初中数学北师大九年级上册（2023年修订） 特殊平行四边形九年级上册数学教案

1、第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质【学习目标】1理解菱形的概念，掌握菱形的性质2培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识3经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法【学习重点】理解并掌握菱形的性质【学习难点】形成推理的能力一、情景导入生成问题1平行四边形的一组对边平行且相等2平行四边形的对角相等3平行四边形的对角线互相平分二、自学互研生成能力先阅读教材P23页的内容，然后完成下面的问题：1菱形的定义是什么？答：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形具有平行四边形的所有性质吗？答：菱形是特殊的

2、平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质1教师拿出平行四边形木框(可活动的)，操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是特殊的平行四边形，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质2如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开思考：(1)这是一个什么样的图形呢？(2)有几条对称轴？(3)对称轴之间有什么位置关系？(4)菱形中有哪些相等的线段？师生结论：(1)菱形；(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线；(3)两条对称轴互相垂直；(4)菱形的四条边相等3归纳结论：菱形具有平行四边形的一切性质，另外

3、，菱形的四条边相等、对角线互相垂直解答下列各题：1已知菱形ABCD的边长为3cm，则该菱形的周长为_12_cm.2如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，A60，则对角线BD_5_cm. 典例讲解：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD60，BD6，求菱形的边长AB和对角线AC的长解：四边形ABCD是菱形，ABAD(菱形的四条边都相等)，ACBD(菱形的对角线互相垂直)，OBODBD63(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD60，ABD是等边三角形，ABBD6.在RtAOB中，由勾股定理得OA2OB2AB2，OA3，AC2OA6.对应练习：如图，在菱形ABCD

4、中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB5cm，AO4cm.求BD的长解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直)在RtAOB中，由勾股定理，得AO2BO2AB2，BO3.四边形ABCD是菱形，BD2BO236(菱形的对角线互相平分)三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索菱形的性质知识模块二菱形性质的应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书

5、五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_第2课时菱形的判定【学习目标】1理解并掌握菱形的定义及两种判定方法2会用这些判定方法进行有关的论证和计算3经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，发展学生主动探究的思想并了解说理的基本方法4培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力【学习重点】菱形的两个判定方法【学习难点】判定方法的证明及运用一、情景导入生成问题1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质：性质1：菱形的四条边都相等；性质2：菱形的对角线互相垂直二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块一探索菱形的

6、判定方法)先阅读教材P56页内容，然后完成下面的问题。运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？答：2个条件：(1)该四边形是平行四边形；(2)该平行四边形有一组邻边相等1活动1：探下列步骤画出一个平行四边形：(1)画一条线段长AC6cm；(2)取AC的中点O，再以点O为中点画另一条线段BD8cm，且使BDAC；(3)顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.猜猜你画的是什么四边形？归纳结论：菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：(1)该四边形是一个平行四边形；(2)该四边形的两条对角线互相垂直2证明菱形的判定方法1已知：如图，在ABCD中，对

7、角线AC与BD交于点O，ACBD.求证：ABCD是菱形证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC.又ACBD，BD是线段AC的垂直平分线BABC.四边形ABCD是菱形(菱形定义)3活动2：画一画，作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？归纳结论：菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形4证明菱形的判定方法2已知：如图，四边形ABCD中，ABBCCDDA. 求证：四边形ABCD是菱形证明：ABCD，ADBC.四边形ABCD是平行四边形又ABBC，四边形ABCD是菱形(菱形定义)

8、eq avs4al(知识模块二菱形判定定理的应用)解答下列各题：1边长等于2cm的两个等边三角形拼成的四边形一定是一个_菱_形2已知四边形ABCD满足条件ABBCCD，ABCD，则四边形ABCD的形状一定是菱形典例讲解：已知：如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相交于点E、O、F.求证：四边形AECF是菱形证明：四形边ABCD是平行四边形，ADBC，12，EF是AC的垂直平分线，OAOC，在AOE和COF中，eq blc(avs4alco1(12，,OAOC，,AOECOF，)AOECOF(ASA)，AECF，AECF，四边形AECF是平行四边形，又ACEF，AEC

