最新知识点057完全平方公式几何背景解答资料

1、精品文档2221、（I）请你根据中的面积写出它所能说明的乘法公式（a+b）=a+2ab+b . （II）如图（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标.它是由四个 全等的如图（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b,斜边长为c）与 中间的小正方形拼成的一个大正方形.请你根据图（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程.妥二考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析（1）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三角 形的面积加上中间小正方形的面积

2、列出等式，然后整理即可得解.2解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）,22四个部分的面积的和为：a+2ab+b,222.能说明的乘法公式是：（a+b） =a+2ab+b； 222 =a+b. 2 （）它能说明的等式为：c a）,推导如下：中间小正方形的边长为（b- .大正方形1的面积可表示为：巴22 ）, b - ac=4Xab+ （222，整理得，c=2ab+b - 2ab+a222即c=a+b.根据同 一个图形的面积的不同表示相等进行列式本题考查了完全平方公式的几何背景，点评：是解题 的关键.、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）2222-

3、b a （1 ）若长方形的长为，宽为b，则小正方形面积为（a -）或（a2ab+b）；222 ; 2ab+b=aba 2 （）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为（-），每个长方形的面积为16）若这个大正方形边长为（363,求小正方形的边长.精品文档.精品文档考点：完全平方公式的几何背景。）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出 大正方形的面积，然（1分析：后再减去四个长方形的面积；2）根据同一个小正方形的面积， 利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可.（），a-b 解答：解：（1）小正方形的边长为：（2，-b）.面积为（a222，-2ab

4、+b）-4Xab= （a=小正 方形的面积=大正方形的面积-4X长方形的面积（a+b222 ； 2ab+b） b）或（a-.L小正方形面积 为：（a -）.小正方形的面积是同一个图形的面积，（2222 ； -2ab+b-b） =a.（a2，- 4X63=256 - 252=4 （3）小正方形的面积为：16 . .L小正方形的边长为2222222 2. 3 - 2ab+b； （）-2ab+ba-）； （2） （ab） =a）（故答案为：（1） a-b或（结本题考查了完全平方公式的几何 解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，点评：果相等解答即可，难度不大.bcm 宽为acm某镇正在建造的文

5、化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为，3、）， 另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图的矩形板材（如图）（写出所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积）1用几块如图（； 一个符合条件的答案即可）的大矩形，中间分别空的大正方形或如图（2）用如图所示的 四块矩形板材铺成如图出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；中阴影部分的面积； 和图b请用含a、的代数式分别表示图中阴影部分的面积哪个大？大多少？试比较图 和图：完全平方公式的几何背景。考点）四块正方形，即可拼成一个大的正方形；（分析：1精 品文档.精品文档（2）根据矩形以及正方形的面积公式即可表示，然后利用两个的

6、差与0的大小关系即可判断大 小关系.2 4c.）能四块即可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是解答：解：（12 b）；的面积是：图（a-（2） 2b），的面积是：a （a-图 22222 0，-a-2b）=a2ab+b- a+2ab=b-（a - b） a （2 .-b） a （a - 2b）则：（a的面积较大.故图 本题主要考查了 图形面积的表示，比较两个式子的大小关系可以利用求差的方法.点评：14、我们已经知道，利 用图形面积可以解释代数恒等式的正确性.如完全平方公式可以用图的面积表示.22 ；）（a+b） （1（）根据图2写出一个代数恒等式2a+3ab+b=2a+b，并且满1、n、（2）

7、其实图形的面积也可以解释不等式的正确性.如已知正数a、bc和m2请你画 的正确性.al+bm+cn足a+m=b+n=c+1=k.试构造边长为k的正方形，利用其来说明V k出图形，旦._旦._baa bb旦并简单解释.图1穿 考点：完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式。专题：几何图形问题。分析:本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积.22 ）, （2a+b） （a+b12a1解答：解：（）图2的面积为：+3ab+b=图的面积为：22 ）. a+b （.L可得：2a+3ab+b=2a+b）（是图中三个矩形的面积和.（2）根据图形al+bm+cn2是正方形的

8、面积.大小关系显而易见.k而 11关系显而易见.k而 11b精品文档.精品文档点评：利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.5、（1）在下列横线上用含有a, b的代数式表示相应图形的面222 （ a+b） 2abba）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子2 （222 . = （a+b） 表达：a+2ab+b 2 ）的结论计算99+198+1的值.（3）利用（2考点：完全平方公式的几何背景。：几何图形问题。专题）根据正方形、长方形面积公式即可解 答；（1分析：）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积；（2 ）借助于完全平方

