辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷

绝密★启用前辽宁省名校联盟2024年高三10月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知是关于的方程的一个根，，则（）A.0B.2C.1D.43.已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（）A.5B.4C.3D.24.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设函数，则的最小值为（）A.780B.390C.400D.2006.已知，则（）A.B.C.D.7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志而得名，是平面向量中一个非常优美的结论，它的具体内容是：如图，已知是内的一点，的面积分别为，则.若为的垂心，且，则（）A.B.C.D.8.，用表示中的较小者，记为，设函数，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.B.C.在上为增函数D.函数在上有且只有2个零点10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知点是直线上三个不同的点，为直线外一点，且，则B.已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C.已知点为三条边的中线的交点，则D.已知，则在上的投影的坐标为11.设函数且，则（）A.函数和的图像关于直线对称B.函数和的图像的交点均在直线上C.若，方程的根为，方程的根为，则D.已知，若恒成立，则的取值范围为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数的取值范围是__________.13.设函数，若在上是减函数，则的取值范围为__________.14.，若定义，则中的元素有__________个.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知公差不为0的等差数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）令，记为数列的前项和，若，求的最小值.16.（15分）已知函数.（1）当时，若，求的极值点和极值､最值点和最值；（2）讨论在上的单调性.17.（15分）已知函数.（1）求方程在上的解集；（2）设函数.（i）证明：在上有且只有一个零点；（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：18.（17分）已知函数.（1）若在上为增函数，求的取值范围；（2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求的最大值；（3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）若，证明：；（2）记数列的前项和为.（i）若，证明：.（ii）已知函数，若，证明：.辽宁名校联盟高三10月联考参考答案及解析1.C【解析】因为，所以.故选C项.2.D【解析】由题意得，所以.故选D项.3.B【解析】若三点共线，则，所以所以，所以，当且仅当时取等号.故选B项.4.B【解析】若，则，所以，必要性成立；若，则，所以，充分性不成立.故“”是“”的必要不充分条件.故选B项.5.C【解析】因为，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号；以此类推，直到，当且仅当取等号，所以，当且仅当时取等号.故选C项.6.D【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选D项.7.B【解析】如图，延长交于点，则，延长交于点，则，且，因为，所以，设，则，所以在中，，在中，，因为，所以，即，故.故选B项.8.A【解析】因为，所以在上为增函数，所以当时，，所以当1时，成立.同时因为当时，，所以当时，恒成立，即当时，，即.设，则，当且仅当时取等号，所以.故选A项.二､多选题9.ABD【解析】由题意得函数的最小正周期为，所以成立，A项正确；因为，所以是的最小值，所以直线是图像的一条对称轴，所以成立，B项正确；当时，，当时，为减函数，C项错误；由题意知在有两个不等实根，设，由函数的图像，易知与直线有两个不同的交点，D项正确.故选ABD项.10.ACD【解析】因为，所以，故A项正确；当时，，此时与的夹角为，不是锐角，故B项错误；易知C项正确；在上的投影的坐标为，故D项正确.故选ACD.11.AC【解析】易知A项正确.例如：当时，和的图像有交点和，均不在直线上，故B项错误.因为，所以，得，故，设函数，易知其为增函数，因为，所以，即成立，故C项正确.当时，为增函数.若，则，与矛盾，舍去，所以，若恒成立，则，即，两边取对数可得，即，利用导数可求得的最大值为，所以，所以.同理可得等价于，即，即，所以，所以.综上，的取值范围为，故D项错误.故选AC项.三､填空题12.【解析】因为，所以，则包含0的增区间为，因为，所以，所以故的取值范围为.13.【解析】由题知，即对任意恒成立，所以只需时恒成立即可.因为时，，所以由，得，所以，所以，故的取值范围为14.14【解析】因为，，所以，，共14个元素.四､解答题15.解：（1）由，得，因为，所以，所以，所以，解得，所以.（2）由（1）得，则，所以，显然在上单调递增，当时，，当时，，所以使成立的的最小值为6.16.解：（1）当，则.当时，令，得或.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以的极大值点为，极小值点为0；极大值为，极小值为.因为，且当时，恒成立，所以的最大值点为1，最小值点为0；最大值为，最小值为0.（2）.若，则，所以在上单调递增.若，令，得.若，即，则当时，，所以在上单调递增.若，即，则当时，0，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.17.（1）解：因为，所以，所以或.当时，，则，又，所以或；当时，则，又，所以，所以或，所以或.所以方程在上的解集为.（2）（i）证明：当时，因为，所以，故，所以在区间上单调递增，又，所以在时有唯一零点.当时，，所以，所以在时没有零点.综上，在上有且只有一个零点.（ii）证明：由函数的零点为，得，且，所以，所以，令，因为，所以所以，又所以，所以.设，则在上为增函数，所以当时，，即，故.18.解：（1）由，得，所以，所以解得.因为，所以解得，因为，所以，所以，故的取值范围为.（2）因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以，又是的一个零点，所以，即，所以或，解得或，由，可得，所以，令，则，即或，解得或所以由小到大依次取值，第七个正数零点是故在上恰好有6个零点，则的最大值为.（3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则.当时，，则，则，当时，，则，则，由，可得解得，故的取值范围为.19.证明：