9、F是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)对应练习：如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形证明：MN是AC的垂直平分线DADC，OAOC，AODEOC90，CEAB，DAOECO，ADOCEO(ASA)，ADCE.四边形ADCE是平行四边形又DADC，ADCE是菱形三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上

10、，通过交流“生成新知”知识模块一探索菱形的判定方法知识模块二菱形判定定理的应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_ 1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质【学习目标】1了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质2经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法3培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值【学习重点】掌握矩形的性质，并学会应用【学习难点】理解矩形的特殊性质一、情景导入生成问题1菱形的定义是什么？答：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直二、自学互研生成能力e

11、q avs4al(知识模块一探索矩形的性质)先阅读教材P1112页的内容，然后完成下列的问题。1矩形的定义是什么？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)2矩形具有一般平行四边形的所有性质吗？答：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的所有性质1拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？(演示拉动过程如图)2再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形归纳结论：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)3学生观察教师的教具，研究其变化情况后，可以发现：矩形是平行四

12、边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？归纳结论：矩形性质1：矩形的四个角都是直角；矩形性质2：矩形的对角线相等4矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？答：矩形是轴对称图形，有两条对称轴5如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，探究AO与BD的数量关系归纳结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半eq avs4al(知识模块二矩形性质的应用)解答下列各题：1平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是(B)A对角线相等B对角线互相平行C对角线平分一组对角 D对角线互相垂直2如图，在RtABC中，ACB90，AB10，CD是AB边上的中

13、线，则CD的长是(C) A20B10C5D.eq f(5,2)典例讲解：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60，AB4cm，求矩形对角线的长解：四边形ABCD是矩形AC与BD相等且互相平分OAOB.又AOB60，OAB是等边三角形矩形的对角线长ACBD2OA248cm.对应练习：已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AEBC.求证：CEEF. 证明：四边形ABCD是矩形，B90，且ADBC.12.DFAE，AFD90.BAFD.又ADAE，ABEDFA(AAS)AFBE.EFEC.三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探

14、究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索矩形的性质知识模块二矩形性质的应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_ 第2课时矩形的判定【学习目标】1会证明矩形的判定定理2能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明3能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明【学习重点】理解并掌握矩形的判定方法及证明，掌握判定的应用【学习难点】定理的证明方法及运用一、情景导入生成问题1矩形的四

15、个角都是直角，矩形的对角线相等2菱形的判定方法有哪些？答：定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2)四边相等的四边形是菱形二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块一探索矩形的判定方法)先阅读教材P14“做一做”，完成下面的问题：1运用矩形的定义进行矩形的判定，应具备几个条件？答：2个条件：(1)该四边形是平行四边形；(2)该平行四边形有一个角是直角2“做一做”中随着的变化，两条对角线的长度会发生怎样的变化？答：随着的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长1动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点思考：(1)随

16、着的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？归纳结论：对角线相等的平行四边形是矩形已知：如图，在ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，ACDB.求证：ABCD是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABDC.又BCCB，ACDB，ABCDCB.ABCDCB.ABDC，ABCDCB180.ABCDCBeq f(1,2)18090.ABCD是矩形(矩形的定义)2矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形eq avs

17、4al(知识模块二矩形判定定理的应用)解答下列各题：1对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形2下列说法错误的是(C)A有一组对角互补的平行四边形一定是矩形B两条对角线相等的平行四边形一定是矩形C对角线互相平分的四边形一定是矩形D有三个角是直角的四边形一定是矩形典例讲解：已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC.DABABC180.又AE平分DAB，BG平分ABC，EABABGeq f(1,2)18090.AFB90，EFGAFB90.同理可证AEDBGCEFG90.四边形EFGH是

18、矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)对应练习：如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，ABO是等边三角形，AB4，求ABCD的面积解：四边形ABCD是平行四边形，AOeq f(1,2)AC，BOeq f(1,2)BD.AOBO，ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)在RtABC中，AB4cm，AC2AO8cm，BCeq r(8242)4eq r(3)(cm)SABCDABBC44eq r(3)16eq r(3)(cm2)三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上

19、述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索矩形的判定方法知识模块二矩形判定定理的应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_ 1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质【学习目标】1掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题【学习重点】探索正方形的性质定理【学习难点】掌握正方形的性质的应用方法一、情景导入生成问题1菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直2矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3有一组邻边相等的平

