八年级数学下册因式分解教案新北师大版2888

1、八年级数学下册因式分解授课方案新北师大版_2888八年级数学下册因式分解授课方案新北师大版_288838/38八年级数学下册因式分解授课方案新北师大版_2888第四章因式分解1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程,领悟因式分解的意义,发展运算能力.2.能用提公因式法和公式法分解因式.认识整式乘法与因式分解的关系,领悟数学知识之间的互相联系.1.进一步发展观察、概括、类比、概括等能力,发展有条理地思虑及语言表达能力.2.养成仔细勤奋、慎重求实的科学态度.因式分解是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算有着亲近的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础.学生已有的因

2、数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础.:什么是因式分解?怎样进行因式分解?关于本章在知识与技术方面主要解决两个问题第二个问题,只学习提公因式法与公式法(平方差公式与完满平方公式)这两种方法.本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义,发展学生的类比思想以及从特别到一般的思虑问题的方法,帮助学生领悟数学知识之间的联系.为此,教科书经过设计因数分解的例子让学生领悟因数分解的必要性,既而用字母表示数表现一般化;经过类比因数分解领悟因式分解的意义和因式分解的方法,领悟数学知识之间的互相联系;经过经历借助拼图讲解整式变形的过程,领悟几何直观的作用;经过解析因式分解与整式乘法之间的互逆过程

3、,学习因式分解的方法,提升学生对知识间联系的认识.详尽地,本章设计了3节内容.第1节“因式分解”,先利用993-99的例子突出与因数分解的类比,领悟因式分解的必要性,尔后用几何图形的拼图讲解因式分解,在认识因式分解见解的基础上,领悟因式分解与整式乘法的关系.关于学生第2节“提公因式法”,它的依照是乘法分配律也许单项式乘多项式的法规来说,难点是怎样在多项式的各项中发现公因式,为此,教科书让学生从简单的多项式ab+bc的各项中发现同样因式下手,由浅入深地领悟怎样搜寻公因式,并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项,形成基本技术.学生初第3节“公式法”,其重点是熟悉平方差公式、完满

4、平方公式的式子及其特点学时的一个难点是怎样依照一个多项式的形式与特点选择运用合适的公式.为此,教科书将这两个公式编成两课时,分开授课.需要说明的是,依照标准的要求,本章教科书介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完满平方公式).授课中应掌握好这一要求,不要成心提升要求、增加难度,别的,教科书经过设置合适的、有必然梯度的题目,关注了学生知识技术的掌握和不同样层次学生的需求.【重点】1.研究分解因式的方法.2.会用提公因式法把多项式分解因式.3.会用公式法把多项式分解因式.【难点】1.因式分解的见解的理解.2.确立多项式的公因式.3.确立合适的方法分解因式.1.要引导学生多

5、角度理解因式分解的意义.(1)类比因数分解理解因式分解.经过类比数式3式a399-99的分解过程,帮助学生认识多项-a的分解.经过拼图前后图形的面积不变(2)经过拼图帮助理解因式分解,能够形象地讲解多项式x2+2x+1变形为(x+1)2的合理性,以直观形象的方式,促进学生对因式分解的理解.教师要引导学生用自己的语言说明变形过程.比较整式乘法加深理解因式分解.经过对整式乘法运算与因式分解的比较,充分感觉两者之间互为逆过程的关系.2.要重视发展学生的观察、发现、概括、概括等能力.关于因式分解见解的授课,要让学生经过观察、比较整式乘法运算与因式分解,概括概括出整式乘法运算与因式分解互为逆过程的关系.

6、在学生经历研究因式分解方法的过程中,更要重视发展学生的观察、发现、概括、概括等能力.研究因式分解的方法,事实上是对整式乘法运算的再认识.在授课中,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生供应丰富的问题情境,留有充分研究与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法运算到因式分解的变换过程,并能用符号合理地表示出因式分解的方法.3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思虑问题的习惯.因式分解与整式乘法之间拥有互为逆过程的关系.在因式分解见解的授课中,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在研究因式分解的方法的过程中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生意会提公因式法分解因式

7、与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系,意会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步牢固“因式分解的结论可否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”,进而培养学生的逆向思想.4.保证基本的运算技术,防备复杂的题型训练.由于因式分解在运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标后边学习分式、解一元二次方程等内容中还可以够连续牢固,所以授课中要依照教科书的要求,合适地分阶段进行必要的训练,使学生在具备基本运算技术的同时,能够理解每一步的算理.授课中要防备过于烦杂的运算,不要过分追求题目的数量和难度.别的,本章只要求在有理数范围内因式分解,授课要依照标准和教科书的要求.1因式分解1课时2

