1轮复习配套讲义：第7篇 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、最新考纲1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识梳理1平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有二个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2空间中两直线的位置关系空间两直线的位置关系平行J共面直线二相父、异面直线：不同在

2、任何一个平面内异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aIIabb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).范围：o,令.平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3空间直线与平面、平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.辨析感悟1对平面基本性质的认识两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(X)两个平面a,”有一个公共点A,就说a,”相交于A点，记作aG”=A.(X)(教材练

3、习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(V)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(X)2对空间直线关系的认识已知a,b是异面直线、直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.(V)没有公共点的两条直线是异面直线.(X)感悟提升1.一点提醒做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”、“只能”、“最多”等如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分2两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交得到的是一条直线,如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线,如(4)3一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点

4、不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线,如(6).考点一平面的基本性质及其应用【例1】(1)以下四个命题中,正确命题的个数是()不共面的四点中,其中任意三点不共线；若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面；若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0B1C2D3(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点，那么正方体的过P,Q,R的截面图形是().A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析(1)正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A

5、,B,C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性;不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上(2)如图所示，作RGPQ交CP于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面的部分外形.同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG.二截面为六边形PQFGRE.答案(1)B(2)D学生用书第112页规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面,关键是画截面与几何体

6、各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置【训练1】如图所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是解析可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A#和BC的中点分别为M,N,可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形;中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此,P,Q,R,S四点不共面.答案考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行；

7、BD与MN为异面直线；GH与MN成60。角；DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是解析把正四面体的平面展开图还原.如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEIMN.答案规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，贝V表示直线GH，MN是异面直线的图形有（填上所有正确答案的序号）.解析图中，直线GH

8、MN；图中，G,H,N三点共面，但M年面GHN,因此直线GH与MN异面；图中，连接MG,GM/HN,因此GH与MN共面；图中,G,M,N共面，但H年面GMN,因此GH与MN异面.所以在图中GH与MN异面.答案考点三异面直线所成的角【例3】在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，ZDAB=60,对角线AC与BD交于点O,PO丄平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60.求四棱锥的体积；若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.审题路线找出PB与平面ABCD所成角3计算出P0的长3求出四棱锥的体积(2)取AB的中点F3作APAB的中位线3找到异面直线DE与PA所成的角3计算其余弦

9、值解(1)在四棱锥PABCD中,PO丄面ABCD,:./PBO是PB与面ABCD所成的角，即/PBO=60。,.BO=ABsin30。=1,PO丄OB,PO=BOtan60=/3,底面菱形的面积S=24Lx22=2j3.四棱锥P-ABCD的体积Vp#bcd=A2x=2.取AB的中点F,连接EF,DF,、：E为PB中点，:.EFIFA,ZDEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.在RtAOB中,AO=ABcos30;3=OP,在RtPOA中,FA=“J6,在正AABD和正APOB中,DF=DE=.3,在ADEF中，由余弦定理，DE2EF2DF2得cosZDEF2DE-EF642XX亨_3辺一

10、4即异面直线DE与PA所成角的余弦值为g2.规律方法(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是o,扌，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围【训练3】(2014成都模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱ABVA1D1的中点，则AB与EF所成角的大小为.解析如

11、图，连接B1D1,D1C,B1C.由题意知EF是ABD1的中位线，所以EFB1D1.又AB/DC,所以A1B与EF所成的角等于B1D1与D1C所成的角.n因为D1B1C为正三角形，所以ZBDC=3n故A1B与EF所成角的大小为3.答案n1证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题,一般有以下两种途径：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余线(或点)均在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证平面重合3异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是

12、异面直线；(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.培养倔款能力学生用书第113页思想方法7构造模型判断空间线面的位置关系【典例】（2012上海卷）已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面，且l与n异面,则（）Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能解析在如图所示的长方体中，m,n1与l都异面，但是mn,所以A,B错误；m,n2与l都异面，且m,n2也异面，所以C错误.答案D反思感悟这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需

13、要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳【自主体验】1.（2013浙江卷）设m,n是两条不同的直线,a,”是两个不同的平面（）.若mila,na,则mln若mla,mlB,则a“若mln,m丄a,贝Un丄aD.若mHa,alp,则ml/3解析本题可借助特殊图形求解,画一个正方体作为模型（如图）设底面ABCD为a,侧面A1ADD1为p.当AB1=m,B1C1=n时，显然A不正确；当B1C=m时，显然D不正确；当B1C1=m时，显然B不正确.故选C.答案C2.对于不同的直线m,n和不同的平面a,p,y,有如下四个命题：若mila,mln

