工程数学复变函数积分

1、工程数学复变函数积分第1页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数1 复变函数积分的概念1. 积分的定义定义和在局部弧段上任意取点, 极限为A终点为B的一条光滑的有向曲线.设函数w =f (z)定义在区域D内, 都存在且唯一，则称此极限为函数记作沿曲线弧C的积分.若对C 的任意分割C为在区域D内起点第2页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数关于定义的说明:(4) 一般不能把写成的形式.(1) 用表示沿着曲线C的负向的积分.(2) 沿着闭曲线C的积分记作(3) 如果C是x轴上的区间而则第3页，共65页，2022年，5月20日，4点4

2、分，星期三工程数学-复变函数2.积分的性质第4页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例1. 证明:证明其中 C 为正向圆周：利用积分估值性质，有第5页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数2.积分存在的条件及计算法定理:C 的参数方程为则曲线积分存在, 且有连续,在有向光滑弧 C 上有定义且设函数第6页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例2. 解:计算的正向圆周， 为整数.其中 C 为以 中心，为半径第7页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例3. 解:(1)

3、 积分路径的参数方程为计算其中C为:(1) 从原点到点1+i的直线段;(2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;y=x第8页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数y=x(2) 积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为第9页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例4. 解:(1) 积分路径的参数方程为计算其中C为:(1) 从原点到点1+i的直线段;(2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;y=x第10页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数

4、y=x(2) 积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为第11页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数2 柯西定理B 内处处解析, 定理1任何一条封闭曲线 C 的积分则 f (z) 在B内(黎曼证明，把条件加强：假设 连续 .) 证明：假设在单连通域 B 内, 解析,连续.1.柯西定理如果函数 f (z) 在单连通域为零:第12页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数因为所以在B 内连续，且满足C-R条件.任取B内闭曲线C,则积分由格林公式得所以第13页，共65页，2022年，5月20日，4点4

5、分，星期三工程数学-复变函数函数 f (z)处处解析定理2在单连通域 B 内，与路径无关.函数 f (z)定理3 B为C的内部，C 为一条封闭曲线, 在B内解析，在 上连续，则第14页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数解：由柯西定理, 有计算积分例1.因为函数在内解析，第15页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数解：由柯西定理, 有计算积分因为函数都在上解析，例2.和第16页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数第17页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数2.

6、 原函数与不定积分如果函数 f (z)在单连通域定理4与路径无关.B 内处处解析, 则积分定理5处处解析,如果 f (z)在单连通域B内则函数F (z) = f (z)必为B内的一个解析函数, 并且第18页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数利用导数的定义来证.证：由于积分与路线无关,第19页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数第20页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数由积分的估值性质,第21页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数证毕第22页，共65页，20

7、22年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数定义1如果在区域 B 内在区域 B 内的原函数.F (z) = f (z) ,则称 F(z) 为 f (z)在区域 B上的原函数全体不定积分,记作定义2在 B上的称为定理6如果 f (z) 在单连通域 B 内处处解析, 的一个原函数, 则这里z0, z1为域 B 内的两点.G(z)为 f (z)第23页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例3. 解:计算积分第24页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数3.复合闭路定理定理7是在 C 内部的简单闭曲线, 且 设C为多连通域 D

8、 内的互不包含也互不相交, 另外以C, C1, C2, . , Cn 为边界的区域如果 f (z) 在D内解析, 则一条简单闭曲线, C1, C2, . , Cn全含于D.第25页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数证明：这样区域D就被分为D1和D2两考虑只有两条围线C0, C1 的情况.区域，作辅助线段L1和L2连接 C0,和C1，域,而且 f (z) 在 内解析, 由柯西积分定理，有,所以显然D1和D2都是单连通第26页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数所以即或第27页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三

9、工程数学-复变函数例4. 解:计算的正向简单闭曲线.包含圆周为奇点.在C内作互不相交，互不包含的只包含只包含其中 C 为圆周由复合闭路定理，得第28页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数第29页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例5. 解:计算其中 C 为正向圆周：第30页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数解:圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例6.计算积分其中 为正向圆周和负向圆周 组成.第31页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数3 柯西

10、公式温故而知新B 内处处解析, 任何一条封闭曲线 C 的积分则 f (z) 在B内如果函数 f (z) 在单连通域为零: 柯西定理第32页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数思考？3 柯西公式第33页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数3 柯西公式定理1如果 f (z) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 D, z0为 C 内的任一点, 则1.柯西公式第34页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数证明：当时，由于f (z) 在 连续，所以 在C内部

11、作圆周 那么第35页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数而即所以第36页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数注：1）柯西公式常写作2）若则平均值公式第37页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例1. 解:计算其中 C 为(1)正向圆周：(3)正向圆周：(2)正向圆周：(1)(2)(3)第38页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数求下列积分的值.解：例2.第39页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数(2) 注意到函数在内解析，而

12、在内，由柯西积分公式得第40页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数故得到 设 例3.根据柯西积分公式，得到解：求第41页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数2. 解析函数的高阶导数解析函数 f (z)的导数仍为解析函数, 其中 C 为在 f (z) 的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.定理2它的n阶导数为:注：高阶导数公式常写成如下形式第42页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例4. 解:计算的正向闭曲线.其中 C 为绕第43页，共65页，2022年，5

13、月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例5. 解:计算在 内有奇点：作圆周于是第44页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数所以第45页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数4 解析函数与调和函数的关系定义1在区域D内具有二阶连续偏若二元函数导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程则称为区域 D内的调和函数.若 为解析函数，定理1则其实部 u和虚部 v 都是调和函数.设 f (z)=u+iv 在区域D内解析,则由C.-R.条件证：第46页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数得同理,即u及v

14、都是D内的调和函数.因 与 D内连续，它们 必定相等，故在D内有第47页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数定义2定理2设则 v(x,y)必为 u(x,y)的共轭调和函数.u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R.条件：则称 v(x,y) 为 u(x,y)的共轭调和函数.是区域 D 的解析函数，第48页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数例1. 解:已知是右半复平面的调和函数，求调和函数 u，使 u 的共轭调和函数是 v.由C-R方程，得第49页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复

15、变函数例2. 解:已知验证u是调和函数，并求以 u为实部的解析函数 f (z), 使 f (0) = i.因为所以u是调和函数.又 f (0) = i ，所以第50页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数 ch3 复变函数积分一、知识要点1. 复积分基本计算法曲线C:第51页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数2. 柯西-古萨基本定理函数 f (z)处处解析.在单连通域 B 内，与路径无关.1) 其中C是 B 任意一条简单封闭曲线.2)解析, 并且3)4)第52页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变

16、函数3.复合闭路定理第53页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数4. 柯西积分公式第54页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数5.调和函数1). 调和函数2).共轭调和函数若 为解析函数，3).则其虚部 v是实部 u 的共轭调和函数.第55页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数 二、典型例题解:分以下四种情况讨论：例1.第56页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数第57页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数第58页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数第59页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数解法一 不定积分法 利用柯西黎曼方程, 例2.第60页，共65页，2022年，5月20日，4点4分，星期三工程数学-复变函数因而得到解析函数（C是