初中数学北师大九年级下册（2023年新编） 二次函数陈声权-二次函数的应用-最大面积问题

1、的教学设计 成都棠湖外国语学校 陈声权一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。二、教学目标1、借助反比例函数中三角形

2、面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

3、四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象都经过点A（2，2）（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及ABC的面积方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。割：过点A作y轴平行线交BC于点H，则用三角形ACH的面积加上三角形ABH面积。割：过点C作x轴平行线交BA于点Q，则用三角形ACQ的面

4、积加上三角形BCQ面积。转化：三角形ABC面积等于三角形BCO面积。重点分析方法（2）、（3）过点P作x轴或y轴平行线，得出通法：水平宽乘以竖直高的一半反思小结：此环节可以说是本节课最成功的一部分；学生充分参与、相互评价并提出自己的不同解法。在肯定别人的同时也敢于表达自己的观点。老师结合学生的展示总结提炼出以下五种方法，达到预设的一题多解的目标。此外我做了这样的总评：我们提倡也需要一题多解，但是我们这些解法从本质看我们可以归结为两个字即“拆、补”，当然这也是我们今后解决非特殊图像常用的方法。其次我们还用到转化思想，将非特殊图像的面积转化为已知的图书图像面积。自主探究（1）1、若AB平行于x轴，

5、则线段AB的长度可以表示为_xB-_xA_。2、若CD平行于y轴，则线段CD的长度可以表示为_yC-yD_。自主探究（2）若四边形ABCD胡对角线互相垂直则四边形ABCD的面积可以怎么算？SABCD=12ACBD_2、过点A、点C分别作BD的平行线，点P是一动点（如图）连接PD并延长交点C所在的平行线于点Q，连接BQ，思考三角形PBQ的面积与四边形ABCD面积之间的大小关系？教师点拨：由三角形ABD与三角形PBD属于同底等高可知：SABD=SPBD同理可知：SCBD=SQBD：SPBQ=SABCD=12ACBD=12BDxC-xA=12BDxQ-xP=12yD-yBxC-xA得出结论：SPBQ

6、=水平宽乘以竖直高的一半抽象基本模型，在所给的复杂图形中挖掘出三角形模型；总结方法：在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（x，y），B（a，b），C（m，n）求三角形ABC的面积。求出BC所在解析式，过点A作Y轴平行线AH与BC交于点H（或过点A作x轴平行线）则可得公式：SABC=12AHxC-xB=12yA-yHxC-xB反思小结：此环节的设定非常有必要；俗话说知其然知其所以然。这个环节从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程总认识水平宽乘以竖直高的一半这一方法的实质，当然此方法也有助于学生进一步理解菱形的面积可以等于对角线乘积的一半，及拓展到只要是对角线互相垂直的四边形都可

7、以用对角线乘积的一半进行计算。【典例分析】例题1：已知抛物解析式为y=-x-2x+3与x轴交于点A、B与y轴交于点C。点D是抛物线AC部分的一动点，求三角形ACD的最大面积并求出此时点D的坐标。（学生结合所分析方法先尝试独立完成，当然也鼓励有其他新方法，完成之后由学生小组互相检查，评价并发言总结。教师结合学生分析同时投影学生做题情况进行点拨与板书。）解：令y=0则-x-2x+3=0，则得A（-3，0），B（1，0）令x=0，则点C（0，3）设AC解析式y=kx+b，代入可知AC：y=x+3过点D作y轴平行线与AC交于点H，设点D（m，-m-2m+3）点D与点H横坐标相等，点H (m，m+3)方

8、法（2）由平移关系可知当过点D的平行线与抛物线相切时面积最大，也可用此法分析。追问：2.求四边形ABCD的最大面积。3.什么时候AD、CD与抛物线所组成的阴影面积最小。反思小结：此例题（1）问属于常规题型、便于考查学生对刚学的公式“水平宽乘以竖直高的一半”的理解、对二次函数什么时候取最值、能否取到最值及准确的运算能力。此外考查学生的类比思想、二次函数的模型思想。从课堂反馈来看学生普遍能够掌握此方法，并且80%以上的学生都能掌握。对于追问：目的在于考查学生对知识的灵活运用，即将四边形的面积问题转化成三角形问题，在运用二次函数的模型思想去解决，对于此问题课堂的反馈还好，学生普遍能够解决。然而紧接着

9、的追问3学生有点蒙。追问3属于不规则阴影面积问题，没有相应的公式可以直接求解。此时先给学生3分钟的独立思考时间，再2分钟的小组讨论，由学生先阐述自己的想法，再由学生相互补充评价，然后再由老师整理点拔。其实质便是问什么时候四边形AOCD什么时候面积最大。从而学生豁然顿悟。此环节体现了我校“3+1”教学策略的灵活运用，当然也体现数学中的化难为易、化未知为已知的化归思想。【变式训练】如图，直线l：y=3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x+2x+3经过点B，点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，ABM的面积为S，求S的最大值及点M的坐标。反思小结：本题的设

10、置与例题相比加大了一点难度，若要用“水平宽乘以竖直高的一半”则应该选择过点M作X轴的平行线，过点M作Y轴平行线也可以，此时便是用两个三角形面积的差求三角形ABM的面积。所以此题一方面教会学生用通法解决问题，另一方面又要灵活的运用“割补法”，将不规则图形转化成规则图形，从而再用二次函数的模型解决此类问题。【我的收获】1、本节课的解题方法：水平宽乘以竖直高的一半2、基本模型：二次函数最值3、基本数学思想：类比思想、转化思想、一题多解思想【课后作业】（分层作业）1、A、B组学生完成天府数学232页17+学案的课后练习2、C组学生学案完成课后练习【课后练习】如图、抛物线y=x+2x-3与x轴交与A、B

11、两点，对称轴为MN与x轴交与点N，顶点为点H，直线BD与对称轴交与点M且点D坐标为（-4，5）。点P是抛物线DH部分的一动点，求四边形DMHP的最大面积及点P的坐标。【教学反思】最大面积问题是二次函数应用的一个难点，本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，本节课采用了本校一直研究的“3+1“教学策略，学生自主学习、相互评价、展示自己，将课堂真正还给学生。教师点拨体现了教师的主导地位。整个过程遵循大的“3+1“教学策略，而在自主学习与探索归纳、典例分析等环节又体现小的“3+1“教学策略。