9、公式 解答即可.（3222 ）；、（a+b1）a、2ab、b 解答：解：（222 a+b）； = （2） a+2ab+b （22 =10000. ） 99+198+1=（99+1） （32222 ； （a+b）. ） a故答案为：、2ab、b、（a+b注意掌握几种特殊几何图形的点评：难面积表达式.干若与图动手剪了如所易程度适中，本题主要考查了完全平方公式及其应用 示的正方形长方形纸片刚6、小同学易程度适中，本题主要考查了完全平方公式及其应用 示的正方形长方形纸片刚6、小同学观察与操作：（1）他拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到： 22222a+2ab+b=

10、（a+b），验证了完全平方公式；即：多项式a+2ab+b分解因式后，其结果表示正 方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积.22 （2）当他拼成如图所示的矩形，由面积相等又得到：a+3ab+2b= （a+2b） （a+b），即：多22 项式a+3ab+2b分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积.问题解决：22（1）请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式：a+4ab+3b.（画图说明，并写出其结果）22（2）试猜想面积是2a+5ab+3b的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果） 考点：完全平方公式的几何背景。22分析（1）先将a+4ab+3b分解，然

11、后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形. 精品文档.精品文档从而利用等面积法可画出图形.22，所画图形如下：（2a+3b）的）2a+5ab+3b= （a+b）22 （从而利用等面积法可画出图形.22，所画图形如下：（2a+3b）的）2a+5ab+3b= （a+b）点评：本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不 同方法得到多项式的因式分解.7、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还 有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：22 (2a+b) (a+b) =2a+3ab+b,就可以用图1的面积关系来说明.22

12、根据图 2 写出一个等式：(a+2b) (2a+b) =2a+5ab+2b ；2，请你画出一个相应的几何图形加以说明.)x+pqx+q () =x+ (p+q (已知等式：x+p): 完全平方公式的几何背景。考点：作图题；阅读型。专题利用长方形的面积公式即可证明.分 析：的长方形即可，宽为画一个长为x+px+q22 +5ab+2b=2a； ) (a+2b解答：解：()2a+b画 出的图形如下：精品文档.精品文档精品文档(答案不唯一，只要画图正确即得分)应从整体和部分两方面来理解完全平方公式点评：本题 主要考查了完全平方公式的几何背景，的几何意义；主要围绕图形面积展开分析，的矩形 ABCD2a，

13、宽为2b8、通常，我们把长方形和正方形统称为矩形.如图1，是一个长为的形状拼成 一个正方形块小长方形，然后按照图2若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4 . MNPQ2) (a+b (1)分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式2=4ab . -(a-b) 选不同.(相同，面积MNPQ (2)仔细观察长方形ABCD与正方形，可以发现它们的周长”)”或“面积“填周长米的面积最大的矩形的面积是81米，篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不)根据上述发现，猜想结论：用总长为36 (32 .面积最大的矩形的面积是81米，考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。)整体上求出内部

14、的小正方形的边长，然后 用大正方形的面积减去小正方形的面积(1分析：就是阴影部分的面积，从局部考虑，求出四 个小矩形的面积就是阴影部分的面积；1的面积大里面小正方形的面积考虑；)从图2的面积比 图(2)的结论，周长相等的情况下，正方形的面积比矩形的面积大，所以围成的正2)根据(3 方形的面积最大，然后根据正方形进行计算即可.，a-b解答：解：(1)整体考虑：里面小正 方形的边长为22，b) a+b)-(a-.阴影部分的面积=(，局部考虑：阴影部分的面积=4ab22=4ab； a - b).(a+b)-(,2a+2b) =4a+4b2 ()图 1 周长为：2 (，面积为：4ab =4a+4b,

15、4 (a+b) 2 图周长为：22 ,34aba (-b) =4ab+a+b面积为()a=b当且仅当时取等号；.周长相同，面积不相同； 精品文档.精品文档(3)根据(2)的结论，围成正方形时面积最大，此时，边长为36：4=9米，22 .面积=9=81 米 22 . (3) 81b) =4ab； (2)周长，面积；1 故答案为：()(a+b)-(a -根据 面积找出里面的规律是解结合图形的特点，点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，题的 关键.的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后2n是一个长为2m、宽为9、如mm图1上的形状拼成一个正方形.2按图2中的阴影部分的正方形的边长等于多

16、少？ (1)你认为图 n m图1请用两种不同的方法求图14中阴影部分的面积.2方法 1：(m+n)- 4mn 2方法 2：(m - n)22 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)，(m-n)，22mn.(m+n) = (m - n) +4mn 2 (4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则(a-b) =29 . 考点：完全平方公式的几何背景。专题：图表型。分析(1)观察图2,阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即(m-n)；(2)本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长 方形的面积，得阴影部