14、,则n丄a；若m丄a,mln,则nila；若a丄p,Y丄P，则aY；若m丄a,mHn,np,则alp.其中真命题的个数是（）.A.1B.2C.3D.4解析本题可借助特殊图形求解.画一个正方体作为模型（如图）设底面ABCD为a.当A1B1=m,B1C1=n,显然符合的条件，但结论不成立；当A1A=m,AC=n,显然符合的条件，但结论不成立；与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行由面面垂直的判定定理可知,是正确的只有正确,故选A.答案A对应学生用书P311基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题(2013江西七校联考)已知直线a和平面a,“,aAp=l,aQa,aQp,且a在

15、a,“内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.答案D在正方体AC1中，E,F分别是线段BC,CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是().A.相交B.异面C.平行D.垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为ABCD,EFU平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交答案A3设P表示一个点，a,b表示两条直线，a,”表示两个平面，给出下列四个命题,其中正确的命题是().Pea,PGaOaUaaAb=P,bu戶aBab,aj,Pb,Pa今

16、buaaAB=b,Pea,pe/pebA.B.C.D.5.解析当aa=P时,Pea,PF,但aQa,错；aC0=P时，错；如图，Tab,Peb,:.Pa,二由直线a与点P确定唯一平面a,又ab,由a与b确定唯一平面，但B经过直线a与点P,与a重合，/.bea,故正确；两个平面的公共点必在其交线上,故正确答案D4.（2013山西重点中学联考）已知l,m,n是空间中的三条直线，命题p：若m丄l,n丄l,则mn；命题q：若直线l,m,n两两相交，则直线l,m,n共面，则下列命题为真命题的是（）.A.pNqB.pVqC.pV（綈q）D.（綈p）Aq解析命题p中,m,n可能平行、还可能相交或异面,所以命

17、题p为假命题；命题q中,当三条直线交于三个不同的点时,三条直线一定共面,当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题.所以綈p和綈q都为真命题，故pV（綈q）为真命题.选C.答案C如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60。角的条数为（）.A1B2C3D4解析有2条：A1B和A1C1.答案B二、填空题6如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1,CC1,A1D1,DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线二24（

18、对）答案247.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为（注：把你认为正确的结论的序号都填上）解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C年平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线,AM与DD1也是异面直线，错，正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N年平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确.答案8.（2013江西卷）如图，正方体的底面与正四面体

19、的底面在同一平面a上，且AB/CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析取CD的中点为G,由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.答案4三、解答题9.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB=90,BC綉|ad,be綉1FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么？证明由已知FG=GA,FH=H

20、D,可得GH綉*AD.又BC綉1AD,AGH綉BC,四边形BCHG为平行四边形.解由BE綉2af,G为FA中点知,BE綉FG,四边形BEFG为平行四边形，:.EF/BG.由(1)知BG綉CH,：EF/CH,：EF与CH共面.又DEFH,：C,D,F,E四点共面.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC交于点O,AC,BD交于点M,求证：点C1,O,M共线.证明如图所示，VArA/C1C,：A1A,C1C确定平面A1C.VA1C平面A1C,OGAQ：.Oe平面A1C,而O=平面BDC。线A1C,：Oe平面BDC1,：O在平面BDC1与平面A1C的交线上.VACABD=

21、M,：.Me平面BDC1,且MG平面A1C,:平面BDC1G平面A1C=C1M,：OGC1M,即C1,O,M三点共线.能力提升题组（建议用时：25分钟）一、选择题1.（2014.长春一模）一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中（）A.ABHCDB.AB与CD相交C.AB丄CDD.AB与CD所成的角为60解析如图,把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原得到图2所示的直观图，可见选项A,B,C不正确.正确选项为D.图2中,BECD,ZABE为AB与CD所成的角，ABE为等边三角形，.ZABE=60.答案D2.在正方体

22、ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA,CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D,EF,CD都相交的直线（）.A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条解析法一图1在EF上任意取一点M,直线A1D与M确定一个平面（如图1）,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.故选D.法二在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面a（如图2）,因CD与平面a不平行，图2所以它们相交，设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.答案D二、填空题3.（2013安徽卷）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）1