8、提公因式法2课时3公式法2课时回顾与思虑1课时因式分解1.使学生认识因式分解的意义,理解因式分解的见解.2.认识因式分解与整式乘法的关系互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系追求因式分解的方法.1.经过解决实责问题,学会将实质应用问题转变为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应妄图识.2.经过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转变,培养学生解析问题的能力与综合应用能力.培养学生接受矛盾的对峙一致见解,独立思虑、勇于研究的精神和脚扎实地的科学态度.【重点】因式分解的见解.【难点】理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系追求因式分

9、解的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习相关整式乘法的知识.导入一:【问题】简略运算.(1)73695+7365;(2)-2.67132+252.67+7267.设计妄图观察实例,解析两个问题的共同属性:解决问题的重点是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简略方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生经过回顾用简略方法计算因数分解这一特别算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的见解上,进而为因式分解的理解和掌握打下基础.导入二:【问题】(1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把

10、你的想法与同学交流.由于993-99=99992-991=99(992-1),所以993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.小明是这样做的:3299-99=9999-9912=99(99-1)=999800=9998100,所以993-99能被100整除.设计妄图以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些详尽的数的运算问题,经过简略运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,而且问题的设置由浅入深,逐渐让学生领悟因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的见解起到了很大作用,表现了知识螺旋

11、上升的特点.一、因式分解的见解思路一过渡语(针对导入二)前面问题中解决问题的重点是把一个数式化成了几个数的积的形式.若是我们将数字换成字母,上述结论依旧成立吗?用a表示任意一个常数,则:a3-a=aa2-a1=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)=(a-1)a(a+1).你能理解吗?你能与伙伴交流每一步是怎么变形的吗?这样变形是为了达到什么样的目的?像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.设计妄图从知识性的问题过渡到思虑性的问题,巧妙设问:“若是我们将数字换成字母,上述结论依旧成立吗?”惹起学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-

12、1)a(a+1),这个过程对学生来说是思想上的一次飞驰,是从对详尽、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思想能力水平的一次提升,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步成立起学生对因式分解见解的直观认识.思路二过渡语前面我们研究了数字的情况,下面我们看教材第92页做一做,关于字母的情况.,写出相应的关系式.观察下面的拼图过程解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2+2x+1=(x+1)2.像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.设计妄图以拼图前后边积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因

13、式分解是整式的恒等变形,对学生的思想发展拥有实质价值.学生经过观察,给出填空的答案,可能有不同样的形式,只要合理就都应恩赐激励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要合适引导.二、例题讲解过渡语方才我们学习了什么是因式分解,我们经过下面的几个例题来看看同学们理解得怎么样.(教材做一做)计算以下各式:(1)3x(x-1)=;(2)m(a+b-1)=;(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=.:依照上面的算式进行因式分解(1)3x2-3x=()();(2)ma+mb-m=()();2)();(3)m-16=(4)y2-6y+9=()().?举例说明.思虑:因式分解与整式乘

14、法有什么关系设计妄图经过两组练习,类比两种不同样的运算,进一步让学生领悟什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的见解已基本在学生脑筋中确立.由整式乘法的逆运算逐渐过渡到因式分解,发展学生的逆向思想.知识拓展关于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必定是多项式;(2)分解的结果必然是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能够分解为止.1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆过程.3.因式分解要注意以下几点:分解的对象必定是多项式;分解的结果必然是几个整式的乘积的形式;要分解到不能够分

15、解为止.1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()x2-x-2=x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x2-=解析:主要观察因式分解的见解.应选C.2.以下各式因式分解正确的选项是()a+b=b+aB.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1C.(-)=2-abaabaD.2-2+2=(a-2b+2)aabaa.解析:主要观察因式分解的见解应选D.3把一个多项式化成的形式,这种变形叫做因式分解.答案:几个整式的积.4因式分解与整式乘法的关系是.答案:互为逆过程5计算13-6+2的结果是.解析:利用因式分解能够简化计算.原式=(13