17、分的面积；由(2)即可得出三个代数式之间的等量关系；2 (4)将a+b=7, ab=5,代入三个代数式之间的等量关系即可求出(a-b)的值.解答：解：(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于(m-n)；2 ； - 2m?2nm+n (2)方法一、阴影部分的面积=()2 . nm -) =m方法二、阴影部分的边长 -n；故阴影部分的面积(22 ) -()(3()三个代数式之间的等量关系是：m+n=mn+4mn；精品文档.精品文档22 -4ab=29. b) = (a+b) (4) a - 2222 29. - n)+4mn； m+n - n)；() = (m(故答案为：(m+n)-4mn、m如何

18、准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题点评：本题主要考查我们的公式变 形能力，的关键.、我们已经知道，完全平方公式可以用几何图形的面积来说明，实际上还有许 多代数的恒1022 +3ab+b就可以用图1所示的面积来说明.等式也可以用图形来说明，例如：(2a+b)(a+b) =2a22 .) (a+2b) (2a+b=2a+5ab+2b2 (1)请写出图所说明的代数恒等式:考点：完全平方公式的几何背景。ab泌屈考点：完全平方公式的几何背景。ab泌屈a2图122 .(形面积为：a+5ab+6b3)专题：数形结合。分析(1)本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的

19、面积这样可以得到满足条件的等式.(2)可使长方形的长为(a+2b)，宽为(a+3b)这样可以得到满足条件的等式.22解答：解：(1) (a+2b) (2a+b) =2a+5ab+2b.(2)长方形的边长分别为(a+2b)及(a+3b)点评：本题考查完全平方公式的几何背景，难度不大，注意利用几何图形推导代数恒等式，要注 意几何图形整体面积与各部分面积的关系.11、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的.请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；22 (2)由(1)可得到关于a、b的等式，利用得到的这个等式计算：4.323+2 X4.323 X0.677+0.677.精品文档.精

20、品文档考点：完全平方公式的几何背景。专题：图表型。分析(1)根据正方形的面积公式利用大正方形的边长解答，两个阴影部分长方形的面积加上两 个正方形的面积进行表示；根据大正方形的面积相等可得关于a、b的等式，利用等式代入数据进行计算即可求解.2 , a+b)解：(1)大正方形的面积为：(解答：22 ； a+2ab+b四部分的面积的和为：222 , =a+2ab+b (2)等式为:(a+b) 22 +2X4.323X0.677+0.677A4.3232 4.323+0.677)= (2=5 4 分)=25.(根据同一个图形的面积的不同表示方法得到等式点评：本题考查了完全平方公式的几 何背景，是解题的

21、关键.，现用这些长方形可以拼所示的长方形和正方形卡片(代号为1,11, III) 12、有多张如图222 )的正方形，以验证公式(a+b=a+2ab+b.成如图22) +5ab+2b= (2a+b 请你选择图中相应种类的卡片若干张，拼成一个长方形，用以验证：2a标上每一张卡片的代号.，并仿照图？号.，并仿照图？(a+2b)宓考点：完全平方公式的几何背景。分析：等式右边(2a+b)?(a+2b)可理解为要做一个几何图形它的长和宽分别是(2a+b)(a+2b)， 而左边代表的是分别要用的几个不同小图形的个数.b b)=(2a+b? (a+2b+5ab+2b 解：如图所示：解答：2a“点评：本题考查

22、的是对完全平方公式的理解应用程度，用几何图形推导代数恒等式时要注意整体 图形面积与部分图形面积之间的关系.13、如图，求两个图形中草坪的面积，比较它们的大小，你发现了什么？精品文档.精品文档:完全平方公式的几何背景。考点222.而图）20-a-20aX2+a,而图的面积可以表示为（图 分析：的面积可以表示为20 一的面积通过切割法可以变为图二的模样，所以他们的面积相 等.22 , - 20aX2+a 解答：解：图202 . a）图（20 - 222 . a） = （20 -发现 20 - 20aX2+a 要求我们具备一定的平面几何点评:这里是考查我们从几何意义上去证明推导完全平方公式，形 想象

23、能力去结合几何面积去推出完全平方公式.222时，了解了一下它的几何背景，即通过图来 =a+2ab+b14、我们在学习完全平方公式（a+b） 2,你能将知识进行迁移，从几）”计算：（a+b+c 说明上式成立.在习题中我们又遇到了题目“2 ）吗？何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c 二一.成：:完全平方公式的几何背景。考点2的几）a+b+c）的正方形，画出符合（a+b+c分析：结合原 题中的几何背景，添加为边长为（何背景，2222 . +c+2ab+2ac+2bc说明（a+b+c） =a+b22 ），） 的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c （解答：解：a+b+c2222，+b+

