生物控制论：第六章 状态变量法及其在生物医学系统中的应用

1、第六章 状态变量法及其在生物医学系统中的应用 第十讲 控制系统的状态空间描述一、基本概念1、系统状态：控制系统状态是描述系统行为的最小一组变量，只要知道在t=t0时刻的这组变量和t=t0时刻的输入函数，便完全可以确定在任何t=t0时刻上的行为，这个系统的行为称为系统状态。系统状态完整、确定地描述了系统的动态行为2、状态变量：构成控制系统的变量特点： 1)不唯一 2)在同一输入函数的作用下，所得的系统输出函数都是相同的。选择思路： 系统状态应具备在已知初始状态和输入函数的条件下，可以完全确定系统未来的所有运动状态。选择原则： 在系统状态方程中，任何一个状态变量均不包含输入函数的导数项。3、状态向

2、量： 若完全描述一个给定系统的状态行为需要n个状态变量，记为 x1(t)、 x2(t)、 xn(t)，将这些状态变量看成向量x(t)的分量，则向量x(t)称为系统的状态向量。 4、状态空间 以状态向量x(t)的分量 x1(t)、 x2(t)、 xn(t)为坐标轴构成的n维空间，任意的状态x(t)都可以用状态空间中的一个点来描述。5、状态方程 对于一个连续控制系统，通过向量表示方法，可以将描述n阶系统动态特性的微分方程表示成一个一阶矩阵微分方程，若向量分量是选定的状态变量，则上述一阶矩阵微分方程称为连续系统的状态方程。对于一个离散控制系统，通过向量表示方法，可以将描述n阶离散系统动态特性的差分方

3、程表示成一个一阶矩阵差分方程，则上述一阶矩阵差分方程称为离散系统的状态方程。二、线性连续系统的状态空间表达式由系统微分方程列写状态方程及输出方程输入函数不含导数项输入函数含导数项由系统微分方程列写状态方程及输出方程输入函数不含导数项设n阶线性定常连续系统的运动方程为：u为输入，y为输出，u、y及其各阶导数均为时间t的函数(1)选取系统状态变量为：(2)则（1）式可写成(3)一阶矩阵微分方程形式：(4)记：则（4）式可写为：(5)状态向量及其一阶导数A nn常系数矩阵，称为系统矩阵B n1常系数矩阵，称为输入矩阵式（3）或（5）称为线性定常连续系统的状态方程根据系统状态变量的选取，其输出方程可写

4、为：y=x1 (6)或写成矩阵方程式形式为：（7）式中C=(1 0 0)称为输出向量 例：写出下面系统的状态方程及输出方程解：选取为系统的状态变量则系统的状态方程为矩阵微分方程形式：其中根据上述状态变量的选取，其输出方程为 （2）输入函数含导数项设n阶线性定常连续系统的运动方程为：u为输入，y为输出，u、y及其各阶导数均为时间t的函数经过拉氏变换，得到系统方块图U(s)Y(s)U(s)Z(s)Y(s)引入中间变量z，经拉氏反变换，其微分方程为选取状态变量相应的系统状态方程为相应的输出方程为例：写出下列系统状态方程及输出方程解：系统经拉氏变换得到传递函数引入中间变量z取其微分方程为选取系统变量为

5、则系统状态方程为其输出方程为（3）多输入多输出N阶多输入多输出线性定常连续系统的状态空间表达式的向量矩阵形式为式中：x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量，A为nn系统矩阵，B为nr输入（控制）矩阵，C为mn输出矩阵，D为mr直接传递矩阵。氨卡青霉素在体内运转的房室模型f(t)血液室1外周2胆囊3胃肠4k12k21k13k31k14k41k43k34k40微分方程形式的数学模型输出 yx1写成矩阵形式其中线性定常连续系统齐次状态方程的解齐次状态方程初值解矩阵指数（也称状态转移矩阵）（1）矩阵指数方法例：用矩阵指数法求解下面状态方程解：所以齐次状态方程的解为结论：人工计算难以求得解

6、析解（2）拉氏变换法 设齐次状态方程为 对方程两边求拉氏变换 x(s)为状态向量x(t)的拉氏变换 初值 整理得等号两边同时左乘 得对方程两边求拉氏反变换得到解：结论：适合人工计算求得解析解 与矩阵指数的关系：例：用拉氏变换法求解下面状态方程解：三 稳定性分析状态空间表达式适用于：多变量系统时变系统非线性系统分析系统稳定性方法李雅普诺夫稳定性理论（1）基本概念设系统的状态方程为式中：x为n维向量；f(x,t)也是n维向量，其各元素是x和t的有界的、连续可微的单值函数。假定在给定的初始条件下，式（1）的解为（1）式中，t0为初始时刻，x0为状态向量x的初始值于是1、平衡状态：在（1）式所描述的系