20、行四边形叫菱形；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块一探索正方形的性质)阅读教材P20“议一议”及其上面的内容，然后完成下面的问题：1正方形的定义是什么？答：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形是矩形吗？是菱形吗？答：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形1在我们的生活中除了矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2展示正方形图片，让学生观察它们有什么共同特征归纳结论：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形3做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形4观察：这个正方形具有哪些性质？归纳结论：正方形的四个角都

21、是直角，四条边相等正方形的对角线相等且互相垂直平分5议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？答：如图：eq avs4al(知识模块二正方形性质的应用)解答下列各题：1正方形具有而矩形不具有的性质是(B)A四个角都是直角B一条对角线平分一组对角C对角线相等 D对边互相平行2下列性质，正方形具有而菱形不具有的性质是(填序号)四边相等；对角线互相平分；对角线相等；对角线互相垂直；四个角都是直角；每一条对角线平分一组对角；有4条对称轴典例讲解：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AGEF，垂足为G，且AGAB，求EAF的度数分析：根据直角三角形全

22、等的判定定理，可得出ABFAGF，故有BAFGAF，再证明AGEADE，有GAEDAE，所以可得EAF45.解：在RtABF与RtAGF中，ABAG，AFAF，BAGF90，ABFAGF(HL)，BAFGAF，同理易得：AGEADE，有GAEDAE；即EAFEAGFAGeq f(1,2)(DAGBAG)eq f(1,2)DAB45，故EAF45.对应练习：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DEBF，连接AE、AF、EF. (1)求证：ADEABF；(2)填空：ABF可以由ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；(3)若BC8，DE6，求AEF的面积解：(

23、1)由SAS证明ADEABF；(3)由勾股定理得AE10，由(1)得AEAF，DAEBAF，进而证EAF90，AEF的面积eq f(1,2)AE2eq f(1,2)10050.三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索正方形的性质知识模块二正方形性质的应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_第2课时正方形的判定【学

24、习目标】1掌握正方形的判定方法；会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算2理解特殊的平行四边形之间的内在联系，形成辨证看问题的观点【学习重点】掌握正方形的判定条件【学习难点】合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算一、情景导入生成问题1正方形的四个角都是直角，四条边相等2正方形的对角线相等且互相垂直平分3正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(A)A8B4eq r(2)C8eq r(2)D16二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块一探索正方形的判定方法)先阅读教材P22“议一议”，然后完成下面的问题：1运用正方形的定义进行正方形的判定，应具备几个条件？答：应具

25、备3个条件：(1)是平行四边形；(2)有一组邻边相等；(3)有一个角是直角2一组邻边相等的矩形是正方形吗？答：一组邻边相等的矩形是正方形1活动内容：问题：将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？(学生动手折叠、思考、剪切) 答：剪下一个等腰直角三角形2思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？由菱形变为正方形还需要哪些条件？归纳结论：正方形的判定定理：(1)对角线相等的菱形是正方形；(2)对角线垂直的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形3教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系eq avs4al(知识模块二正方形判定定

26、理的应用)解答下列各题：1将一张矩形纸片对折两次(两条折痕互相垂直)，然后剪下一个角后，打开这个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C)A22.5B30C45D602下列说法不正确的是(C)A对角线互相垂直的矩形是正方形B对角线相等的菱形是正方形C有一个角是直角的平行四边形是正方形D一组邻边相等的矩形是正方形典例讲解：教材P23例2.对应练习：已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是E、F.且BFCE. (1)求证：ABC是等腰三角形；(2)当A90时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论解：(1)DEAC，DFAB，BFDCED90，又BD

27、CD，BFCE，RtBDFRtCDE，BC.故ABC是等腰三角形；(2)四边形AFDE是正方形；证明：A90，DEAC，DFAB，四边形AFDE是矩形，又RtBDFRtCDE，DFDE，矩形AFDE是正方形三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索正方形的判定方法知识模块二正方形判定定理的应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_

28、2存在困惑：_2.1认识一元二次方程第1课时一元二次方程【学习目标】1探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识2在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系3通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用【学习重点】一元二次方程的概念【学习难点】如何把实际问题转化为数学方程一、情景导入生成问题1单项式和多项式统称为整式2含有未知数的等式叫做方程3计算：(x2)2x24x4；(x3)2x26x94计算：(52x)(82x)4x226x40

