厦门大学线性代数2-2向量间的线性关系课件

1、1第二节 向量间的线性关系一、n维向量二、向量的线性关系三、线性相关性四、特殊向量组的几何意义2一、n维向量数域F上的n个数 定义2.2.1组成的有序数组, 称为数域F上的一个n维向量,其中 称为向量的第i个分量(i=1,2,n) =a1,a2 , an或=a1,a2 , anT行向量列向量本节中，n维向量均指n维列向量 3 数域F上的全体n维列向量构成的集合记作 Fn分量都是0的n维向量称为零向量，记作0 向量称为n维向量 的负向量, 记作 分量全是实数(复数)的n维向量称为实(复)向量 向量可以看作是特殊的矩阵 4例1矩阵有3个行向量 有4个列向量 5 若干个维数相同的列向量(或维数相同的

2、行向量) 所构成的集合叫做向量组 由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该 向量组的部分组向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组8设有两个n 维向量和一个实数 kR,则定义 =a1,a2 , anT =b1,b2 , bnT(1) = ai =bi , i=1,2,n(2) + = a1 + b1 , a2 + b2 , an + bn T(3) k =ka1,ka2 , kanT(4) - = (-1) = - a1,- a2 ,- anT(5) - = +(-1) 二、向量的线性运算10例2 设 若3维向量 满足 试求向量 解 由 11三、线性相关性设 定义2.2.4,则对任意常数 F,

3、 向量 称为这s个向量的一个线性组合 设 若存在常数 使得 则称向量 可以表为 的线性组合, 或称 可由向量组 线性表出(或线性表示)12n维零向量0是任一n维向量组 例3的线性组合 例4 设 n维单位坐标向量组为 则可由 线性表出 已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？或者说：一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。如果能是否唯一？综合：18n元线性方程组AX= 有解的充分必要条件是向量可由其系数矩阵A的列向量组 线性表出 定理2.2.1向量可由向量组 线性表出的充分必要条件是 推论2.2.1其中19设 = 1,1,1T, = 1,3,0T, = 2,4,1T 例6试将向量 用向

4、量 与 线性表出20向量组的线性相关与线性无关的概念对于向量组 1,2,s如果存在不全为零的数 k1,k2,ks ,使得则称这个向量组线性相关 否则称这个向量组线性无关k11 + k22 + + kss = 0定义2.2.5注意注例27定理2.2.2设令 则向量组 线性相关的充分必要条件是s元齐次线性方程组 有非零解. 推论2.2.2 设则向量组 线性相关的充分必要条件是28推论2.2.3 令,则n维向量组 线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组 的系数行列式等于零例7 任意s(n)个n维向量必线性相关 任意n+1个n维向量必线性相关设令则有非零解向量组必线性相关29定理2.2.3 令,则

5、n维向量组 线性无关的充分必要条件是s元齐次线性方程组 仅有零解. 即向量组 线性无关的充分必要条件是 例31例8是三个向量, 由于2 = 21 , 因而有系数 2,-1,0 不全为零由上述定义可知1, 2, 3线性相关21 + ( - 1)2 + 03 = 0 32例9 含有零向量的任一向量组线性相关设向量组为 0, 1,2,s 对任意的数 k 0，有k0 + 01 + 02 +0n = 033如果n维向量组 例11线性无关, 试判断向量组 的线性相关性 解 设存在数 ,使得 即线性无关, 故 34齐次线性方程组的系数行列式为 当s为奇数时,|A|=2,方程组仅有零解.所求向量组线性无关 当

6、s为偶数时,|A|=0,方程组有非零解.所求向量组线性相关 35若n维向量组 例12线性无关，那么在每一个向量的第n个分量后都添加一个分量所得到的n+1维向量组亦线性无关(即“无关组的延长组亦无关”)36定理2.2.4向量组1,2, ,s(s2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量的线性表出37 线性相关的向量组中未必每个向量均可由其余 s-1个向量线性表出1 = 1,0,0T 2 = 0,1,0T 3 =0,0,0T1 不能由 2, 3 线性表示38推论2.2.4 向量组 线性无关的充分必要条件是它的每一个向量都不能由其余s-1个向量线性表出 定理2.2.5 若向

7、量组 线性无关, 而向量组 线性相关, 则向量 可由向量组 线性表出,且表示法唯一 39若向量组1, 2, , s中有一部分向量线性相关,则该向量组线性相关例13反之未必40 若向量组1, 2, , s线性无关,则其任一部分 向量组都是线性无关反之未必 可总结如下结论 部分相关整体相关 整体无关部分无关 整体相关部分相关 部分无关 整体无关41向量组1, 2, m线性相关还是线性无关, 通常 是指 m2 的情况, 但也适用于 m=1的情形. 我们先就 m=1, m=2,m=3的情形作一些讨论当m=1时, 向量组只有一个向量. 若=0, 则 对任一非零常数k均有 k=0; 若 0, 则仅 当 k=0 时才有 k=0. 由定义可知 当 =0 时, 则是线性相关的; 当 0 时, 则是线性无关的四、特殊向量组的几何意义42 当m=2时, 向量组有两个向量 如果这两个向量线性相关，则有不全为零的数 k1, k2使得 k1 + k2 = 0 如果 k10，则有 如果 k20，则有 因而两个向量线性相关则它们的对应分量成比例， 反过来也一样成立 =