“数列在存款与贷款中的应用”教学案例

1、“数列在存款与贷款中的应用 ”教学案例案例教学中以学生为中心，引导学生收集银行存款、贷款的利率有关信息， 用数列知识来解决银行存款和贷款问题，组织学生经历观察问题、发现问题、探 究问题的过程，把复杂的问题拆分成若干个相对简单的问题进行处理，利用情境、 小组合作、会话等学习环境要素，充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神。标签：案例；实施；分析；利率一、案例背景由于高职学生普遍缺少足够的数学建模能力和相应的数学建模教育，导致高 职学生难以体验到数学应用性的特点，害怕解应用题。而且，教材中有的应用题 与学生生活及将来的工作都不相关，因而学生数学学习兴趣不高。案例教学法所 具备的目的性、拟真性、启发

2、性等特点，能够为学生提供较好的建模练习，而且 案例教学中提供的模型一般都具有很强的实际应用性。案例教学中以学生为中 心，利用情境、协作、会话等学习环境要素，充分发挥学生的主动性、积极性和 首创精神，最终达到能够为解决特定的实际问题提供十分有效的解决方法。二、案例呈现1.学案预习“数列在存款与贷款中的应用”学案数列知识在日常生活中有许多应用，现在我们就用数列知识来解决银行存款 和贷款问题。以 4 人组成一个学习小组，进行讨论问题、收集信息、尝试计算。知识预备请写出等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式。收集信息银行存款、贷款类型有几种？它们对应的利率是多少？想一想活期的日利率是多少？零存

3、整取月利率是多少？尝试计算2 万元人民币存 359 天活期利息是多少？2 万元人民币存一年定 期利息是多少？实际应用一如果想五年后买 10 万元的汽车，现在每月存 1500 元够吗？怎 么存利息多？实际应用二如果现在向银行贷款 10 万元买汽车，10 万元按月分期还款， 五年还清，那么每个月应还款多少元？（精确到 1 元）评价与小结通过上述问题的探究，你有什么收获？2.课堂实施教师首先查看并点评学生学案预习情况，带领学生做好学习准备。学生交流、讨论学案中的问题。教师表扬学生收集信息的能力很强。抽两个 学习小组到黑板上写出等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式。口答银 行存款、贷款种数及

4、它们对应的利率。小组代表 4：2 万元人民币存一年定期利息：2000013.25%650（元）。教师：不算不知道，一算吓一跳。2 万元人民币存 359 天的活期利息与 2 万 元人民币存一年的定期利息相差 570 元。我们大家要学会理财。教师：通过尝试计算，你能总结利息计算方法吗？小组代表 5：利息=存款金额时间利率。教师：回答得很好。存款利息=存款金额时间利率，请注意式子中时间与 利率要一致，时间是天数，利率就是日利率；时间是月数，利率就是月利率；时 间是年数，利率就是年利率。教师：实际应用一如果想五年后买 10 万元的汽车，现在每月存 1500 元够 吗？怎么存利息多？大家讨论一下，你能说

5、出一种存法吗？小组代表 6：零存整取五年。教师：零存整取五年这个方案简单可行，你能算出现在每月存 1500 元，零 存整取五年可得到本金和利息共多少吗？本金容易计算，请先计算本金。小组代表 7：1251500=90000 （元）。教师：每月存 1500 元，零存整取五年，是分成多少次存入的？每个 1500 元存在银行的时间是多长？每个 1500 元可得到的利息你会计算吗？小组代表 8：第一个 1500 元存在银行的时间是 60 个月，第二个 1500 元存 在银行的时间是 59 个月，依次递减，利息=1500月数月利率。教师：大家回答得很好。请大家一起来算出现在每月存 1500 元，零存整取

6、五年可得到利息共多少。请以学习小组为单位来解决这个问题。小组代表 9：（教师要求他用数列符号语言来示范此题）教师：每月存 1500 元，零存整取五年可得到本金和利息共多少元？ 小组代表 10：本金和利息共有 90000+7434.38=97434.38（元）。教师：从中我们可以得到很多的启示，当我们遇到相对复杂的事情时，要想 办法把它拆分成若干个相对简单的问题进行处理。要尝试去做一小步，再两小 步，从而发现复杂的计算是有规律的。教师：此题还有其他存法使利息更多吗？我们看到利息表中整存整取相对利 息较高，我们可不可以先零存整取一年，再整存整取？同学们课后去计算一下， 下次课上比一比谁更会理财。教