16、-6+2)=9=7.故填7.因式分解一、因式分解的见解二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第93页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第94页习题4.1的1,2题.二、课后作业【基础牢固】1.(柳州中考)以下式子是因式分解的是()A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=(x+1)(x-1)2.以下各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6xB.(x+5)(x-2)=x2+3x-10C.x2-8x+16=(x-4)2D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)3观察下面计算96295+9625的过程,

17、其中最简单的方法是().A.96295+9625=962(95+5)=962100=96200B.96295+9625=9625(19+1)=962(520)=96200C.96295+9625=5(96219+962)=5(18278+962)=96200D.96295+9625=91390+4810=96200【能力提升】.4计算(1)(3)题,并依照计算结果将(4)(6)题进行因式分解.(1)(x-2)(x-1)=;(2)3x(x-2)=;(3)(x-2)2=;(4)3x2-6x=()();(5)x2-4x+4=()();(6)x2-3x+2=()().【拓展研究】5以下从左到右的变形中

18、,哪些是因式分解?哪些不是?请说明原由.a(x+y)=ax+ay;x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);ax2-9a=a(x+3)(x-3);x2+2+=;3(5)2a=2aaa.【答案与解析】1.C(解析:因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,对各选项解析判断后利用消除法求解.应选C.)2.C(解析:依照因式分解的见解可知只有C是因式分解.应选C.)3.A(解析:利用因式分解进行计算比较简单.应选A.)4.(1)x2-3x+2(2)3x2-6x(3)x2-4x+4(4)3xx-2(5)x-2x-2(6)x-2x-1(解析:利用因式分解与整式乘法互为逆过程解答

19、.)5.解:由于(1)(2)的右边都不是整式的积的形式,所以它们不是因式分解;(4)中,都不是整式,所以不是因式分解;(5)中的2a3不是多项式,所以它也不是因式分解.只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以(3)是因式分解.本节课以学生的思想进度发展为主线,采用逐渐浸透和类比的思想方法.在见解引入时从因数分解与因式分解的类比,到见解加强阶段整式乘法与因式分解的过程的类比,再到等式恒等变形与因式分解的类比,逐渐加深学生的认识.主要表现在从一开始以一连串的知识性问题引入,到今后授课环节中多次提出思虑性的问题,启示、引导学生做进一步的猜想、研究,这种次序渐进的思想进度有助于学生理解接受

20、新知识.本课的设计过多重申学生用高度抽象的语言来描述见解.在例题的讲解过程中,没有让学生试一试自己独立完成.注意引导学生从几何的角度理解因式分解.最好将因式分解的方法也一起合适地融入到本节课的授课内容中.随堂练习(教材第93页)1.解:2.解:(2)(4)是因式分解.由于(2)(4)满足因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式.习题4.1(教材第94页)1.解:2.解:(2)(3)是因式分解.3解:原式=(1+2+3)=2.5(24.2+36.4+39.4)=250.故代数式的值为250.IRRR.4解:如右图所示.x2+2+2=x2+3+2=(x+2)(x+1).xxx5.解:(1

21、)原式=1999(1999+1)=19992000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除.(2)原式=(16.9+15.1)=4,故16.9+15.1能被4整除.学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,而且学习了整式的乘法运算,所以关于因式分解的引入,学生不会感觉陌生,它为今天学习因式分解打下了优异基础.由整式乘法追求因式分解的方法是一种逆向思想过程,而逆向思想关于八年级学生来说还比较生分,接受起来还有必然的困难,别的本节还没有涉及因式分解的详尽方法,所以关于学生来说,追求因式分解的方法是一个难点.已知a=2,b=3,c=5.求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(

22、c-a-b)的值.解:当a=2,b=3,c=5时,a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)=a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c)=(a+b-c)(a+b-c)2=(a+b-c)=(2+3-5)2=0.提公因式法经历研究求多项式各项公因式的过程,能在详尽问题中确立多项式各项的公因式提公因式法把多项式分解因式,积累确立公因式的初步经验.,会用自主研究,合作交流,先学后教,当堂训练.进一步认识分解因式的意义,加强学生的逆向思想,并逐渐浸透化归的思想方法.【重点】用提公因式法分解因式.【难点】确立多项式各项的公因式.第课时1.使学生认识因式分解的意义,认识因式分解和整式乘法

