2025年高考数学第一次模拟考试（江苏卷1）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试(江苏卷)01

全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若集合/={一1,0,1,4},B=Mog2(x+l)<2},则何3=()

A.{0,1}B.{0,4}C.{0,1,4)D.{-1,0,1,4}

【答案】A

【解析】2?={x|log2(x+l)<2}={x|-l<x<3},所以/口8={0,1},

故选A.

2.有一组数据，按从小到大排列为：123,6,7,9,%,这组数据的50%分位数等于他们的平均数，则加为

()

A.10B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】因为该组数据共7个，且7x50%=3.5,所以这组数据的50%分位数为从小到大第4个数，即

解得加=14,

故选C.

3.正方形/BCD的中心为。，边长为2,点P在8。上，则后.函=()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【解析】以正方形45C。的中心。为原点，NC与5。分别为x轴、了轴建立直角坐标系.

因为正方形边长为2,对角线长度为2近.则4(-夜,0),C(V2,0),0(0,0).

由于点P在5。上，设于0,了),ye[-0,左].下=(9,y),CO=(-72,0).

根据向量数量积公式APCO=-1,

故选A.

4.在(。+6)”的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和,

则〃=()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【解析】由题意可得：C：+C：=C：+C：°,则C3=C*,

可得〃+1=14,所以〃=13,

故选D.

5.点声源在空中传播时，衰减量AA(单位：dB)与传播距离d(单位：米)之间的关系式为

AA-lOlg—.若传播距离从20米变化到40米，则衰减量的增加值约为(参考数据：值5。0.7)()

4

A.3dBB.6dBC.9dBD.12dB

【答案】B

【解析】当d=20时，AZj=101gl007r,当d=40时，AL?=101g400兀，

则,M=101g400K-101gl007t=201g2=20(lg10-lg5)»20x(l-0.7)=6.

故选B.

22o

6.已知双曲线C：.-4=ig>0,6>0)的渐近线方程为y=±1x,且其右焦点为(5,0),则双曲线C的标

ab4

准方程为()

【答案】B

【解析】由题意得，2=。，。=5,-：c2=a2+b2,

a4

22

.•“=4,6=3,故双曲线C的标准方程为二-匕=1,

169

故选B.

7.已知角。,£满足85/7=；,85戊85(。+£)=；,贝lJcos(2a+/?)=()

1

ABC.一D

-1-i6-1

【答案】C

cos(a+/7-a)=cos(cr+/7)cosa+sin(a+/7)sina=g,

【解析】由cos尸

结合350（：05（0+力）=；,可得sin（a+/7）sina=；一1^一五1,

所以有cos(2a+/?)=cos(a+a+/?)=cos6/cos(cif+/?)-siii6Zsin(6z+/7)=--^-=—,

故选：C.

8.在圆幕定理中有一个切割线定理：如图1所示，QH为圆。的切线，R为切点、,QCQ为割线，则

\Q^[=\QC\-\QD\.如图2所示，在平面直角坐标系xQy中，已知点/（T。），点P是圆。：/+/=4上

【答案】A

【解析】连接尸。,

在△P4B中，因为。是的中点，

所以用=；（西+而），平方得|由『=：（|西『+|PS|2+21秒〔J丽卜OS/4PB],

将COS//P8」PH；詈]|代入可得归o|=gj2（P"+|尸砰）一口靖=2,

l\rA\•\rD\Nv\/

因为|明=2,所以网『+」「=10,

3

所以c°s/"PA闫网，

3

在Rt△形T,|尸丁|=|必k05/4?8=而力，

\rA\

所以21PH+3归7|=2|川|+向22屈=6行,

当且仅当2|尸H=向即|尸/卜孚

时，取等号,

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设4/2为复数，则下列结论正确的是()

A.匕必2|=归值|B.Z|+22=Z]+Z2

C.若团=闾，则Z；=Z；D."Z1<Z2"是"Z|-Z2<0"的充分不必要条件

【答案】ABD

【解析】设4=a+bi,z2=c+di(q,b,c,dGR),

对于选项A:因为平2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

所以12必21=yl(ac-bd)2+(ad+be)2=y/a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