24、c+2ab+2ac+2bc）用各部分的面积之和表示为：（a+b+c=a2222 +2ab+2ac+2bc. +c 所以（a+b+c） =a+b一.、“-倍，就构成了本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2点评：一 个完全平方式.用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分的面积之和表示.222） 10ba=2ab+b）、 还记得完全平方公式（15a+b=a吗？当，时，完全平方公式可以用图（精品文档.精品文档2（1）对图（2）进行适当的分割，猜想出（a+b+c）的展开形式，并给出其推导过程；（2）通过求解

25、本题，你有哪些收获？考点：完全平方公式的几何背景。专题：探究型。分析（1）画出边长为a+b+c的正方形，表示出整体的面积和各部分的面积之和，让它们相等即 可（2）可得到多个数和的平方的简便求法.2222 解答：解：（1） （a+b+c） =a+b+c+2ab+2ac+2bc.图中正方形的边长为：a+b+c,2那么面积可表示为：（a+b+c）,222各部分的面积之和表示为：a+b+c+2ab+2ac+2bc,2222.（ a+b+c） =a+b+c+2ab+2ac+2bc.（2）任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们两两乘积的2点评：采用图表法求解是数学中常用的思路.16、如图是用四张

26、相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写考点：完全平方公式的几何背景。专题：开放型。分析：空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的 面积表示，然后让这两个面积相等即可.2解答：解：空白部分为正方形，边长为：（a-b），面积为：（a-b）.精品文档.精品文档2空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）-4ab.22.（a - b） = （a+b）- 4ab.点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.17、（1）图（1）是一个长为2m，宽为2n的矩形，把此矩形沿图中虚线用剪

27、刀均分为四个小长 方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形，请问：这两个图形的什么量不变所得的正方22=m） m -nn形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m，的代数式可表示为（2 ； - 2mn+n 时，面积最大；长和宽相等（2）由（1）的探索可得出的结论是：在周长一定的矩形中，则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面积是多少？ 24cm （3）若矩形的周长为爪己 考点：完全平方公式的几何背景。专题：探究型。2分析：观察图形，可得图中阴影正方形的边长=(m-n),因此面积可表示为(m-n).222解答：解：(1)根据面积公式可得：周长不变，(m-n) =m-2mn+n；(2)长和

28、宽相等；2 (3)当边长为6cm时，最大面积为36cm.点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解应用能力，对几何图形的整体分析，对完全平方 公式的灵活应用变形整理是解此题的关键.18、如图，已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：(a+b+c)2222=a+b+c+2ab+2bc+2ac.当大正方形的边长为a+b+c+d时，利用图形的面积关系可得：22222(a+b+c+d) =a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd .一般地，n 个数的和的平方等于这 n 个数的 平方和加上它们两两乘积的2倍.考点：完全平方公式的几何背景；完全平方公式。222分析(1

29、)把式子a+b+c=6两边平方后，再把a+b+c=14代入求ab+bc+ac的值； 精品文档.精品文档(2)利用(1)的计算过程来计算.解答：解：(1)式子a+b+c=6两边平方得，2222 +b+c+2ab+2bc+2ac=36，(a+b+c) =a222 14)2=11； a+b+c) ：2= (36-.ab+bc+ac=36-( ，-1+3+5=1 (2)V- 4 - 2222222 +3+5+2m=55+2m=1，-.两边平方后得，(-4 - 21+3+5)=4+2+1 .- 2755.m= (1-)：2= - 54：2=222个数的和的平方等于的拓展延伸：一般地，n=a 点评：本题是

30、完全平方公式(a+b) +2ab+b 2倍.这n个数的平方和加上它们两两乘积的的长方 形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，2n、宽为19、如图1，是一个长为2m的形状 拼成一个正方形.然后按图22 m1)图2中阴影部分的面积为(-n) ； ( 22m(mn之间的等量关系式：m(mn之间的等量关系式：m-n)、(2)观察图2,请你写出三个代数式(m+n)(22；)+4mn= (m+n)- +4mn= (m+n)- n_x+y=6, xy=2.75，贝U x - y=5 .-(3)根据(2)中的结论，若)m+n)()有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图(43，它表示7(2m+n222

