初中数学北师大八年级下册（2023年修订）综合与实践《平面图形的镶嵌》教学设计

1、综合实践课程之平面图形的镶嵌教学设计成都七中育才学校 汪梦瑶教材分析 “平面图形的镶嵌”是北师大八年级数学下册综合实践课程，是在学生理解并掌握图形的平移、旋转及多边形的内角和与外角和等几何概念的基础上，把数学知识应用于实际生活之中。体现了多边形在现实生活中的应用价值， 也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。本节内容为1课时，让学生经历探索多边形的镶嵌的过程，感受正三角形、四边形和正六边形可以平面镶嵌，可以运用解不定方程来确定多元镶嵌的可实行性，并能运用这几种图形进行简单的平面镶嵌设计。教学目标（1）通过探索平面图形的镶嵌，使学生了解平面图形镶嵌的概念，了解任意正三角形、四边形或正六边形可

2、以镶嵌平面图形，并能运用这几种图形进行简单的平面图形镶嵌设计；（2）运用列不定方程来验证多元镶嵌的可能性；（3）培养学生观察、动手操作能力。（4）引导学生在图形镶嵌和拼图解题的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。（5）让学生在活动中感受数学的美，进一步发展学生的审美情趣。教学重点探索多边形镶嵌要素以及多边形镶嵌要素的过程。教学难点寻找多边形镶嵌的要素,并如何运用镶嵌的要素解决问题。教学过程设置情景，引入课题概念设置情景：老师买新房要装修地板，请同学们帮忙出出主意。首先向同学们展示班上同学事先给老师拍摄的家庭地砖照片和

3、老师尝试的失败案例(如图).提问学生这些成功的地砖有什么共同特征？从以下三个方面着手： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 每种铺法用了几种基本图形？ = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 这些基本图形的形状、大小有什么特点？ = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 有无缝隙、重叠？共同特征：这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的;这些图形不但是形状相同，而且大小也一样,也就是全等的图形;这些图形与图形之间没有缝隙，也没有重叠。3、引入本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念归纳:这些图案是“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地

4、铺成一片”，这就是数学上“平面图形的镶嵌”，又称做“平面图形的密铺”。这节课，我们一起来进行课题学习“平面图形的镶嵌”。多媒体投影本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片，这叫做平面图形的镶嵌，或平面图形的密铺.二、拼接纸片，探索镶嵌条件1、用正三角形、正方形、正五边形正六边形硬纸片模拟铺地面砖同学们之前的分析帮助老师知道了要想成功铺出地砖，就要实现镶嵌的事例导入。请同学分别用正三角形、正方形、正五边形和正六边形硬纸片拼接图形,彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片（如图）,同学们分组同步拼接, 老师在一旁指导。分组讨论后

5、请小组到黑板上来摆出拼接的图案。在动手过程中，同学们发现，可以实现镶嵌的有：正三角形、正方形和正六边形，而正五边形无法实现镶嵌。让学生想一想下列问题, 分组讨论、交流, 探索多边形镶嵌的要素？让学生讨论得出: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 因为正六边形的每一个内角是1200，在每一个拼接顶点处有3个正六边形, 分别有一个内角,它们彼此相邻,这三个内角的和是360。如图，正三角形、正方形镶嵌也满足以拼接点为顶点的各角之和为360o。 从第 看出,如果一种平面图形能镶嵌,那么这种图形的若干个内角的和是多少度? 让学生讨论得出:如果一种平面图形能镶嵌,那么这种图形的若干个内角的和是

6、360. 正五边形的每个内角是多少度?它的若干个内角的和能等于360o吗?想一想,全等的正五边形能镶嵌吗?让学生讨论得出:不能。因为正五边形的每一个内角是1080，不存在正整数，使成立，所以只用正五边形不能进行镶嵌。(如图）由上得出多边形镶嵌的要素:以拼接点为顶点的各角之和为360o。进一步得到正多边形能够镶嵌的条件是：正多边形的内角读书是360的因数。2、用老师只能买到边角余料的事例导入用不规则四边形铺地板，让学生深入理解镶嵌的要素。让学生分小组动手操作看看是否能将形状大小完全相同的不规则四边形实现镶嵌呢？你是怎么做到的呢？为了辅助学生操作并且归纳，老师将每一块四边形的内角都编号。我们知道，

7、任意四边形的内角和为，即。把一批形状、大小完全相同但不规则的四边形边角余料用来铺地板，按照图示拼接，只需要将每一个内角都放置在一个拼接顶点处，就可以不留空隙，铺成一大片（演示大面积拼法）。（在活动过程中，可能会有学生将不相等的边拼接在一起产生了不同的镶嵌方式，将思考这两类不同的镶嵌方式的根本区别、是否都能大面积密铺、哪一种方式更方便铺满整个平面作为课后思考题。）三、开放操作，培养动手能力感受数学之美1、用2种基本图形实现镶嵌，进一步巩固镶嵌的要素在经历使用一种基本图形实现镶嵌之后，引导学生使用2种基本图形实现多元镶嵌。在这一环节中，学生通过动手操作可能会拼接出各样的图形，但是很多孩子会忽略掉镶

8、嵌的要素而只是通过直观层面看可否拼接。分组活动后请2到3个小组上台展示成果，这时老师需要在黑板上明确演算360度的计算过程，让孩子们明确手工操作有误差，要确认是否可以镶嵌还是要回归到要素的计算上面去。利用解不定方程来确定多元镶嵌是否能够实现在上一环节中学生操作了用2种基本图形来镶嵌，老师提问：在同学们手上没有模型的情况下，能不能解决正三角形和正八边形是否能够镶嵌的问题呢？请学生思考并请同学作答。我们知道正三角形的内角为，正八边形内角为，假设在一个顶点处有个正三角形，个正八边形，如果能够实现镶嵌，则需要满足，化简可得，结合都是正整数故而无解。通过计算过程，学生借助简单的不定方程来解决镶嵌问题。课堂升华，感受数学之美首先老师展示一个较为简单的镶嵌过程，让学生感受可以通过剪切、平移、粘贴来进行镶嵌设计、镶嵌不仅仅局限于多边形。接下来通过微课展示一个相对复杂的镶嵌设计，鼓励学生设计自己的镶嵌图形。微课演示老师设计镶嵌图形的过程，引导学生通过剪切、重拼、粘贴、装饰，挑战老师设计出更美丽的镶嵌图案。将设计好的作品粘贴