23、是整式的两种相反方向的变形.2.让学生会确立多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.自主研究,合作交流.1.经过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.2.经过对因式分解的授课,培养学生“换元”的意识.【重点】因式分解的见解及提公因式法的应用.【难点】正确找出多项式中各项的公因式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习相关乘法分配律的知识.导入一:【问题】一块场所由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,宽都是,求这块场地的面积.解法1:这块场所的面积=+=+=2.解法2:这块场所的面积=+=4=2.从上面的解答过程看,解法1是按运算序次:先算乘法,再算

24、加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.设计妄图让学生经过利用乘法分配律的逆运算这一特别算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的见解上,进而为提公因式法的掌握打下基础.导入二:【问题】计算15-9+2采用什么方法?依照是什么?解法1:原式=-+=5.解法2:原式=(15-9+2)=8=5.解法1是按运算序次:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项

25、式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.设计妄图让学生经过利用乘法分配律的逆运算这一特别算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的见解上,进而为提公因式法的掌握打下基础.,一、提公因式法分解因式的见解思路一过渡语上一节我们学习了什么是因式分解,那么怎样进行因式分解呢?我们来看下面的问题.若是一块场所由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是m,那么这块场所的面积为+或(+),能够用等号来连接,即:+=(+).mambmcmabcmambmcmabc大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么

26、特点?解析:等式左边的每一项都含有因式,等式右边是与多项式+的乘积,从左边到右边的过程是因式分解.mmabc由于m是左边多项式ma+mb+mc中的各项ma,mb,mc都含有的一个同样因式,所以m叫做这个多项式各项的公因式.由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与多项式a+b+c的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc的各项中提出后形成的多项式a+b+c,作为多项式ma+mb+mc的另一个因式.总结:若是一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,进而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提

27、公因式法.设计妄图经过实例的授课,使学生理解什么是公因式和用提公因式法分解因式.思路二过渡语同学们,我们来看下面的问题,看看同学们谁先做出来.多项式ab+ac中,各项都含有同样的因式吗?多项式322x+x呢?多项式mb+nb-b呢?结论:多项式中各项都含有的同样因式,叫做这个多项式各项的公因式.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?你能试一试将多项式2x2+6x3因式分解吗?结论:若是一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,进而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.设计妄图从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生试一试将多项式分解因式,使

28、学生理解公因式以及提公因式法分解因式的见解.二、例题讲解过渡语方才我们学习了因式分解的一种方法,现在我们试一试下利用这种方法进行因式分解吧.(教材例1)把以下各式因式分解:3(1)3x+x;(2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.解析第一要找出各项的公因式,尔后再提取出来.要防备提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提完整”的现象.解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).32222(2)7x-21x=7xx-7x3=7x(x-3).(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab8a2b-ab12b2c+ab1=ab(8a2b-1

29、2b2c+1).32(4)-24x+12x-28x=-(4x6x2-4x3x+4x7)2=-4x(6x-3x+7).【学生活动】经过刚刚的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和简单出现的问题.总结:提取公因式的步骤:(1)找公因式;(2)提公因式.简单出现的问题(以此题为例):(1)第(2)题中只提出7x作为公因式;(2)第(3)题中最后一项提出ab后,遗漏了“+1”;(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后边的因式中的每一项都变号.教师提示:(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数同样;若多项式的首项为“-”,则先

30、提取“-”号,尔后再提取其他公因式;(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等.设计妄图经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启示与指导下,学生自己概括出提公因式的步骤及提取公因式时简单出现的近似问题,为提取公因式积累经验.1.提公因式法分解因式的一般形式,如:ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母,能够是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.abcm2.提公因式法分解因式的重点在于发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤:若各项系数是整系数,则取系数的最大合约数;取各项中同样的字母,字母的指数取最低的;(3)所有这些因式的乘积即为公因式.222

31、32)1.多项式-6ab+18ab-12abc的公因式是(A.-6ab2cB.-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c,可知公因式为-6ab2.应选C.解析:依照确立多项式各项的公因式的方法2.以下用提公因式法分解因式正确的选项是()A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.2+5-=(2+5)222xyxyyyx22x错误;B.3解析:A.12abc-9ab=3ab(4c-3ab),xy-3xy+6y=3y(x-x+2),错误;D.xy+5xy-y=y(x2+5x-1),错误.应选C.5a

