初中数学关键八年级初二之考点各个击破第1讲有理数及其运算上

1、有理数及其运算 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 有理数及其运算 一、知识要点 （一）有理数的概念 1、整数和分数统称为有理数. 2、能够表示成既约分数 m (n 0, m, n为互质整数) 的形式的数，称为有理数. n（二）有理数的表示 3、有理数的性质： 1）有序性； 2）封闭性； 3）稠密性. 1、 任何一个有理数都是整数或者分数； 2、 任何一个有理数都可以转化成形如： m (n 0, m, n为互质整数) 的数； n3、 任何一个有理数都可以转化成有限小数或无限循环小数； 4、 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示. 基于第 4 种表示方法，可以得到： （1）|a|表示数 a 在

2、数轴上对应的点到原点的距离； （2）|ab|表示数轴上表示数 a，b 的点之间的距离； （3）|xa|+|xb|表示点 x 到点 a 和点 x 到点 b 之间的距离和. （三）有理数的运算 1、 有理数大小的比较 （1）做差法：若 ab 0，则 ab；若 ab =0，则 a=b；若 ab 0，则 a 1，则a b; b （2）做商法：当a 0,b 0时, 若 a = 1，则a = b; b 若 a 1，则a b; b 2、公式与方法 （1）等差数列 an ，首项为 a1 ，公差为 d： 通项公式为： an = a1 + (n 1)d 通项公式描述第 n 项 an 与首项 a1 、公差 d 、项

3、数 n 之间的关系. (a1 + an )n 前 n 项和公式为： Sn = a1 + a2 + a3 + . + an = 222 第 1页 注：既然 an = a1 + (n 1)d ，则 Sn a1 + a1 + (n 1)d n = na1 + n(n 1) d . （2）等比数列 bn ，首项为 b1 ，公比为 q（其中 q 1） ：通项公式为： bn = a1q n1 前 n 项和公式为： Sn = b1 + b2 + b3 + . + bn = b1 bnq = b1(1 q n ) 1 q 1 q （3）完全平方公式： (a b)2 = a 2 2ab + b2 ；平方差公式：

4、 (a + b)(a b) = a 2 b2 ； 立方和（差）公式： a3 b3 = (a b)(a2 ab + b2 ) ； 完全立方公式： (a b)3 = a3 3a 2b + 3ab2 b3 . （4）| ab |=| a | | b | ， | a | = a ，| a | | b | a + b | a | + | b | . |b| b （5） a n a m = a n+m ， a n a m = a nm ， (a b)n = a n bn ， (a n )m = a nm ， a p = 1. ap （6）对于有理数运算的技巧与方法主要有： 数列求和法；凑整法；分组法；拆项

5、相消法；错位相减法；倒序相加法；运用公式法. 二、强化训练 1、试证：设 a 为有理数，b 为大于 a 的有理数，试证：没有最小的 b 使 ab. 2、若 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则 a 2007 + b2009 等于_； 2008 3、下列四个命题： 1）任何有理数都有相反数； 2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有 （理数； 3）任何有理数都有倒数； 4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数； 5） （数轴上点都表示有理数； 6）任何一个有理数的平方必是正数.上述命题中，说法正确的是 （_； 4、若有理数 m, n, p 满足 | m | + |

6、n | + | p | = 1，则 2mnp = _； mnp| 3mnp | 5、数轴上的 A，B，C 分别对应的数为 0，1，x，C 与 A 的距离大于 C 与 B 的距离，求 x 的取值范 围为_； 6、若有理数满足 a1，0bc1，则下列命题正确的是_. （1）abc0； 4）|a|1bc. （ （ 第 2页 7、若 ab0c，则判断下列各式的大小关系： （1）ab+c_0； 2）abc_0； 3）c+|ab|_0； 4）|ac|_bc； （8、整数 a，b 满足：ab 0，且 a+b=0，以下判断正确的是_. Aa，b 之间没有正分数 Ba，b 之间没有负分数 Ca，b 之间至多有一

7、个整数 Da，b 之间至少有一个整数. 9、若|m|=m+1，则 (4m + 1)2009 = _； 18 10、若 a 与 都是正整数，则 a=_； a + a 1 211、有理数 a，b，c，d 满足|ab| 9，|cd| 16 和|abc+d|=25，则|ba|dc|=_； 12、若有理数 a，b，c，d，e 满足|abcde|=abcde，则 S = | a | + | b | + | c | + | d | + | e | =_； abcde13、已知 a，b，c 三个数中有两个奇数，一个偶数，n 是整数，若 S=（a+n+1） b+2n+2） c+3n+3） （，则问 s 的奇偶性

8、是_； 14、已知 a 2，b 3，c 5，且 abc10，则 abc 的值等于_； 15、已知 a=1999 则 3a3 2a2 + 4a 1 3a3 3a2 + 3a 2001 _； 16、已知代数式 ax2 + b ，当 x=1，0，1 时的值分别为1，2，2，而且 d 不等于 0，问当 x=2 时该 cx + d 代数式的值是多少？ abc17、有理数 a，b，c 均不为 0，且 a+b+c=0 设 x = +，试求代数式 x19+99x+2000 之值. b+c c+a a+b 18、一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶 8 个车站.已知前 6 个车站共 上车