7、师：现在的年轻人都喜欢超前消费，你会选择每月存 1500 元，零存整取 五年可得到本金和利息近 10 万元去买车，还是从银行贷款 10 万元买汽车，10 万元从下个月按月分期还款五年还清，提前享受私家车？实际应用二如果 2013 年 3 月 5 日向银行贷款 10 万元买汽车，从下个月按月分期还款五年还清，那么 每个月应还款多少元（精确到 0.1 元）？工作以后是否有能力还款？教师：贷款 10 万元，就还款 10 万吗？小组代表 11：还要还利息钱。教师：每个月应还款中包括欠款金额和利息。分步计算先算什么？当然哪个 容易就先计算哪个，请试一试。教师：贷款利息和存款利息相似，贷款利息怎么求？联想

8、一下，类比一下， 你能得到贷款利息计算公式吗？利息=欠款金额时间利率，仍要注意式子中时间与利率要一致，因为每月 还欠款 1666.67 元，所以下个月欠款就变少了，欠款数在变化。贷款年利率是多 少？每个月应还欠款的利息是多少？请再以学习小组为单位来解决这个问题。第 一个月利息：1000000.5%=500 （元）。第二个月还欠款和利息：1666.67+（100000-1666.67）0.5%=2158.35（元）。第三个月还欠款和利息：1666.67+（100000-21666.67）0.5%=2150（元）。第四个月还欠款和利息：1666.67+（100000-31666.67）0.5%=2

9、141.67（元）。 第 n 个月还欠款和利息：1666.67+（100000-（n-1）1666.67）0.5%（元）。 第 61 个月还欠款和利息：1666.67+0（元）。教师：向银行贷款 10 万元，10 万元按月分期还款五年还清，共还款多少元？教师：此题中数据多，计算多，我们不能埋头计算，而要从具体计算中发现 数列规律，学会用数学语言表达，使我们更清楚地看到问题中 “什么变 ”“什么不 变”，学会换角度思考问题，把复杂的银行存款问题变成等差数列求和问题来解 决。教师：通过上面的学习我们要学会用数学知识和方法解决生活中的问题，使 生活数学化，学会理财，学会理性消费。通过上述问题的探究，

10、你有什么收获？ 存在什么问题？请写在学案上。统计小组参与次数、个人参与次数。三、案例分析本案例首先用学案导学，知识预备既是建立数学模型的工具，又是学生需要验证和巩固的知识。银行存款和贷款对于现代的年轻人来说是 不可回避的问题，如何理财，如何合理消费是年轻人需要掌握的知识。用 “数列 在存款与贷款中的应用 ”案例教学贴近生活，以了解银行利率为切入点，引导学 生收集银行存款、贷款利率的有关信息，经历观察问题、发现问题、探究问题的 过程，让学生带着问题上课。在课堂实施中用学案导学，有课前学生之间的讨论和交流做基础，教师把简 单的问题放手让学生去做、去展示，学优生有了展示的舞台，教师充分关注所有 学生

11、处理问题的情况，鼓励生生、师生之间的讨论和辩论，个别指导学困生。在教学前半部分，教师用梯度小的问题引导学生去思考、尝试，学生基本能自己解决问题。教学中教师不是告知利息计算方法，而是用问题 引导学生学会找规律、找关系、找模式，让学生通过尝试计算简单的利息问题总 结方法。在学生讨论中不能放任自流，教师需要提纲挈领、言简意赅地加以指导， 对于易错点提醒学生注意，从而起到画龙点睛的作用。面对较为复杂的实际应用一，要鼓励学生敢于思考和想象，讨论中要勇于发表自己的见解，要在平等的气氛中展开讨论。学生有的用列 举法，有的用归纳法，也有学生认为自己遇到应用题就无从下手。有些学生不敢 在班级展示，在小组活动中则

12、比较活跃，教师创设民主和谐的教学气氛，要给每 位学生都留出合适的发展空间，有的学生只能找到浅层的信息，有的学生则能得 出透彻的结论。即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，可以 让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性 的探索，尝试计算，快的学生很快就能得到答案。在实际应用二中，学生没有贷款经历，容易产生畏难情绪，但利用现在年轻人都喜欢超前消费贷款买私家车的问题情境，可激发他们的学习热情，引导学生 通过类比、知识迁移、观察思考、讨论、自主探索、合作学习，学会理清问题中 的欠款、利息两要素及如何抓住主要矛盾求利息，一步一步去计算，锻炼学生做 事要有条理，要有耐心，要善于观察与发现规律，用列举法或归纳法解决问题。利