29、二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块一探索一元二次方程)先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：1在第一个问题中，地毯的长可以表示为(82x)m，宽可以表示为(52x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(82x)(52x)182在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢？答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题意可列方程，得(x2)2(x1)2x2(x1)2(x2)21问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是

30、3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？2问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？答：问题1由题意可列方程：(1002x)(502x)3600；问题2由题意可列出方程：(x6)272102.3你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？(1)(1002x)(502x)3600(2)(x6)272102归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2bxc

31、0(a、b、c为常数，a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项eq avs4al(知识模块二一元二次方程有关概念的应用)解答下列各题：1下列方程中，是一元二次方程的是(C)Ax22y10Bx2y25C2x22x1Dx2eq f(1,x)202将方程(x3)28x化成一般形式为x22x90，其二次项系数为_1_，一次项系数是_2_，常数项是_9_典例讲解：关于x的方程mx23xx2mx2是一元二次方程，m应满足什么条件？分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可解：由mx23xx2mx2得到(m1)x2

32、(m3)x20，所以m10，即m1.所以关于x的方程mx23xx2mx2是一元二次方程，m应满足m1.对应练习：1关于x的方程(a1)x23x0是一元二次方程，则a的取值范围是a12已知方程(m2)x2(m1)xm0，当m满足m2时，它是一元一次方程；当m满足m2时，它是一元二次方程3(易错题)已知关于x的方程(m2)x|m|3x40是一元二次方程，那么m的值是(C)A2B2C2D1三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代

33、表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索一元二次方程知识模块二一元二次方程有关概念的应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_第2课时一元二次方程的解及其估算【学习目标】1会进行简单的一元二次方程的试解2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题3理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力【学习重点】判定一个数是否是方程的根【学习难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义一、情景导入生成问题1使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解2一元二次方程(x1)2x3(x22)化

34、成一般形式是2x2x703近似数2.362.4(精确到十分位)二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块一探索一元二次方程的近似解)1先阅读教材P33“做一做”前面的内容，并完成所设计的四个小问题答：(1)x的值不能小于0，不能大于4，不能大于2.5，因为x表示四周未铺地毯部分的宽度，所以x的值不能为负，又因为(82x)和(52x)分别表示地毯的长和宽，所以有82x0，52x0，即x2.5.(2)x的取值范围是0 x2.5.(3)表格中的对应值分别为：28、18、10、4.(4)所求宽度为x1m.2学生活动：请同学独立完成下列问题问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距

35、地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为x282102整理，得x2360列表：x012345678x23636353227201101328问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为(x2)m.根据题意，得x(x2)120整理，得x22x1200列表：x567891011x22x1208572574021023提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？教师点评：(1)问题1中x6是x236

36、0的解；问题2中，x10是x22x1200的解(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x6的解；问题2中还有x12的解为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根回过头来看：x2360有两个根，一个是6，另一个是6，但6不满足题意；同理，问题2中的x12的根也不满足题意eq avs4al(知识模块二一元二次方程根的判定及应用)解答下列各题：1已知关于x的方程x2kx60的一个根为x3，则实数k的值为(A)A1B1C2D22下面哪些数是方程2x210 x120的根？4，3，2，1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有2和3满足该等式方程

37、，所以x2或x3是一元二次方程2x210 x120的两根典例讲解：若x1是关于x的一元二次方程ax2bxc1(a0)的一个根，求代数式2023(abc)的值分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们要深刻理解解：将x1代入得abc1，故2023(abc)2023.对应练习：1若x1是一元二次方程ax2bxc0的解，则abc_0_；若x1是一元二次方程ax2bxc0的解，则abc_0_2若x1是一元二次方程ax2bx20的根，则ab_2_3如果x1是方程ax2bx30的一个根，求(ab)24ab的值解：由已知，得ab3，原式(ab)2(3)29三、交流展示

38、生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索一元二次方程的近似解知识模块二一元二次方程根的判定及应用四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1会用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程2理解一元二次方程的解法配方法3会用配方法解二次项系数为1的

