2022年深圳市育才中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若是第四象限角，则（ ）ABCD2已知向量，若，则实数 （ ）ABCD3在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说

2、法正确的是（ ）AB与所成角为C平面D与平面所成角的余弦值为4若的展开式中的第五、六项二项式系数最大，则该展开式中常数项为（ ）AB84CD365设随机变量B(2,p),B(4,p)，若P(1)=5A1127B3281C656函数的零点个数为（ ）A0B1C2D37若函数，则( )A0B-1CD18命题“任意”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）ABCD9一个正方形花圃，被分为5份A、B、C、D、E，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）A24 种B48 种C84 种D96种10已知函数f(x)=(2x-1)ex+ax2-3a（A-2e,+

3、)B-3211圆与的位置关系是（ ）A相交B外切C内切D相离12球的体积是，则此球的表面积是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_种（用数字作答）14若不同的两点和在参数方程（为参数）表示的曲线上，则与的距离的最大值是_15如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_16如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为_

4、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）约定乒乓球比赛无平局且实行局胜制，甲、乙二人进行乒乓球比赛，甲每局取胜的概率为（1）试求甲赢得比赛的概率；（2）当时，胜者获得奖金元，在第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛试问应当如何分配奖金最恰当？18（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的

5、年入流量相互独立（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（，）（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年流入量发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？19（12分）已知函数.（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.20（12分）已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形, ABCD,ACBD,垂足为H, PH是四棱锥的高,E为AD中点,设1)证明：

6、PEBC；2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值21（12分）已知函数，（1）当时，求函数的最小值（2）当时，对于两个不相等的实数，有，求证：22（10分）已知圆C经过P(4，2)，Q(1，3)两点，且圆心C在直线xy10上(1)求圆C的方程；(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值【详解】是第四象限角，则，且，所以，是第四象限角，则，因此，故选C【

7、点睛】本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题2、B【解析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【详解】解：设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，2），E（

8、2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），（0，1，2），（2，0，1），20，A1E与BF不垂直，故A错误；（2，2，1），（2，2，0），cos，0，A1F与BD所成角为90，故B错误；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，2），0，0，A1EDA，A1EDF，A1E平面ADF，故C正确；（2，2，1），平面ABCD的法向量（0，0，1），设A1F与平面ABCD所成角为，则sin，cosA1F与平面ABCD所成角的余弦值为，故D错误故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题4、B【解析

9、】先由的展开式中的第五、六项二项式系数最大，求解n,写出通项公式，令，求出r代入，即得解.【详解】由于的展开式中的第五、六项二项式系数最大，故，二项式的通项公式为：令可得：故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5、A【解析】利用二项分布概率计算公式结合条件P1=59计算出【详解】由于B2,p，则P1=1-P所以，B4,1 =1127【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。6、C【解析】，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选

10、C7、B【解析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.【详解】因为,所以，因为，所以，故，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.8、C【解析】试题分析：对此任意性问题转化为恒成立，当，即，若是原命题为真命题的一个充分不必要条件，那应是的真子集，故选C.考点：1.集合；2.充分必要条件.9、D【解析】区域A、C、D两两相邻，共有种不同的种植方法，讨论区域E与区域A种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果.【详解】区域A、C、D两两相邻，共有种不同的种植方法，当区域E与区域A种植相同颜色的花时，种植B、E有种不同的种植方法，当区域E与区域A种植不同颜色的花时，种植B、E有种不同

11、的种植方法，不同的种植方法有种，故选D【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题10、A【解析】把函数f(x)为增函数，转化为f(x)0在(0,+)上恒成立，得到a-(2x+1)ex2x【详解】由题意，函数f(x)=(2x-1)e则f(x)=2ex+(2x-1)设g(x)=则g令g(x)0，得到0 x12 ，则函数g(x) 在0,1即a的取值范围是-2e故选A.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性与极值（最值）求解参数问题，其中解答中根据函数的单调性，得到a-(2x+1)e11、A【解析】试题分析：由题是给两圆标准方程为：，因为，所以两圆相离

