试计算 解：A的特征多项式为取多项式 余项 由上定理 定义3.设A是n阶矩阵，则把首项系数为1的次数最小的零化多项式，称为A的最小多项式。定义1.一般地，设f(x)是多项式，A为方阵，若f(A)=O，则称f(x)是矩阵A的零化多项式。根据定义：每个矩阵都有其

28、零化多项式，即 性质：1.矩阵A的零化多项式都被其最小多项式整除。2.矩阵A的最小多项式是唯一的 。3.若，则证明：.由多项式除法可得： = (1)其中： 为余项，且 的次数小于 的次数。将代入上式得： （阵），即 亦为 的零化多项式，且次数小于 的次数，这与 是 的最小多项式相矛盾。故 ，即一定能被整除。若 不能被 整除,根据(1)知： ,并有： . 利用 立即可证。 若 则存在可逆矩阵 ，使得 ，由 ，则可得： = 。 证明：第一步由推论1即可得证。下面证明反之。定理2. 矩阵A的最小多项式的根必是A的特征根；反之，A的特征根也必是A的最小多项式的根特征多项式与最小多项式之间的关系。推论1

29、：设 ，则 的最小多项式 一定能整除其特征多项式 。 由定理3与推论1即可得如下推论：推论2: 设 ， 是 的相异特征值，若 能被分解为： (2)则最小多项式具有如下的形式：若 为矩阵的特征多项式 的零点，即 为 的特征值，设矩阵 对应于特征值 的特征向量为 ，则有 ， ，即 ，又 ，所以有 =0，即 为 的零点。定理得证。 (3)其中 是特征值 的重数 且 的正整数。 推论2实际上给出了利用特征多项式来求最小多项式的方法，下面举例说明。例2.求 的最小多项式的最小多项式,只能是：解:或经计算可知： 是A的最小多项式，由此可得： 定理3.若A的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。下

30、面定理给出了求最小多项式的另一种方法：定理4.设A是n阶矩阵， 是特征矩阵 的n-1阶行列式因子，则A的最小多项式为 n阶不变因子。 例3.求的最小多项式 定理5. 上的任意阶矩阵都存在最小多项式 证明：因为矩阵可以作为向量空间 上的一个向量组，由定理1可知，他们一定是线性相关的。设 为使得矩阵序列 线性相关的最小次数，即：可看作是 维向量空间 向量，因而矩阵序列：上的线性相关，则存在 个不全为零的数 ，使得其中， 否则有 ，这与 的假设相矛盾，进而有：，则有 记 且没有次数小于 的非零多项式使矩阵 零化。故 是矩阵 的最小多项式。若定义 ，则必有 第二步：试解方程 ，知 和 无解，若确定 和

31、 ，则 的最小多项式为：例3.求矩阵的最小多项式。 解：第一步：试解方程 ，得 无解，若解得 ，则的最小多项式为：否则，进行下一步。注：该定理的证明过程实际上告诉了我们一种求最小多项式的方法，作为这种方法的应用，下面举例说明。否则，进行下一步。 第三步：试解方程 ，得到 ，否则，进行下一步，一直到求出所有待定的 得到矩阵 的最小多项式 。由定理1可知，使得所试解得矩阵方程成立为止，这样的过程最多只需进行 步即可，则的最小多项式为： 定义1. 称为矩阵，或多项式矩阵，其中 是的多项式。 定义3.若使 ，则称是可逆的，或称是单模矩阵，记为 。注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必

32、可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。定义2.若n阶多项式矩阵的行列式 （非零多项式），则称是满秩的（秩=n）或非奇异的。二、多项式矩阵：在线性控制系统理论中有着重要的应用。定理1.n阶多项式矩阵 可逆 为非零常数。注： 也可象A一样，进行初等变换。互换 的任意两行（列）以多项式乘的某一行（列）并加到另一行（列）定义5.多项式矩阵 称为 与等价，若 经过有限次初等变换能变为，记为定义4.由单位阵E，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。亦具有自反性，对称性，传递性。以非0数c( 乘以的一行（列）是 的秩， 是首项系数为1的称 为 的史密斯（Smith）标准形，