且闵㈤="2+/42+/=Ja%2+〃/+//+b2c2,所以匕闵=㈤"I，故A正确；

对于选项B：因为Z]+z2=(^+c)+(Z)+6/)z,z1=a-bi,z2=c-di,

贝!]Z]+z2=(Q+c)—(6+d)，,Z]+z2=(Q+c)_(b+d)i,

所以4+Z2=4+Z2,故B正确;

对于选项c：若团=㈤,例如4=i+i0=i-i,满足闻=团=血,

但z；=(l+i)~=2i,z；=(1-i)-=-2i,即二；Hz；,故C错误;

对于选项D：若与<Z2,则a/?都是实数，且Z「Z2<0,即充分性不成立;

若Z］-Z2<0,例如Z］=l+i,Z2=2+i,且Z］_Z2=_l<0,

但Z1/2不是实数，无法比较大小，即必要性不成立;

综上所述：“4<Z2"是"z「z<0"的充分不必要条件，故D正确.

故选：ABD.

10.设函数则()

2+smx

A./(TI+X)=/(X)B./(7t-X)=-/(^)

D.的最小值为一］

C.〃x)在区间［0,兀］上单调递减

【答案】BCD

cos(兀+x)-cosxcosx

【解析】〃兀+x)=故A错误;

2+sin(7t+x)2-sinx-2+sinx

COS(71-x)-cosx

〃n7)==-/(x),故B正确;

2+sin(it-x)2+sinx

-sinx(2+sinx)-cos2x1-2sinx

(2+sinx)2(2+sinx)2，

当XE［0,兀］时，sinx>0,-l-2sinx<0,即尸(％)<0,

所以/(x)在区间［0,兀］上单调递减，故C正确;

令f(x)=C0SX=y,贝！|2y+ysinx=cosx,

2+sinx

整理得2y=cosx-ysinx=^/1+j?sin(x+^?),

所以sin(x+°)=<J

1+/3--T

即/(X)的最小值为-g,故D正确.

故选：BCD.

11.对于抛物线/：/=2",(p>0),尸是它的焦点，y的准线与x轴交于T,过点7作斜率为曲％>0)的

直线与y依次交于B、/两点，使得恰有BT-BF=0,下列说法正确的是()

A.k是定值，。不是定值

B.k不是定值，P也不是定值

C./、B两点横坐标乘积为定值

D.记AB中点为M,则M和/横坐标之比为定值

【答案】AD

【解析】如图,

由题意得7-TTp0,设8

设直线"的方程为x=my-4,机=；,（左不等于0）,

2k

x=my---P-o

联立29,可得y-2mpy+p=0,

V=2px

所以M+%=2mp,y)2=p。,

p.v

对于A,由近.丽=0,即一万一/f"七一1"

可得工-4+，=。，即y：+=0，

424

解得货=（0-2）p2,由斤>0,贝！）%>0,可得必=

可得3的横坐标叵即8

P，P\,

2

775-2/?_2775-2

可得左=忑二5一不51为定值,故A正确B错误;

2P+3

对C'4B两点横坐标乘积为审=喟1=工=亡,不是定值，故C错误;

4p24

22

江+也2

对D,由题意，M的横坐标为2P2P_歹；+竟_（必+%）-2%为_4加2P2-222

24P4P4/?

（2加2-1））

_2_2_~2~

p21（火+2）0

由C选项分析可得点力的横坐标为彳.看2=-2—

迅P

所以=5-2石为定值,故D正确.

2

故选：AD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.记△4BC内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知6=2,c=3,cos（8+C）=-§,则。=

【答案】亚

【解析】由COS（5+C）=COS［K-（5+C）］=-COST4=--,故cosZ=§,

2

22

贝［j/=b+c-2bccosA=4+9-12x-=5f故〃

13.函数/（%）=x-2sinx在［0,2可上的最大值点为.