32、2b的是3.以下多项式中应提取的公因式为()A.15a2b-20a2b232234B.30ab-15ab-10abC.10a2b-20a2b3+50a4bD.5a2b4-10a3b3+15a4b22,错误;C.应提取公因式102,错误;D.应提取公因式522,解析:B.应提取公因式5错误.应选A.ababab4.填空.(1)5a3+4a2b-12abc=a();(2)多项式32p2q3-8pq4m的公因式是;(3)3a2-6ab+a=(3a-6b+1);因式分解:km+kn=;(5)-15a2+5a=(3a-1);.(6)计算:21314-31314=.答案:(1)5a2+4ab-12bc(2

33、)8pq3(3)a(4)k(m+n)(5)-5a(6)-31.45.用提公因式法分解因式.(1)8ab2-16a3b3;(2)-15xy-5x2;(3)a3b3+a2b2-ab;:n2+n=n(n+1).(4)-3a3m-6a2m+12am.解:(1)8ab2(1-2a2b).(2)-5x(3y+x).ab(a2b2+ab-1).(4)-3am(a2+2a-4).第1课时一、提公因式法分解因式的见解二、例题讲解一、教材作业【必做题】页随堂练习.教材第96【选做题】教材第96页习题42.二、课后作业【基础牢固】1.把多项式4a2b+10ab2分解因式时,应提取的公因式是.2.(2014淮安中考)

34、因式分解:x2-3x=.3.分解因式:12x3y-18x2y2+24xy3=6xy.【能力提升】.4把以下各式因式分解.x2y-6xy;(1)3(2)5x2y3-25x3y2;(3)-432m+16m-26m;(4)15x3y2+5x2y-20 x2y3.【拓展研究】nnn5.分解因式:a+a+2+a2.226.观察以下各式2.这列式子有什么规律?请你将猜想到:1+1=12;2+2=23;3+3=34;的规律用含有字母(为自然数)的式子表示出来.nn【答案与解析】1.2ab2.x(x-3)223.(2x-3xy+4y)x2y2(y-5x).4.解:(1)3xy(x-2).(2)5(3)-2nn

35、nnnn5.解:原式=a1+aa2+aa=a(1+a2+a).6.解:由题中给出的几个式子可得出规律2m(2m-8m+13).(4)5x2y(3xy+1-4y2).本节运用类比的思想方法,在新见解的提出、新知识点的讲解过程中,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由提公因数到提公因式,由整式乘法的逆运算到提公因式法的见解,都是利用了类比的数学思想,进而使得学生接受新的见解时显得轻松自然,简单理解.在小组谈论以前,应该留给学生充分的独立思虑的时间,不要让一些思想活跃的学生的回答代替了其他学生的思虑,掩盖了其他学生的疑问.由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用

36、于多项式的计算和化简,比方在今后将要学习的分式运算、解分式方程等中都要用到因式分解的知识,所以应该重视因式分解的见解和方法的授课.随堂练习(教材第96页)2解:(1)m(a+b).(2)5y(y+4).(6)b(a2-5a+9).(7)-a(a-b+c).习题4.2(教材第96页)2(3)3x(2-3y).(4)ab(a-5).(5)2m(2m-3).(8)-2x(x2-2x+3).2-4x=2x(x-2).222y-1.解:(1)2x(2)8mn+2mn=2mn4m+2mn1=2mn(4m+1).(3)axaxy2=axyax-axyy=axy(ax-y).(4)3x3-3x2+9x=3x(

37、x2-x+3).(5)-24x2y-12xy2-28y3=-(24x2y+12xy2+28y3)=-4y(6x2+3xy+7y2).(6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1).(7)-2x2-12xy2+8xy3=-(2x2+12xy2-8xy3)=-2x(x+6y2-4y3).(8)-323223ma+6ma-12ma=-(3ma-6ma+12ma)=-3ma(a-2a+4).2.解:(1)m+m+m=m(+)=3.14(202+162+122)=2512.(2)xz-yz=z(x-y),原式=(17.8-28.8)=(-11)

38、=-7.(3)ab=7,a+b=6,a2b+ab2=ab(a+b)=76=42.3.解:(1)不正确,由于提取的公因式不对,应为n(2n-m-1).(2)不正确,由于提取公因式-b后,第三项没有变号,应为-b(ab-2a+3).(3)正确.(4)不正确,由于最后的结果不是乘积的形式,应为(a-2)(a+1).提公因式法是本章的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法分配律的逆运算到提公因式的过程,让学生领悟数学中的一种主要思想类比思想.运用类比的思想方法,在新见解的提出、新知识点的讲解过程中,能够使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的