31、2 =m) +4mn+3n. =2m+3mn+n .试画出一个几何图形，使它的面积能考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析(1)可直接用正方形的面积公式得到.数量掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.此题可参照第二题.可参照图3进行画图.2解答：解：(1) (m - n) (3 分)22 (2) (m - n) +4mn= (m+n) (3 分)5 (3 分)答案不唯一：(4分)例如：精品文档.用不同的解题关键是认真观察题中给出的图示，点评：本题考查了完全平方公式的背景知识，形 式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式.222 . a+2ab+b= (a+b) 20、利用右

32、图 可以证明等式：222,从a+b，又可以表示为：()(1)图中大正方形的面积既可以表示为：a+2ab+b而证明222 = (a+b)； a+2ab+b2 a+b+c).(在图上标注必要的字母)(2)请画出一个图形来计算:考点：完全平方公式的几何背景。专题：数形结合。）图中大正方形的面积可以用正方形的面积公式来求，也可把正方形分成四个小图（1分析：222 2ab+b；）=a - b形分别求出面积再相加，从而得出（a - 2222 成立.+b+c+2ab+2bc+2ac=a （2）直接作图即可得出（a+b+c） 2 ； b） aa - b）的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为（-解：解答

33、（1）边长为（的bb的长方形面积，加上边长为2个长为a,宽为的正方形的面积，减去又可以用边长为a正方形的面积，22在 b -ga.2ab+b；a.2ab+b；的式子表示为a - b结果用含a，222 ）、（a+b故答案为a+2ab+b混abac北beatbea+b+c，（2）已知大正方形的边长为2222 . +b+c+2ab+2bc+2ac）利用图形的面积关系可得： （a+b+c=a222） a+b+c2ab+b=aba点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，是对（-）-和（精 品文档.精品文档2222=a+b+c+2ab+2bc+2ac 的几何证明.21、如图是由两个大小不同的正方形与两个全

34、等的长方形拼成的一个大正方形，请用两种不同的 方法表示图中空白正方形的面积；222由此验证了乘法公式：（a - b） =a - 2ab+b . 考点：完全平方公式的几何背景。专题：图表型。分析：由于空白正方形的边长为（a-b），长方形的长为（a-b），宽为b，利用面积的割补法即 可得到完全平方公式的形式.解答：解：空白正方形的边长为（a-b），长方形的长为（a-b），宽为b，2， - b）第一种方法得空白正方形面积=（a2222， - 2ab+b） b - b=a第一种方法得空白正方形 面积=a - 2 （a - b222 2ab+b -.- b） =a.（a222 2ab+b. b） =a

35、-故答案为:（a-此题主要考查 了完全平方公式的几何背景，解题的关键是会利用面积的割补法得到公式.点评：2b的长方形， 沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形.是一个长为2a，宽为22、图1的长方形面积；）求出 图（11的正方形.利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出2 （2）将四块小长方形拼成一 个图22之间的等量关系；、aba、(-b)代数式(a+b),未被覆盖的部分用阴影表)把四块小长 方形不重叠地放在一个长方形的内部(如图3 (3的代数式表示).、示.求两块阴影部分的周长和(用含mn 攵-M名 考点：完全平方公式的几何背景；列代数式；矩形的性质；正方形的性质。分析(1)长方形的面积为长X

36、宽，从而得解.可以直接求出小正方形的面积，可以用大正方形的面积减去周围四个小长方形的面积.求出上面部分阴影的周长和下面部分阴影的周长，从而求出和.解答：解：(1) (a+a) (b+b) =4ab (3 分)22 分)()-()(2() a+b=ab+4ab6精品文档.精品文档(3)上面部分的阴影周长为：2 (n - a+m - a)(7分)下面部分的阴影周长为：2 (m - 2b+n - 2b)(8分)总周长为：4m+4n - 4a - 8b (9分)又 a+2b=m (11 分)总周长为4n (12分)点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式和矩形的性质和正方形的性质等知识点.23

37、、如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线MN和EF，分别平行 于AB、BC，交两组对边于点M、N、E、F，则四边形PFDN、PEBM都是正方形，四边形PEAN、PFDN的边长为a，正方形bPMCF都是矩形，设正方形PEBM的边长为(aVb).用代数式分别表示正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和以及矩形PEAN与矩形PMCF的 面积之和，并判定两个面积之和的大小.当点P在什么位置时，它们的面积之和相等？用含a、b的代数式表示S. emd考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析(1)根据正方形及矩形的面积公式即可得出答案；当a=b时面积相等；根据直角三角形面积