39、一元二次方程【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤一、情景导入生成问题1如果一个数的平方等于4，则这个数是22已知x29，则x33填上适当的数，使下列等式成立(1)x212x36(x6)2；x26x9(x3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容然后完成下列问题：1一元二次方程x25的解是x1eq r(5)，x2eq r(5)2一元二次方程2x235的解是x11，x213一元二次方程x22x15，左边配方后得(x1)25，此方程两边开平方，得x1

40、eq r(5)，方程的两个根为x11eq r(5)，x21eq r(5)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x22x30为例)1移项：将常数项移到右边，得：x22x3；2配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x22x12312，再将左边化为完全平方形式，得：(x1)24；3开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x12(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x12或x12；5解一元一次方程，写出原方程的解：x1_3_，x21归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(xm)2n(n0)

41、的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法eq avs4al(知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程)解答下列各题：1填上适当的数，使等式成立(1)x24x4(x2)2；(2)x210 x25(x5)2.2用配方法解方程：x22x10.解：移项，得x22x1；配方，得x22x111，即(x1)22；开平方，得x1eq r(2)，即x1eq r(2)或x1eq r(2)；所以x11eq r(2)；x21eq r(2)典例讲解：解方程：x28x90.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x28x9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x28x429

42、42，即(x4)225.两边开平方，得：x45，即x45，或x45.所以x11，x29.对应练习：1解下列方程：(1)x210 x257；(2)x214x8；(3)x23x1; (4)x22x28x4.2用配方法解方程x22x10时，配方后得的方程为(D)A(x1)20B(x1)20C(x1)22D(x1)223方程(x2)29的解是(A)Ax15，x21 Bx15，x21Cx111，x27 Dx111，x27三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组

43、由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程2通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法3学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣【学习重点】用配方法解一般一元二次方程【学习难点】用配方法解一元二次方程的一般步骤一

44、、情景导入生成问题1用配方法解一元二次方程x23x5，应把方程两边同时(B)A加上eq f(3,2)B加上eq f(9,4)C减去eq f(3,2)D减去eq f(9,4)2解方程(x3)28，得方程的根是(D)Ax32eq r(2) Bx32eq r(2) Cx32eq r(2) Dx32eq r(2)3方程x23x40的两个根是x14，x21二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块一探索用配方法解一般一元二次方程的方法)先阅读教材P38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x26x10为例)系数化1：把二次项系数化为1，得x23

45、xeq f(1,2)0；移项：将常数项移到右边，得x23xeq f(1,2)；配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x23xeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq sup12(2)eq f(1,2)eq f(9,4)再将左边化为完全平方形式，得：eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)eq sup12(2)eq f(7,4)；开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：xeq f(3,2)eq f(r(7),2)(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；解一次方程：得xeq f(3,2)eq f(r(7),2)，x1eq f(3,2)eq f(r(

46、7),2)，x2eq f(3,2)eq f(r(7),2)用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(xh)2k的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程eq avs4al(知识模块二应用配方法解一般一元二次方程)解答下列各题：1用配方法解方程3x29xeq f(3,2)0，先把方程化为x2bxc0的形式，则下列变形正确的是(D)Ax29xeq f(3,2)0Bx23xeq f(3,2)0Cx29xeq f(

47、1,2)0 Dx23xeq f(1,2)02方程2x24x60的两个根是x13，x21典例讲解：1解方程3x26x40.解：移项，得3x26x4；二次项系数化为1，得x22xeq f(4,3)；配方，得x22x12eq f(4,3)12；(x1)2eq f(1,3).因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根2做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h15t5t2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t5t210；方程两边都除以5，得t23t2；配方，得t23teq blc(r

48、c)(avs4alco1(f(3,2)eq sup12(2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq sup12(2)；eq blc(rc)(avs4alco1(tf(3,2)eq sup12(2)eq f(1,4)；teq f(3,2)eq f(1,2)；t2，t21；答：当t2s或t1s时，小球达到10米的高度对应练习：1解下列方程：(1)3x29x20；(2)2x267x；(3)4x28x30.2方程3x212x的两个根是x1eq f(1,3)，x213方程2x24x80的解是无实数解三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“

49、结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块一探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_26应用一元二次方程第1课时应用一元二次方程求解几何问题【学习目标】1使学生会用一元二次方程解应用题2进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识3通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法