39、见解,就利用了类比的数学思想,进而使得学生接受新的见解时显得轻松自然,简单理解,进而使学生进一步理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.已知方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.解析将代数式分解因式,产生x-3y与2x+y两个因式,再依照方程组整体代入,使计算简略.解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3=(x-3y)27y+2(x-3y)=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).2由方程组可得原式=16=6.第课时1.经历研究多项式因式分解方法的过程,能在详尽问题中确立多项式各项的公因式2.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的

40、情况3.进一步认识因式分解的意义,加强学生的逆向思想,并浸透化归的思想方法.).1.由学生自主研究解题路子,在此过程中,经过观察、比较等手段,确立多项式各项的公因式,加强学生的逆向思想,浸透化归的思想方法,培养学生的观察能力.2.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解,从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想.3.搜寻出确立多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步概括能力.经过观察能合理地进行因式分解,并能清楚地阐述自己的见解.【重点】用提公因式法把多项式分解因式.【难点】研究多项式因式分解方法的过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习提公因式法分解

41、因式的知识.导入一:【问题】把以下各式分解因式:2(1)8mn+2mn;a2b-5ab+9b;(3)-332ma+6ma-12ma;(4)-2x3+4x2-8x.设计妄图回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能沉着地把提取的公因式从单项式过渡到多项式供应必要的基础.以板演的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,使学生真切理解基本方法和步骤.导入二:上节课我们学习了用提公因式法分解因式,知道了一个多项式能够分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么可否是所有的多项式分解今后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.设计妄图经过设问,创立情境,活跃了课堂气氛,学生对自己商议、发现出来

42、的知识很有成就感,学习的兴趣自然获得了提升.例题讲解过渡语(教材例同学们,前面我们学习了提公因式法分解因式2)把以下各式因式分解:,下面我们来看几个例题.a(x-3)+2b(x-3);y(x+1)+y2(x+1)2.解析(1)这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有x-3,所以能够把x-3作为公因式提出来.(2)这个多项式整体而言可分为两大项,即22y(x+1)与y(x+1),每项中都含有y(x+1),所以能够把y(x+1)作为公因式提出来.解:(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).2y(x+1)+y(x+1)=y(x+1)1+y(x+

43、1)=y(x+1)(xy+y+1).设计妄图引导学生经过类比将提取单项式公因式的方法与步骤实行应用于提取多项式公因式.(1)题中很显然地表示多项式中的两项都存在着到第(1)题的公因式是x-3,而第(2)题的公因式是y(x+1),(教材例3)把以下各式因式分解:x-3,经过观察,学生较简单找找到它即能顺利地进行因式分解.a(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2.解析诚然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察能够看出x-y与y-x互为相反数,若是把其中一个提取一个“-”号,那么就可以出现公因式,即y-x=-(x-y).同样(m-n)3与(n-m)2也是这样

44、.解:(1)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).(2)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3m-2-12-(n)=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2).设计妄图有了前面所得的规律,学生简单观察到多项式中括号内符号不同样的多项式部分,并把它们转变为符号同样的多项式,再把同样的多项式作为公因式提取出来.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式得出提取的公因式是多项式的方法与步骤.(教材做一做)请在以下各式等号右边的括号前填入“+”或“-”,使等式成立:(1)2-a=(2)y-x=(3)b+a=(4)(b-a)2

45、=(5)-m-n=22(6)-s+t=(a-2);(x-y);(a+b);(a-b)2;(m+n);22(s-t).解:(1)2-a=-(a-2).(2)y-x=-(x-y).(3)b+a=+(a+b).(4)(b-a)2=+(a-b)2.(5)-m-n=-(m+n).(6)-s2+t2=-(s2-t2).设计妄图学生关于符号问题的解答有必然的困难,所以需要仔细比较等号两边两个多项式符号上的异同,确立它们是互为相反数还是相等关系.经过学生的反响练习,使教师能全面认识学生对符号的变换的理解可否到位,提取公因式的方法与步骤可否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.本节课进一步学习了用提公因式法分解因

46、式,公因式能够是单项式,也能够是多项式,要仔细观察多项式的结构特点,进而正确熟练地进行多项式的因式分解.1.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是()A.8(7a-8b)(a-b)B.2(7a-8b)2C.8(7a-8b)(b-a)D.-2(7a-8b)解析:原式=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).应选C.2.把(x-y)2-(y-x)分解因式得()A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)解析:原式=(y