38、公式即可求解.22解答：解：(1)正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和为：a+b；矩形PEAN与矩形PMCF的 面积之和为：ab+ab=2ab；222a+b - 2ab=(a - b)0,.正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和大于矩形PEAN与矩形PMCF 的面积之和；(2)当点P在中点时，它们的面积之和相等；2112 (a+b) S) = (a+b - b) (3EMD222 - =a+ab+babb - * *2 a=+ab. 点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，关键是围绕图形面积展开分析.24、动手操作： 的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，2a是

39、一个长为如图，宽为2b精品 文档.精品文档然后按照图所示拼成一个正方形.提出问题：观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；22，ab之间的)，(a - b)出(2)请写三个代数式(a+b一个等量关系.问题解决：根据上述(2)中得到的等量关系，解决下列问题：2的值.y) xy=3, 求：(x -已知：x+y=6 :完全平方公式的几何背景。考点：几何图形问题。 专题个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分41)第一种方法为：大正方形面积-分析:(正方形的面积；22 -ab)可求解.(2)利用(a+b)-4ab=(解答：提出问题：22 - b) (a+b - 4ab 或(a 解：(122 4

40、mn= (m - n) - (2) (m+n)问题解决：224xy - (x+y) x (3) (-y) = .，xy=3 Vx+y=62 . 9=25 .(x-y) =36 -找到所求的量的等解决问题的关键是读懂题意，点评：本题考查了完全平方公 式的几何背景.量关系.本题更需注意要根据所找到的规律做题.25、阅读材料并解答问题: 22,可+3ab+ba+b) =2a)很多代数原理，可以用几何模型来表示.例如：代数恒等式(2a+b ( 2 等图形的面积表示.1以用图或图22 =2a2a+b)(所表示的代数恒等式：)请写出图(13 a+2b () +5ab+2b 精品文档.精品文档22 (2)试

41、画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a+b) (a+3b) =a+4ab+3b下列有几张如图所示的卡片，用它们拼一些新的图形，验证下列两个公式:22222=4ab-(a)- b (=a - 2ab+b 2) (a+b) (1) a - b考点：完全平方公式的几何背景。分析：(1)根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，即可写出；根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，可以作一个一边是a+b，另一边是a+3b的矩形；同理即可作出图形.b b bb22解答：解：（1）答案是：（a+2b） （2a+b） =2a+5ab+2b1 .)2 ( 3分)(3)每个图点评：本题主要考查了乘法公式的几何表示，

42、正确理解例题的意义：根据图形的总面积等于各个 部分的面积的和，是解题的关键.26、在数学课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释这22些代数恒等式.如图可以解释恒等式(2b) =4b；精品文档.精品文档 己2222 . a+b)(1)如图可以解释恒等式a+2ab+b=( 利用面积关系写出一个b的长方形纸片围成的正方形，)如图是由4个长为a，宽为2 (2222=4abb) +4ab 或(a+b)-(a -代数恒等式： a+b) = (a - b) 22 .) = (a+b)- 4ab b 或(a- 都是正数，结果可b若长方形纸片的面积为1，且长比宽长3,求长方形的周长

43、(其中a、.保留根号)：完全平方公式的几何背景；完全平 方式。考点)根据图形面积可以得出公式；分析( 12222=4ab)-(a-b) b根据面积关系可以 得出公式(a+b) = (a -) +4ab 或(a+b(2 ) 22 4ab； a+b)-或(a - b)=(关系求出即可.a， b，长比宽长再利用长方形纸片的面积为13,得出2 ) (a+b，解答：解：(1) 222222 4ab -；-(a+b) a - b) =4ab 或(ab) = (a+b) (2)a+b) =a - b+4ab 或22，b) +4abaa+b得：()=(-由(2)22，(ab=1， a+b) =3+4X 1=1

44、3b=3 依题意得 a -， a .、b都是正数，0 .a+bLi3 a+b=.应从整体和部分两方面来理解完全平方公点评：此 题考查了对完全平方公式几何意义的理解，式的几何意义；主要围绕图形面积展开分 析.222 . =aa+b、27 (I)请你根据中的面积写出它所能说明的乘法公式()+2ab+b 日在北京召开的国际数学家大会的会标.它是由四20820022(II)如图()所示是年月，斜 边长为a)所示的直角三角形(每个直角三角形两直角边分别是(个全等的如图1b和)中的面 积写出它所能说明的)与中间的小正方形拼成的一个大正方形.请你根据图c(2等式，并写 出推导过程.精品文档.:常规题型。专题