12、，故选D.考点：圆与圆的位置关系12、B【解析】先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.故选：【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、540【解析】首先将6个小队分成三组，有三种组合，然后再分配，即可求出结果【详解】（1）若按照进行分配有种方案；（2）若按照进行分配有种方案；（3）若按照进行分配有种方案；由分类加法原理，所以共有种分配方案【点睛】本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用易错点是平均分配有重复，注意消除重复14、【解析】将曲线的参

13、数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当为圆的直径时,与的距离的最大值是2.【详解】由参数方程（为参数）,可得,所以点和在半径为1的圆上,所以当为圆的直径时,与的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.15、【解析】连接，根据平行关系可知即为与所成角；根据线面垂直的性质和判定定理可证得，从而可求得，利用同角三角函数可求得结果.【详解】连接，如下图所示：四边形为正方形 ，与所成角即为与所成角，即点在平面上的射影为点 平面又平面 平面， 平面平面 即与所成角的正切值为本题正确结果；【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，涉及到

14、立体几何中的翻折变换问题，关键是能够通过平行关系将异面直线成角转变为相交直线所成角，从而根据垂直关系在直角三角形中来进行求解.16、【解析】不妨设正方体的棱长为，如图，当为中点时，平面，则为直线与所成的角，在中，故答案为.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）甲获得元

15、，乙获得元.【解析】（1）甲赢得比赛包括三种情况：前局甲全胜；前三局甲胜局输局，第局胜；前局甲胜局输局，第局胜.这三个事件互斥，然后利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率加法公式可得出计算所求事件的概率；（2）设甲获得奖金为随机变量，可得出随机变量的可能取值为、，在第一局比赛甲获胜后，计算出甲获胜的概率，并列出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望的值，即可得出甲分得奖金数为元，乙分得奖金元.【详解】（1）甲赢得比赛包括三种情况：前局甲全胜；前三局甲胜局输局，第局胜；前局甲胜局输局，第局胜.记甲赢得比赛为事件，则；（2）如果比赛正常进行，则甲赢得比赛有三种情况：第、局全胜；第、局胜局输局

16、，第局胜；第、局胜场输局，第局胜，此时甲赢得比赛的概率为.则甲获得奖金的分布列为0则甲获得奖金的期望为元，最恰当的奖金分配为：甲获得元，乙获得元.【点睛】本题考查利用独立重复试验和互斥事件的概率公式计算出事件的概率，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）；（2）2台.【解析】（1）求出，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率（2）记水电站的总利润为（单位，万元），求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机时的分布列和数学期望，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机的台数【详解】解：（1）依题意，由二项分

17、布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为： （2）记水电站的总利润为Y（单位，万元）安装1台发电机的情形：由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润， 安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此，当时，两台发电机运行，此时，因此，由此得Y的分布列如下Y34008000P0.20.8所以安装3台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此，当时，两台发电机运行，此时，因此，当时，三台发电机运行，此时，因此，由此得Y的分布列如下Y2800740012000P0.20.70.1所以综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电

18、机2台【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，是中档题19、 (1) (2) 【解析】试题分析：（1）若函数f（x）在（，+）上是增函数，f（x）1在（，+）上恒成立利用二次函数的单调性即可得出；（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出试题解析：（1）若函数在上是增函数，则在上恒成立，而，即在上恒成立，即.（2）当时，.令，得.当时，当时，故是函数在上唯一的极小值点，故.又，故.点睛：点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内

19、都不恒等于1（不要掉了等号）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解（不要加上等号）20、 (1)见解析;(2).【解析】分析：（1）以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PEBC；（2）求出平面PEH的法向量和(1,0，1)，利用向量法能求出直线PA与平面PEH所成角的正弦值详解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则D(0，m,0)，E(，0)可得(，n)，(m，1,0) 因为00，所

20、以PEBC. (2)由已知条件可得m，n1， 故C(，0,0)，D(0，0)，E(，0)，P(0，0,1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)由(1,0，1)，可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.点睛：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.21、（1）；（2）见解析【解析】（1）先由得，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值；（2）先由，得到，对函数求导，得到其单调区间，再设，令，用导数的方法研究函数的单调性，进而可证明结论成立.【详解】（1）当时，由得；由得；在上单调递减，在上单调递增，.（2）当时，对于两个不相等的实数，有，