47、-x)2-(y-x)=(y-x)(y-x-1).应选C.3.以下各式分解因式正确的选项是()A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)B.(a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+c=(b+c-a)(x+y-1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)解析:A.原式=2ac(5b2+3c+1),错误;B.原式=(a-b)2(a-b-1),错误;C.原式=(b+c-a)(x+y+1),错误.应选D.4.当n为时,(a-b)n=(b-a)n;当n为时,(a-b)n=-(b-a)n.(其中

48、n为正整数),奇次方互为相反数.解析:互为相反数的两数的偶次方相等答案:偶数奇数5.(2015嘉兴中考)因式分解:ab-a=.解析:直接提取公因式a即可.ab-a=a(b-1).故填a(b-1).6.把以下各式分解因式:(1)15x(a-b)2-3y(b-a);(2)(a-3)2-(2a-6);(3)-20a-15ax;(4)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p).解:(1)3(a-b)(5ax-5bx+y).(2)(a-3)(a-5).(3)-5a(4+3x).(4)-2q(m+n).第2课时例题讲解一、教材作业【必做题】教材第98页随堂练习.【选做题】教材第98页习题43.二、课后作业

49、【基础牢固】1观察以下各组整式,其中没有公因式的是().bA.2+和+B.5(-)和-+ababmaabC.3(+)和-D.2x-2y和2abab2(2015武汉中考)把a2-2a分解因式,正确的选项是().aA.(-2)B.(+2)aaaC.(2-2)D.(2-)aaaa3在括号内填上合适的式子:.x-1=-(1)-);.(2)-+=-()abca【能力提升】4.把以下各式分解因式:(1)2(a-3)2-a+3;(2)3m(x-y)-2(y-x)2;(3)18(a-b)2-12(a-b)3;(4)6x(x+y)-4y(x+y);(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).【拓展研究】2(

50、a5把多项式-2)+(2-)分解因式得().mamA.(a-2)(2+)B.(-2)(2-)mmammC.(-2)(-1)D.(-2)(+1)mammamb.6(2015潜江中考)已知3-2=2,则9-6=.aab7若+=5,xy=2,则2+xy2=.xyxy8已知4x2+7+2=4,求-12x2-21x的值.x【答案与解析】1A(解析:B.公因式是-;C.公因式是+;D.公因式是2应选A.).ab.ab.2A(解析:原式=-2=(-2)应选A).aaaaa.3.(1)x+1(2)b-c4解:(1)2(a-3)2-a+3=2(-3)2-(a-3)=(-3)(2a-7).(2)3(-y)-2(-

51、x)2=3(-y)-2(x-.aamxymxy)2=(x-y)(3m-2x+2y).(3)18(a-b)2-12(a-b)3=6(a-b)2(3-2a+2b).(4)6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y).(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)=(x-a)(a-).bc22m(a-2)=m(a-2)(m-1).应选C.)5.C(解析:m(a-2)+m(2-a)=m(a-2)-6.6(解析:3a-2b=2,9a-6b=3(3a-2b)=32=6.故填6.)7.10(解析:x2y+xy2=xy(x+y)=25=10.故填10.)

52、8解:由42+7+2=4得42+7=2,-122-21x=-3(42+7),-122-21x=-32=-6.xxxxxxxx运用类比的思想方法,在新见解的提出、新知识点的讲解过程中,能够使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的见解,由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法使得学生在接受新的见解时显得轻松自然,简单理解.,都是利用了类比的数学思想,进而遇到互为相反数的多项式办理得不太好.遇到互为相反数的项,先转变,再提公因式,转化原则:变后不变前、变偶不变奇、变少不变多.因式分解和整式乘法运算是互逆的关系,所以备课时应让学生们自己将新旧知识

53、前后比较,去理解,去搜寻因式分解的方法.随堂练习(教材第98页)解:(1)(a+b)(x+y).(2)(x-y)(3a-1).(3)6(p+q)(p+q-2).(4)(m-2)(a-b).(5)(x-y)(2x-2y+3).(6)m(m-n)(2n-m).习题4.3(教材第98页)原式=3(b-a)2+6(b-a)=3(b-a)(b-a+2).1.解:(1)原式=(a-1)(x+7).(2)(3)原式=(m-n)2(m-n)-m=(m-n)(2m-2n-m)=(m-n)(m-2n).(4)原式=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y)=(3(5)22m+n).(6)原式=6(a-