【答案】y/|^

【解析】由题意得/7x）=1-2cosx,

当.时，r（x）＜0,所以/⑴在［0,1和［m，2兀］上单调递减，

当xeKj时，八x）＞0,所以Ax）在卓芝|上单调递增，

所以〃x）在xj处取得极小值，在x音处取得极大值，

当x=0时，/（0）=0;

当x音时，函数“X）取得极大值曰音+回

因为「百＞0,所以最大值点为

14.已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概

率为

【答案】£

【解析】从11个点中取4个点的取法为=330种,

只要求出共面的就可以了，共面的分四种情况:

1.四个点都在正五棱锥的某一个面上，每个面5个点，有C；种，6个面共有6C；=30情况

2.四个点在两条侧棱上且不在侧面内的情况有=25,

3四个点均在各侧棱的中点时有C；=5,

4.其中两点所在直线与另两点所在直线平行，

且这四个点也不在四面体的某一个面上有10种，

因此取4个不共面的点的不同取法共有：330-30-25-5-10=260,

所以这四个点不共面的概率为=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（本小题满分13分）如图，圆柱的轴截面为正方形，点E在底面圆周上，旦BE=CE,M为AE

上的一点，且瓦为线段NC上一动点（不与4c重合）

（1）若4N=2NC,设平面BMVc面3EC=/,求证：MN/H■

TT

（2）当平面3AW与平面QEC夹角为试确定N点的位置.

【解】（1）由题知/5_1面5£。,£。＜=面，则4B_LEC,

由8c为底面圆的直径，则

由BEC4B=B,BE,ABu面ABE,

ECABE,

又•.,EA/u面A8E,/.ECIBM,

又BMLAC,ACcEC=C,4C,ECu面4EC,

_L面AEC,

又：4Eu面4EC,故

ME_ME-EABE2_1_NC

由AB=BC=4iBE,在A4BE中，由射影定理:

~AM~AM-EA-zF_2-^V

故MN11EC,ECu面BEC,MN<X面BEC,

:.MN”画BEC,又面8£Cc面aW=/,MNu面BMN,

：.MN//l.

(2)由(1)知，以E为原点EC,£3为x,V轴正方向，过E的母线为z轴正方向建立空间直角坐标系,

不妨设EC=1,

设灰=抚3=卜44仞),彳€(0,1),W=SC+CW=(1,-1,0)+(-2,A,V2A)=(1-2,-1+2,722),

~BM.n=--v+—z=0

设面BACV的法向量为方=(x,y,z),则3-3

丽・亢=(1-㈤x+(-l+X)y+&z=0

令产1,则

又平面EDC的一个法向量v=(0,1,0)

设平面与平面DEC的夹角为。，则

解得几=0或人;，

其中2=0时N,C重合，不合题意，

7T1

故当平面与平面DEC夹角为1时彳=5,此时N为/C中点.

1,

16.(本小题满分15分)已知函数/'(x)=xlnx-ia(x-2y-3x.

(1)若。=1,求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)有两个极值点，求。的最小整数值.(参考数据：ln2。0.7)

【解】(1)当。=1时，/(x)=xlnx-g(x-2『-3x,所以/=lnx-x,

设g(x)=lnx-x,g'(x)=^-^,

则g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+⑹单调递减，

所以g(x)=g⑴=T,即以(x)<0,

故〃x)在(0,+⑹单调递减.

(2)/'(X)=lnx-ax+2a-2,

即原题等价于/(X)有两个零点，设〃(x)=lnx-G+2a-2,^(x)=—

当aWO时，h'(x)>0,

则Mx)在定义域单调递增，/(x)最多有一个零点，与题意不符.

当a>0时，令"(x)>0=x<L

a

即"(X)在］o,£|单调递增，在单调递减.

当X—0,0⑴一―00,Xf+8,-

由于/(X)有两个零点，贝必(：］>0这等价于2a-lna-3>0①,

注意到a=1时①式不成立，而。=2时成立，故4的最小整数值为2.

17.(本小题满分15分)已知椭圆y：4+4=l(a>6>0),/与圆产+小=/-〃在第一、第四象限分别

ab

TT

交于0、P两点，且满足ZPOQ=~,PQ=1,

(1)求椭圆/的标准方程；

(2)A是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦BC使得OAUBC,OA=BC,求证:四边形O42C的面积为

定值.

