2021-2022学年河北省保定市堡自町中学高三数学理下学期期末试题含解析

1、2021-2022学年河北省保定市堡自町中学高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量的夹角大小为（ ）A0 B45C90D180参考答案：C略2. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方 形，侧视图是等腰三角形. 则该几何体的体积为 （ ）A16 B48 C60 D96参考答案：B略3. 设函数f（x）=x3+bx+c，是方程f（x）=0的根，且f（）=0，当01时，关于函数g（x）=x3x2+（b+2）x+（cb+）lnx+d在区间（+1，+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）

2、A至少有一个零点B至多有一个零点C可能存在2个零点D可能存在3个零点参考答案：B【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可得f（x）=x3+bx+c=（x）（x）2，进一步得到+2=0，2+2=b，2=c，且x（2，），把函数g（x）求导，用，表示b，c，二次求导可得在区间（+1，+1）内h（x）0，则答案可求【解答】解：，是方程f（x）=0的根，且f（）=0，f（x）=x3+bx+c=（x）（x）2，即得+2=0，2+2=b，2=c，且x（2，），由01，得0，0，则g（x）=x23x+（b+2）+=，令h（x）=x33x2+（b+2）x+cb+=x33x2+（232）x+23+322=（x

3、1）3（1+32）（x1）+222，则h（x）=3（x1）2（32+1），当x（2+1，+1）时，h（x）h（2+1）=（3+1）（31）0h（x）在（+1，+1）上为减函数，而h（2+1）=83+2（32+1）+（232）=0，当x（2+1，+1）时，h（x）h（2+1）=0，即当x（2+1，+1）时，h（x）0，g（x）在（+1，+1）上为减函数，至多有一个零点故选：B4. 设D为椭圆上任意一点，延长AD至点P，使得，则点P的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】先根据椭圆定义得，再根据条件得，最后根据圆的定义得轨迹方程.【详解】 为椭圆上任意一点,且A,B为椭圆的焦

4、点， ，又，所以点的轨迹方程为.选B.【点睛】求点的轨迹方程的基本步骤是：建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；寻找动点P（x，y）所满足的条件；用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；化简方程f（x，y）=0为最简形式；证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.5. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则ABP面积的取值范围是A. 2,6B. 4,8C. D. 参考答案：A分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，

5、轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。6. 下列说法错误的是（ ）A. 垂直于同一个平面的两条直线平行B. 若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C. 一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D. 一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直参考答案：D【分析】根据线面垂直的性质定理判断A；根据面面垂直的性质定理判断B；根据面面平行的判定定理判断C；根据特例法判断D.【详解】由

6、线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D.【点睛】本题主要考查面面平行的判定、面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另

7、外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 已知条件p：“函数为减函数：条件q：关于x的二次方程有解，则p是q的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A略8. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 （ ）A B C. D参考答案：B9. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是

8、一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取0，3上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A4BC5D参考答案：B【考点】进行简单的演绎推理【分析】根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论【解答】解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S=；故选：B【点评】本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述10. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么

9、双曲线的离心率是（ ） A B C D参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 . 参考答案：略12. 如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则m+n的取值范围为参考答案：2，+）【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：ABC中，点O是BC的中点，=（+），=+，又O，M，N三点共线，+=

10、1，m+n=（m+n）（+）=（2+）（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为2，+），故答案为：2，+）13. 把函数f（x）=图象上各点向右平移?（?0）个单位，得到函数g（x）=sin2x的图象，则?的最小值为参考答案：【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的最值【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用三角函数的恒等变换及化简f（x）的解析式，再利用y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）图象上各点向右平移?（?0）个单位，得到函数g（x）=sin2（x?）+=sin（2x

11、2?+）=sin2x的图象，则?的最小值为，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题14. 已知与()直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是 参考答案：1由与()，可知，点和是直线上的两个点，所以直线的方程为，所以原点到直线MN的距离。15. 若双曲线1(a0，b0)与直线y2x有交点，则离心率e的取值范围为 参考答案： 16. 设a0.若曲线与直线xa，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=_ _.参考答案：，解得17. 己知a，b，c分别是ABC的三个内角的对边，M是BC的中点且AM= ，则BC+AB的最大值是_.参考答案：略

12、三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知函数f(x)2exax2(aR)(1)讨论函数的单调性；(2)若f(x)0恒成立，证明：x1x2时，参考答案：（）f(x)2exa若a0，则f(x)0，f(x)在(，)上单调递增；若a0，则当x(，ln)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(ln，)时，f(x)0，f(x)单调递增4分（）证明：由（）知若a0，f(x)在(，)上单调递增，又f(0)0，故f(x)0不恒成立若a0，则由f(x)0f(0)知0应为极小值点，即ln0，所以a2，且ex1x，当且仅当x0时，取“”7分当x1x

13、2时，f(x2)f(x1)2(ex2ex1)2(x2x1)2ex1(ex2x11)2 (x2x1)2ex1(x2x1)2(x2x1)2(ex11) (x2x1)，所以12分注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分19. 已知数列满足：，且（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，为数列的前项和，证明.参考答案：解：(1) 解法一：,为等差数列 解法二：(2)由(1),从而 (3)解法一：, 当时,不等式的左边=7,不等式成立当时, 故只要证, 如下用数学归纳法给予证明:当时,时,不等式成立;假设当时,成立当时, 只需证: ,即证: 令,则不等式可化为:即令,则在上是减函

14、数又在上连续, ,故当时,有当时,所证不等式对的一切自然数均成立综上所述,成立. 解法二：同一法可得：下面证明：记略20. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.（1）求小球落入袋中的概率;（2）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入 袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.参考答案：解: （）解法一：记小球落入袋中的概率，则，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以 2分 . 5分（）由题意，所以有 7分 ， 10分

15、 . 12分略21. 18（本小题满分13分）已知函数，.（）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（）求函数在区间上的最小值.参考答案：解: （）直线的斜率为1.函数的导数为，则，所以. 5分（），.当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为. 当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为.综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为. 13分略22. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系：,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多