50、解应用题的优越性【学习重点】运用面积和速度等公式建立数学模型并运用它们解决实际问题【学习难点】寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题一、情景导入生成问题1在RtACB中，C90，AC5cm，BC12cm，则AB13cm.2在ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，若BC10cm，则DE5cm.3用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？解：设长为xcm，则宽为(eq f(40,2)x)cm，x(eq f(40,2)x)91，解这个方程，得x17，x213.当x7cm时，eq f(40,2)x20713(cm)(舍去)；当x13cm时，eq f(40,2)x20

51、137(cm)这个矩形的长为13cm.二、自学互研生成能力eq avs4al(知识模块探究教材P52例1)先阅读教材P52例1之前的两个问题，并完成下列填空：1在第(1)问中设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据勾股定理和图(2)中的数据可列方程为(8x)2(6x)2102，解这个方程得x10，x22由实际问题可知x22.在第(2)问中设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据勾股定理和已知数据可列方程为(12x)2(5x)2132，解这个方程得x10，x27，由实际问题可知x7典例讲解：活动内容：见课本P52页例1：如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里

52、处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC中点一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决在讲解过程中可逐步分解难点：审清题意；找准各条有关线段的长度关系；建立方程模型，之后求解解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去

53、审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：(1)要求DE的长，需要如何设未知数？(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？(4)选定RtDEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：速度等量：V军舰2V补给船；时间等量：t军舰t补给船；三边数量关系：EF2FD2DE2.弄清图形中线段长表

54、示的量：已知ABBC200海里，DE表示补给船的路程，ABBE表示军舰的路程学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性对应练习：1一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？解：设较短直角边长为xcm，由题意，得：x2(x1)272，化简得：x2x240.解这个方程得：x1eq f(1r(97),2)，x2eq f(1r(97),2)(不合题意，舍去)，较长直角边长为x1eq f(1r(97),2)1eq f(r(97)1,2)，直角三角形面积eq f(1,2)eq f(r(97)1

55、,2)eq f(r(97)1,2)12(cm2)2在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？ 图(1) 图(2)解：设道路宽为x米，如图(2)利用平移知识可列方程为(322x)(20 x)570，化简得x236x350，解这个方程得x11，x23532(不合题意，舍去)，道路宽应为1米三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互

56、释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块探究教材P52例1四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_ 第2课时应用一元二次方程求解营销问题【学习目标】1会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题2通过列方程解应用题，进一步认识方程模型的重要性，提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力【学习重点】会用一元二次方程求解营销类问题【学习难点】将实际问题抽象为一元二次方程的模型，寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题学习行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课干什么列方程解应用题注

57、重考查能力问题，表面文字比较复杂，但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了一、情景导入生成问题1列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)写出答案2利用一元二次方程解决销售利润问题：这类问题中的等量关系有：(1)一件商品的利润一件商品的售价一件商品的进价；(2)商品的利润率100%；(3)商品的总利润一件商品的利润销售商品的数量利用以上等量关系，结合题意建立方程来解决此类问题二、自学互研生成能力先阅读教材P54例2的解答过程，然后完成下面填空1本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量5000元2如果设每台冰箱降价x元，

58、那么每台冰箱的定价应为(2900 x)元每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前84003200降价后84400 x(400 x)(84)填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了典例讲解：探究P54“做一做”改编某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个月每个台灯获利(40 x30)元，每月平均销售数量为(60010 x)个，销售利润为(40 x3

59、0)和(60010 x)的积用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40 x30)(60010 x)10000，即x250 x4000，解得x110，x240.所以每个台灯的售价应定为50元或80元当台灯售价定为80元，售价利润率为166.7%，高于100%，不符合要求；当台灯售价定为50元时，售价利润率为66.7%，低于100%，符合要求答：每个台灯售价应定为50元归纳总结：列一元二次方程解应用题，步骤与以前的列方程应用题一样，其中审题是解决问题的基础

60、，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件方程的解必须进行实际意义的检验对应练习：1教材P55随堂练习2教材P55习题2.10第1题三、交流展示生成新知1将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑2各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”知识模块利用一元二次方程求解营销问题四、检测反馈达成目标见名师测控学生用书五、课后反思查漏补缺1收获：_2存在困惑：_2.3用公式法求解一