33、称 为 的不变因子。定理2.对任一非零多项式矩阵，有： 其中,多项式，且同数字矩阵一样，也可以定义 的k阶行列式因子与初等因子。例1.求多项式矩阵：解：利用初等变换可得：Th3.若 ，则 与 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子 的Smith标准形。 且有， 定理4. 与 具有相同的行列式因子，或不变因子。利用多项式矩阵与Smith标准形等价还可以求出一个矩阵A的Jordan标准形。例2.求： 的Jordan标准形。 初等因子为 ，故 解： 主要理论依据。的由上述可得重要结论： 9 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法

34、。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。一、矩阵的三角分解是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意

35、矩阵的三角分解。定义1 如果均为正实数， 则上三角矩阵称为正线上三角复（实）矩阵，特别当 称为单位上三角复（实）矩阵。定义2 如果 均为正实数， 则下三角矩阵称为正线下三角复（实）矩阵，特别当 时， 称为单位下三角复（实） 矩阵。定理1设 则 可唯一地分解为 其中 是酉矩阵， 是正线上三角复矩阵；或者 可唯一地分解为其中 是酉矩阵， 是正线下三角复矩阵。推论1设 则 可唯一地分解为其中 是正交矩阵， 是正线上三角实矩阵；或者 可唯一地分解为 其中 是正交矩阵， 是正线下三角实矩阵 。推论2 设 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵 ,使得 推论3设 是正定Hermite矩阵，则存在唯

36、一的正线上 三角复矩阵 ,使得 定理2设 用 表示下三角复矩阵 ,表示 单位下三角复矩阵， 表示上三角复矩阵， 表示单 位上三角复矩阵， 表示对角矩阵，则下列命题 等价:（1） 的各阶顺序主子式（2） 可唯一地分解为 ，并且 的主对角线上元素不为零； （2） 可唯一地分解为 ，并且 （2） 可唯一地分解为 （3） 可唯一地分解为 ，并且 的主对角线上元素不为零；（4）可唯一地分解为，并且的主对角线上元素不为零；说明：若 是 阶满秩实方阵，则对于实矩阵 定理2 仍然成立。例1.设 ，求 的三角分解。解. 由 所以 阶方阵的三角分解对求解非其次线性方程组非常方便。 比如，设方程组 系数矩阵 有三角

37、分解式 则有 ，于是令 ，有 先求第一个方程组中的未知向量 然后将 代入第 二个方程组再求解 由于它们都是以三角矩阵为系数 矩阵的方程组，所以很容易求出方程组的解，并且易于利用计算机求解。例2 用三角分解求解方程组：解：系数矩阵可以分解为代入上面的新方程组中的第一式可得： 再将此结果代入新方程组中的第二式可得： 此即所求方程的解。 二、任意矩阵的三角分解前面讨论的矩阵分解仅仅是对 阶方阵的三角分解，而且所分解的矩阵是可逆矩阵，下面我们将以上的矩阵分解进行推广，即讨论任意矩阵的三角分解。定义3 设 是 阶复（实）矩阵，如果 则称 是行满秩矩阵，记为 如果 ，则称 是列满秩矩阵，记为 定理3 当 是行满秩或列满秩复矩阵时，有（1）若 则存在 阶正线下三角复矩阵 和 阶酉矩阵 使得（2）若 ，则存在 阶酉矩阵 和 阶正线上 ，使得注：该定理表明了行（列）满秩矩阵能分解为一个酉矩阵与一个长（高）三角矩阵的乘积。下面我们进一步给出行（列）满秩矩阵能分解为一个正线三角矩阵与一个长（高）酉矩阵的乘积。记 表示以 个两两正交的单位向量为行组成的矩阵 的集合， 表示 个两两正交的单位向量为列组成的集 合。 定理4 （1）若 ，则 可唯一地分解为其中 是 阶正线下三角矩阵， （2）若 ，则 可唯一地分解为其中 是 阶正线上三角矩阵。 说明：当 是行满秩或列满秩实矩阵时，亦有类似于定 理3和定理4的结