矩阵概念及运算课件

1、第二节 矩阵的概念及运算一 矩阵的概念例1 某公司生产四种产品A,B,C,D,第一季度的销量分别如下表所示： 产品 销量 月份 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 200 三月 310 280 210 220 为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的矩形数表：此表在数学上称为矩阵。定义 由 个数，排成的m行n列的数表叫做m行n列矩阵（或 矩阵）；其中 叫做矩阵的元素； 分别叫做 的行标和列标。通常用大写字母 或 表示矩 阵，也可记作 或n阶方阵（m=n时）： 行矩阵（m=1时）：列矩阵（n=1时）：零矩阵： 或主对角线（方阵中

2、元素所在的对角线）对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）： 如 为对角方阵上三角阵例如 为上三角阵转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列，得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作例如， ，则矩阵的相等：（即：矩阵的相等恰意味着元素对应相等）二 矩阵的加法与减法设 规定（即：矩阵的加减意味着元素对应相加减）如： 则 注意：两个矩阵只有当它们的行数、列数分别相同时，才可进行加减。矩阵加法满足以下规律：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（其中A,B,C都是 矩阵）例3 已知求四 矩阵与矩阵相乘先看一个例子：某厂生产两种产品，第一季度的销售额如表（1）所示（单位

3、：千元），表（2）为产品质量全为一等品或全为二等品时的利润表。 产品 A B 等级 一等品 二等品月份 产品 一月 5 7 A 20% 10% 二月 6 10 B 30% 15% 三月 8 12 表（1） 表（2）因此，该厂产品若全为一等品或全为二等品时利润如下所示。 等级 一等品 二等品 月份 一月 二月 三月上述三个数表，用矩阵表示为可记C=AB 。其中而 （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）在矩阵的乘法中，单位阵I所起的作用与普通代数中数1的作用类似，即AI=IA=A注意：当A,B均 时，可以有AB=0 。例如：则 但AB=0（因此，通常的约分律在此不能滥用）五 逆矩阵概念定义 对

4、于n阶方阵A，若存在n阶方阵C，使得AC=CA=I（I为单位阵），则称C为A的逆矩阵（简称逆阵），记作 即 。从而这时方阵A称为可逆的（非奇异的），否则，A叫做不可逆的（奇异的）。例如，则AC=CA=I。故 。逆矩阵有以下性质：（1）若A可逆，则 是唯一的。（2）若A可逆，则 。（3）若A, B均为n阶方阵，且A, B均可逆，则 。以下为补充知识：1 矩阵概念的其它背景：（1）线性方程组的系数矩阵和增广矩阵（2）线性变换的系数矩阵2 矩阵加法的一种实际背景：某种物资（单位：吨）从m个产地运往n个销地，两次调运方案分别用矩阵表示。则求各产地到各销地的两次物资调运量就是作矩阵A和B的加法：3 “数

5、乘矩阵”的一种实际背景：如果一个系统A的输出信号 太小，需外接一个放大器，其放大倍数为k，即输出信号 都放大到k倍，则实际上相当于数k与矩阵 作了乘积5 利用矩阵的乘法，也可以把n个输入m个输出的线性系统简写成矩阵形式Y=AX, 其中即6 在线性控制系统中，往往要把一个线性系统A的输出送到另一个线性系统B中作为输入。于是，将A, B两个系统串联起来的系统等效于线性系统C=BA事实上，设Y=AX，Z=BY， 则Z=B(AX)=(BA)X，即 Z=(BA)X因此，A,B的串联系统确实等效于C=BA系统。ABXYZ7 对于n个未知数、n个方程的线性方程组AX=B（矩阵形式），若系数矩阵A可逆，则必有 （事实上，由AX=B有： ，即 ，