【解】(1)由对称性知，］。尸|=|。。|,

因为/尸。0=］，PQ=I,所以aop。是边长为1的等边三角形，

因为。位于第一象限，所以0(学,?，

31

代入椭圆7的方程有互+&7,

/b2~

a1

代入圆Y+/=力—b2的方程有:+：=/—〃，

44

联立解得/=£a,b2=-1,

22

土+匕一1

所以椭圆r的标准方程为§+工一1.

22

4

m2n2q

(2)证明：设则直线。/的斜率为一，且丁+7=1,即加2+3"2=三,

m——2

22

因为。4//2C,CM=2C,所以四边形0/3C是平行四边形,\BC\=\OA\=ylm2+n2,

ri

设直线BC的方程为>

y--a—)

联立<2m，得(2加2+6〃2)X2_12〃2及+6后2-3加2二0,

2xC24

——+2y2=1

13/

12后6R2—3加2

所LA玉+*2=

2m2+6n22加2+6/

2&•J毋-2〃25+3/

2病+6川

I~22J加2-2〃2/+3/

='m+n-------------3-----------因为忸。|二|。4|二府

2

J加2-2岛2+3〃，

所以j/+“2=%2+〃2

2

2

393

整理得6q-2岛2)=j,即H=j

n,、

一(m-t)-n

m

而点A到直线5C的距离为"

22

所以四边形OABC的面积S=2S^ABC=2--\BC\-d=\O^d=^m+n.JM=M=1)为定值.

2yjm+n-4

18.(本小题满分17分)2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识,

M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛

(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记

小王在初赛中答对的题目个数为X,求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决

赛的概率；

(2)、大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩,对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下:

已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次

奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为。[o<P<j],且每次是

否中奖相互独立.

(i)记一名进入决赛的大学生恰好中奖I次的概率为了(。)，求〃的极大值；

(ii)/大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120

元，试求此时。的取值范围.

【解】(1)由题意知，X的可能取值为0,1,2,

r°r21

则尸(x=0)=中

15

尸(X=1)=*1

c2ro2

尸(X=2)=*]

故X的分布列为

X012

182

p

1515

124

贝七(X)=UX-------Fix-------F2X—=—.

V7151553

记事件A：小王已经答对一题，事件8:小王未进入决赛，

/.、n(AB}C'C*4x24

则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率A)=-^-=-^^=—=-.

(2)(i)由题意知，/(p)=C；p(l-p)2=3p3-602+30[o<0<：j,

则/⑺=3(3p-l)(p—l),

令/''(。)=0,解得P=；或。=1(舍)，

当时，f'(p)>0,当peg,时，/'(同<0,

所以/(。)在区间内单调递增，在区间内单调递减，

所以当P=g时，有极大值，且/'(P)的极大值为；

(ii)由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量y,

则Y的可能取值为60,120,180,360,

尸(y=60)=(l-0二

P(y=120)=C；Ml-0)2,

尸(y=i80)=c初20_0，

产(y=360)=/,

所以E(Y)=60(1-p)3+120C；p(l-，A+180C；p2(1-p)+360p3=60(2p3+3p+l),

所以9E（y）占1120,

即540(2p3+3p+l)21120,整理得2P、3p---^0,

1OQ

经观察可知p=-是方程2P3+3p-'=0的根,

故2P3+3p_==2+竺

77Q

因为2P2+（°+看>0恒成立，

7911

所以由2/+3p-,20可得。-钎0,解得得”葭

「、

又0<p<；3,所以P的取值范围13为.

19.（本小题满分17分）对于数列｛4｝,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称｛g｝

为尸数列.

（1）若｛勾｝的前〃项和5,=3,+2,试判断｛%｝是否是P数列，并说明理由；

（2）设数列％,电，。是首项为-1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；

（3）设无穷数列｛%｝是首项为。、公比为4的等比数列，有穷数列他,｝,k“｝是从｛%｝中取出部分项

按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为（，T2,求｛g｝是P数列时。与4所满足的条件,

并证明命题”若。>0且T=4，则｛%｝不是尸数列

【解】⑴•••S“=3”+2,

.•““=5"-九=2-3。吟2）,

当〃=1时，4=Si=5,

5,n=l

故％

23'T,n>2

那么当左eN*时，一片=2-3"-3«-2=3上一2>0,符合题意,

故数列｛%｝是产数列

（2）由题意知，