7、统中，如果对所有的t,总存在着 f(xc,t)=0 （2） 则称xc为系统的平衡状态。2、李雅普诺夫稳定性如果对于任意选定的实数0，都存在另一实数( ,t0)0,使得当|x(t0)-xc|= 时，随着时间无限增加，恒有|x(t)-xc|t0的所有时间内都包含在另一半径为的球内，则称系统的平衡状态xc为李雅普诺夫意义下的稳定。实数通常与和t0有关。如果与t0无关，则这种平衡状态称为一致稳定的平衡状态。x0 xcS()S()3、渐近稳定性：若系统的平衡状态xc是稳定的，并且当t趋向无穷时，则由初始状态引起的系统响应，x(t)趋近xc ，则系统的平衡状态称为渐近稳定。x0 xcS()S()4、不稳定

8、性 无论实数选得多小，由初始状态引起的系统响应随时间的增长都要脱离球域S() ，则此平衡状态称为不稳定的。x0 xcS()S()（2）李雅普诺夫稳定性判定第一方法（间接法）设系统方程为式中x为n维向量，f(x,t)是n维向量函数，且对向量x连续可微。将f(x,t)在系统的平衡状态xc附近展开为泰勒级数，得式中g(x)是级数的高次项称为雅可比矩阵上式的一次项近似，即为系统的线性化方程的解为根据稳定性定义，若系统在平衡状态xc0是稳定的，那么它在任何初始状态x0下都必须满足即也即要求显然，只有当A的特征值具有负实部时才能满足上式要求李雅普诺夫稳定性判定第一方法：若系统的线性化方程中系数矩阵A的所有

9、特征值都具有负实部，则无论中的高次项g(x)如何，系统的平衡状态xc总是渐近稳定的。若系数矩阵A中，有一个或一个以上的特征值具有正实部，则无论中的高次项g(x)如何，系统的平衡状态xc是不稳定的。若系数矩阵A中，有一个或一个以上的特征值为零，而其余特征值都具有负实部，系统的平衡状态xc的稳定性由中的高次项g(x)决定。对于线性定常系统，高次项g(x)0，系统的平衡状态xc稳定的临界状态例：设系统状态方程如下，判断其稳定性解：系统的特征方程为特征值s11，s23，均为负值，系统在xc0的平衡状态稳定。四matlab应用1、矩阵输入A=1 2 3;4 5 6; 7 8 9或A=1 ， 2， 3;4

10、 ， 5， 6; 7， 8， 92、系统的各种表示方法G=ss(A, B,C,D)num=n1,n2,nnden=d1,d2,dmG=tf(num,den)z=z0,z1,zn;p=p0,p1,p2,pn;k=k0G=zpk(z,p,k)r,p,k=residue(num,den)3、转换函数ss2tftf2sszpkzp2ssss2zpzp2tftf2zpnum,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu即第i个输入，为1是单输入z,p,k=ss2zp (A,B,C,D,iu)iu即第i个输入，为1是单输入A,B,C,D=tf2ss(num,den)z,p,k=tf2zp(num,den

11、)A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)num,den=zp2tf (z,p,k)4、矩阵指数法解状态方程functionPhit,PhitBu=vsolve1(A,B,ut)%vsolve1求解线性连续系统状态方程X=AX+Bu的解%Phit,PhitBu=vsolve1(A,B,ut)%A,B系数矩阵%ut控制输入，必须为实域信号表达式，符号变量为t% Phit-输出Phi(t)%PhitBu-输出Phi(t-tao)*B*u(tao)在区间(0,t)的积分syms t tao %定义符号变量Phit=expm(A*t); % 求矩阵指数 exp(At)if(B=0) B=zeros(s

12、ize(A,1),1); %重构系数矩阵Bendphi=subs(Phit,t,t-tao); %求expA(t-tao),函数subs实现符号表%达式中变量的替换PhitBu=int(phi*B*ut,tao,0,t);%求expA(t-tao)*B*u(tao)在(0,t)区%间的积分,函数int用于求解符号函数的积分 A=0,1;-3,-4; Phit,PhitBu=vsolve1(A,0,0) Phit = -1/2*exp(-3*t)+3/2*exp(-t), 1/2*exp(-t)-1/2*exp(-3*t) -3/2*exp(-t)+3/2*exp(-3*t), 3/2*exp(-3*t)-1/2*exp(-t)PhitBu = 0 0例：设线性定常连续系统的非齐次状态方程为试应用matlab求当输入u(t)=1时方程的解 A=0,1;-3,-4; B=0;1; u=1; Phit,PhitBu=vsolve1(A,B,u)Phit = -1/2*exp(-3*t)+3/2*exp(-t), 1/2*exp(-t)-1/2*exp(-3*t) -3/2*exp(-t)+3/2*exp(-3*t), 3/2*exp(-3*t)-