9、100 人，除终点站外共下车总计 80 人，问从前 6 站上车而在终点下车的乘客共有多少人？ 第 3页 19、如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动.已知甲于第 10 秒钟时追上乙，在第 30 秒时追上丙，第 60 秒时甲再次追上乙，并且在第 70 秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？ 20、用 min（a，b）表示 a、b 两数中较小者，max（a，b）表示 a、b 两数中较大者，例如 min（3， 5）=3，min（3，3）=3，max（3，5）=5，max（5，5）=5.设 a、b、c、d 是不相等的自然数，min （a，b）=P，min（c，d）=Q，max（P，Q）=

10、X；max（a，c）=M，max（b，d）=N，min（M，N） =Y，判断 X，Y 的大小关系.（试将 a、b、c、d 设为你喜欢的数字，并判断 X，Y 的大小关系） 一、试试看 1、 1 + 1+ 1 + 1 + + 1 2 2 2 23 2100 2、2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) (3、 1 + 3 + 5 + 7 + + 99 5、 1+1+ +14、 s = 1 2 + 3 4 + 6、3998+2997+1996+195 + 2001 2002 1 2 2 3 10 11 7、 1+ 1 +1+ 1 + 1 + 2 +1+ 2 +

11、1 + 1 + 1 + 3 +1+ 3 + 1 + 1 + 2233 33424 424 +1 + 1 + 3 + + 19 + 1 + 19 + + 1 20 10 20 20 20 20 二、有理数的运算 1、计算： （1） 2007 2006 2007 (2006 2007)=_； （2） (1) + (1) (1) (1) (1) =_； 1（3） (1)2006 + (1)2007 1 2008 =_； 4） 2 ( )2 + (2) =_； （2 第 4页 （5） (1)1998 + (1)1999 + + (1)2006 + (1)2007 =_； （6）123456200320

12、042005=_； （7） 2002 (1 + 1) (1 + 1) 23 (1 + 1 ) =_； 2002 （8） 32000 5 31999 + 6 31998 =_； 2、计算：12 + 22 + 32 + n2 = 1 n(n + 1) (2n + 1) ，按以上式子，那么 22 + 42 + 62 + 650 2 _. 3、a，b，c 都是质数，且满足 a+b+c+abc=99，则| 1 - 1 |+| 1 - 1 |+| 1 - 1 |=_ ab bc ca 4、用 定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a b=b2+1.例如，7 3=_；当 m 为实数时，m （m 2）=_.

13、 5、有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则它们从 小到大的顺序是_. a + b _； d + c _； c + b _； a d _. 4=42+1=17，那么 5 6、若正数 a 的倒数等于其本身，负数 b 的绝对值等于 3，且 ca，c236， 代数式 2（a2b2）5c 的值为_. 7、已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值等于 2，则 x2（a+b+cd）x+（a+b）2000+（ cd）2001 的值为_. 8、已知 p = 999 ,Q = 119 , 则 P,Q 的大小关系为_. 999 990 9、若3x1，化简：y|x1|x2|x3|=_

14、10、设 3x3x=1，则 9x412x33x27x2001 的值为_. 11、已知 a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，a99+a100=99，a100+a1=100，那么 a1+a2+a3+a100=_. 12、如果 4 个不同的正整数 m，n，p，q 满足（7m） 7n） 7p） 7q）=4，那么 m+n+p+q= （）13、若 a 与（b）是互为相反数，1898a97ab9b =（ +9 2 19 ）. 214、 x + 1 + x 2 的最小值为_，此时， x 的取值范围为_. 15、已知实数 a, b, c 满足 1 c 0 a c a , 则 c 1 + a c a

15、b 的值为 _. 第 5页 16、计算 2002 1 2001 1 + 2000 1 1999 1 + + 2 1 11 . 22222217、有一种二十四点的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个 1 至 13 之间的自然数，将这四个 （每个数用且只用一次）进行加减四则运算与 4 (1 + 2 + 3) 应视作相同方法的运算，现有四个有理 数 3，4，6，10.运用上述规则写出两种不同方法的运算，使其结果等于 24，运算式： （1）_; （2）_; 18、黑板上写有 1，2，3，1997，1998 这 1998 个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下： 擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦

16、掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉 5，13 和 1998 后， 添加上 6；若再擦掉 6，6，38，添上 0，等等.如果经过 998 次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个 是 25，求另一个数. 19、现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活中的一部分，有一种密码的明文（真实文） 按计算机键盘字母排列分列，其中 Q、W、E、N、M 这 26 个字母依次对应 1、2、3、25、 26 这 26 个正整数（见下表） ：QWERTYUIOPASD12345678910 11 12 13 FGHJKLZXCVBNM14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

17、给出一个变换公式： xx 3 ， x 是正整数，1 x 26，x 被 3 整除）; （ 第 6页 x x+2 3 17， x 是正整数，1 x 26，x 被 3 除余 1）; （x +1 x 3 8， x 是正整数，1 x 26，x 被 3 除余 2）. （将明文转换成密文，如： 4+2 4 3 1719，即 R 变为 L； 11 + 1 11 3 812，即 A 变为 S. 将密文转换成明文，如：213（2117） 210，即 X 变为 P； 133（138） 114，即 D 变为 F. 相信你已经读懂了吧，那么请解答下面各题： 按上述方法将明文 NOIC 译为密文； 按上述方法将明文译成的密文为 FOR ，请找出它的明文. 20、 1）阅读下面材料： （点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为AB.当 A、B 两点中有一 点在原点时，不妨设点 A 在原点，ABOBbab；当 A、B 两点都不在原点时， 点