45、）根据大正方形的面积等于被分成的四:常规题型。专题）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；分析（1）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等 于四个直角2）先根据图（2三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即 可得解. 2 , a+b）解：（1）大正方形的面积为：（解答：22 , a+2ab+b四个部分的面积的和为： 222 ； =a+2ab+b.能说明的乘法公式是：（a+b）222 . =a+b （2）它能说明的等式为：c , a）推导如下：中间小正方形的边长为（b- 大正方104形的面积可表示为：22 ）, （b - ac=4Xab+222 2ab

46、+a,整理得，c=2ab+b - 222 +b即c=a.根据同 一个图形的面积的不同表示相等进行列式点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，是解题 的关键.、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实 际2822,就可以用图=2a+3ab+b （2a+b） a+b）上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例 如：）2a+b等写根来系说明.据图2出一个式（）（2b+a关面2的积0422 +5ab+2b. =2a:完全平方公式的几何背景。考点再表示出每一再根据矩形的面积公式写出等式的左边，分析：根据数据表示出矩形的长与宽，小部分的矩形的面积， 然后根据面积相等即可写

47、出等式.，2b+a）（解答：解：根据题意，大矩形的面积为：2a+b （） 精品文档.精品文档22又各部分的面积之和=2a+5ab+2b，22.等式为（ 2a+b）（2b+a）=2a+5ab+2b.22故答案为：（2a+b） （2b+a） =2a+5ab+2b.点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出 面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答.29、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）222 ） ； -b）或（a-2ab+b （1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为（a 222 ； -b） =a -

48、 2ab+b）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为（2 S63,求小正方形的边长.（能得到一个等式为（2 S个大正方形边长为16,每个长方形的面积为 考点：完全平方公式的几何背景。分析（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可.解答：解：（1）小正方形的边长为：（a-b），2.面积为（a - b），222小正方形的面积=大正方形的面积-4X长方形的面积=（a+b）-4Xab= （a - 2ab+b），222.小正方形面积为：（

49、a-b）或（a-2ab+b）；（2）V小正方形的面积是同一个图形的面积，222.（a - b） =a - 2ab+b； 2，- 252=4）小正方形的面积为：16 - 4X63=2563（ 2. .L小正方形的边长为222222 . ）（322ab+bb）； （2 （a -） =a -；）-或（ba）（故答案为：1（-） a2ab+b结根据同一个图形的面积利用不同的 方法求解，点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，果相等解答即可，难度不大.，宽为、 某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm30 ）的正方形 地砖（如图，另一种是边长为bcm的矩形板材（如图）cc

50、m 精品文档.（写出所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积用几块如图（1） 一 个符合条件的答案即可）；的大矩形，中间分别空的大正方形或如图）用如图所示的四块矩 形板材铺成如图（2出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；中阴影部分的面积；b 的代数式分别表示图和图请用含a、中阴影部分的面积哪个大？大多少？试比较图 和图考点：完全平方公式的几何背景。1）四块正方形，即可拼成一个大的正方形；分析（的 大小关系即可判断）根据矩形以及正方形的面积公式即可表示，然后利用两个的差与0 （2大小 关系.2 4c.）能四块即可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是解答：解：（12 b）；图

51、的面积是：（a-） （2 2b），的面积是：a （a -图 22222 0，2ab+b - a+2ab=b） b -a （a-2b） =a-（a-2 ）. （a - 2b贝U： （a - b）a的面积较大.故图 本题主要考查了图 形面积的表示，比较两个式子的大小关系可以利用求差的方法.点评：的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然2n剪刀平均分成四块小长方形，然2n是一个长为2m,宽为12、图的形状拼成一个正方形.后2 ； n中的阴影部分的面积为(m -) 1 ()图222+4mn=m - n)之间的等量关系是，)(m-n), mn (2) 观察图，三个代数式(m+n 2 ；)(m+

52、n ；- 5 ，则-(3)若x+y=6, xy=2.75x - y=5 ，你 能得到怎样的代数恒等式呢？)观察图4 (22 =m+4mn+3n.) (m+n5 ()试画出一个几何图形， 使它的面积能表示()m+3n :完全平方公式的几何背景。考点1 (分析：)可直接用正方形的 面积公式得到.精品文档.精品文档数量掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.此题可参照第二题.可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.可参照第四题画图.2解答：解：(1) (m - n) (3 分)22 (2) (m - n) +4mn= (m+n) (3 分)(3)5 (3 分)22 (3 分)(2m+n) =2m+3

53、mn+n (4) m+n) (4 分)(5)答案不唯一：例如: 点评:解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式， 并能进行变式.13、阅读材料并回答问题：22；)=2a+5ab+2b 3)所表示的代数恒等式：(2a+b) (a+2b (1)请写出图22(22 ；) =a+4ab+3b)试画一个几何图形，使它的面积表示：2 (a+b) (a+3b (的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形.a, b (3)请仿照上述 方法另写一个含有：完全平方公式的几何背景。考点：阅读型。专题=)中长方形的面积本题 考查用平面几何图形的面积来表示一些代数恒等式，如图(3分析：