54、b)22x-y).原式=(a+b)(3(a-b)-6(a-b)2b=6(a-b)23(a-b)-2b=6(a-b)2(3a-5b).(7)原式=(2a+b)(2a-3b)-3a=(2a+b)(-a-3b)=-(2a+b)(a+3b).(8)原式=x(x+y)(x-y)-(x+y)=x(x+y)(x-y-x-y)=x(x+y)(-2y)=-2xy(x+y).2.解:(1)原式=x(m-2)(10-3m),x=1.5,m=6,原式=1.5(6-2)(10-36)=-48.(2)原式=(2-a)2-6(2-a)=(2-a)(2-a)-6=(2-a)(-a-4)=-(2-a)(a+4).当a=-2时,

55、原式=-2-(-2)(-2+4)=-42=-8.3.解:这三块草坪的总面积=(a+b)2+a(a+b)+(a+b)b=(a+b)(a+b+a+b)=(a+b)(2a+2b)=2(a+b)2(m2).已知x2+x+1=0,求代数式x2006+x2005+x2004+x2+x+1的值.解析第一把整式x2006+x2005+x2004+x2+x+1经过提取公因式,分解为含有因式x2+x+1的形式,再将x2+x+1的值作为一个整体代入求解.解:1+x+x2=0,x2006+x2005+x2004+x2+x+1=x2004(x2+x+1)+x2001(x2+x+1)+x9(x2+x+1)+x6(x2+x

56、+1)+x3(x2+x+1)+x2+x+1=(x2+x+1)(x2004+x2001+x6+x3+1)=0.实数,z满足,z,且abcxyabcxyP=ax+by+cz,Q=ax+cy+bz,S=bx+cy+az,R=bx+ay+cz,试判断P,Q,S,R中哪一个最大.解析先依照已知条件abc,xyz,利用不等式的性质可得a-b0,b-c0,a-c0,x-y0,y-z0,x-z0,再考虑利用作差法计算并判断出P,Q,S,R中哪一个最大.解:abc,xyz,a-b0,b-c0,a-c0,x-y0,y-z0,x-z0,PQ;P-R=(ax+by+cz)-(ay+bx+cz)=(a-b)(x-y)0

57、,PR;Q-S=(ax+cy+bz)-(bx+cy+az)=(a-b)(x-z)0,QS,PS.P最大.公式法经历平方差公式,完满平方公式逆向运算的推导过程,使学生理解用公式法因式分解的意义,掌握每个公式的特点,使学生熟练地运用公式法将多项式进行因式分解.熟练掌握各个乘法公式的模式.观察多项式的项数,是二项的,有可能可用平方差公式;是三项的,则有可能可用完满平方公式,而且要正确确立公式中的项.培养学生解析问题的能力,这种能力实质上是一种特别技巧,需要经过学生自己的实践来获得.【重点】掌握因式分解的三个公式的特点,牢固地记住这些公式.【难点】依照要分解的多项式的形式和特点,熟练地运用公式进行因式

58、分解.第课时1.理解平方差公式的实质:结构的不变性,字母的可变性.2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生认识提公因式法是因式分解第一考虑的方法,再考虑用公式法分解.经历研究利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思想,浸透数学的互逆、换元、整体的思想,感觉数学知识的完满性.在研究的过程中培养学生独立思虑的习惯,在交流的过程中学会向别人清楚地表达自己的思想和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感觉到数学的价值.【重点】掌握运用平方差公式分解因式的方法.【难点】用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习相关提公因式法分解因式的知识.导入一

59、:填空.【问题】(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)=.它们的结果有什么共同特点?试一试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;22.(3)9m-4n=设计妄图学生经过观察、比较,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思想能力.导入二:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即若是一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,进而将多项式化成几个因式乘积的形式.若是一个多项式的各项不都含有同样

60、的因式,可否就不能够分解因式了呢?自然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习别的一种因式分解的方法公式法.设计妄图复习以前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,斩钉截铁,激发学生的学习兴趣.一、用平方差公式分解因式请看乘法公式:(+)(-b)=a2-2(1)abab.左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:2-b2=(+)(a-).(2)aabb.大家判断一下,第二个式子从左边到右边可否左边是一个多项式,右边是整式的乘积为因式分解?,所以是因式分解.吻合因式分解的定义.等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2