54、即，相加的小图形面积个可 的，)宽X =(2a+b(a+2b)长方形面积还以把几长 222222 . +b+ab+ab+ab+ab+ab+b=2a+5ab+2ba+a22 ； =2aa+2b) (1 解：解答()2a+b () +5ab+2b 精品文档.精品文档)(答案不唯一)；(222 (3)恒等式是(a+2b) (a+b) =a+3ab+2b，如图所示.(答案不唯一)点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个 完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.14(答案不唯一)点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了

55、一个 完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.14、阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数等式也22可以用这种形式表示.例如：(2a+b) (a+b) =2a+3ab+b就可以用图或图等图形的面积22 (1)请写出图所表示的等式:(a+2b)(2a+b)=2a+5ab+2b ；22 (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a+b) (a+3b) =a+4ab+3b(请仿照图或图在几何图形上标出有关数量).考点：完全平方公式的几何背景。专题：阅读型。分析：本题主要考查完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，根据图形先用不同的形

56、式 表示图形的面积，再由面积不变，列出等式即可.22解答：解：(1)(a+2b) (2a+b) =2a+5ab+2b；ahahFab(2)如图所示.精品文档.精品文档点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个 完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.25、(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示.用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值.22由此，你可以得出的一个等式为：(a+1) =a+2a+1 . 考点：完全平方公式的几何背景；作图一代数计算作图。专题：阅读型。分析

57、：根据长方形的面积公式=长乘以宽，长方形的长和宽都是a+1，可求出其面积.所拼成的 图形的面积等于几个长方形和正方形的面积之和，可以推导出完全平方公式.22解答：解：(1)长方形的面积=(a+1)X(a+1) = (a+1 )或a+2a+1，2疼(a+1) =a+2a+1；（2）如下图， 精品文档.2 a+b）；把该长方形视为一个边长为a+b的正方形时，其面积为（的正方形，以及两a和b该长 方形可视为四个长方形的拼图.四个长方形指两个边长分别为22）（a+ba+2ab+b,由此，可推导 出个相同的小长方形（长和宽分别为a和b）.此时，其面积为222 +2ab+b. =a点评：解决本题 的关键是

58、根据面积公式来求.）示意图，现准ba+b是校园内一块边长为的正方形土地（其中a 16、如图，四边形ABCD的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道b备在这块正方形土地的正 中修建一个边长为a-路.）画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式；（122. （a+b） -4ab） （2）用等式表示大，小正方形及空地的面积关系，（a-b=:完全平方公式的几何背景。考点:完全平方公式的几何背景。考点的正方形后， 作一个边长为）如图：（1解答：解：2） a+b4ab，写出各个面积的表达式. a-b分析：在图中 原正方形土地的面积是（留作道路的空地的面积是正中小正方形的面积是（a - b），2 ； 22

59、 4ab.22 4ab成立.a+bb （a -）=（）-本题通过数形结合得到：点评：型是长aACBA17、如图，有、 三种不同型号的卡片若干，其中型是边长为的正方形，B精品文档.精品文档为b，宽为a的矩形.C型是边长为b的正方形.（1）请你选取相应型号和数量的卡片，在下图中的网格中拼出（或镶嵌）一个符合乘法公式222+2ab+b，这个乘法公式是（a+b） =a的图形（要求三种型号的卡片都用上） 个卡片中拿掉一个卡片，176个，C型卡片10个，从这（2）现有A型卡片1个，B型卡片余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个矩形（或正方形）的都是哪CC些情况？请你通过运算说明理由.I I I I I I

60、 I考点：完全平方公式的几何背景。专题：网格型。分析：本题考查对完全平方公式几何意义的理解应用能力：22（1）中因为三种卡片的面积分别为a，ab，b，因此可向完全平方公式靠拢分析；（2）中可根据所拿出卡片的不同，分三种情况讨论分析.222解答：解：（1）乘法公式是（a+b） =a+2ab+b，拼成乘法公式的图形如图所示.（2分）（2）从三种卡片中拿掉一个卡片，会出现三种情况：26ab+10b.2由得6ab+10b=2b （3a+5b）知用6个B型卡片，10个C型卡片，可拼成长为3a+5b，宽为2b或长为2 （3a+5b），宽为b的矩形.（6分）22 +6ab+9b.a222型卡片，可拼成边C型