双曲线知识点总结及练习题

1、、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（VIFf）的点的轨迹（PF-PF=2aFF（a为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之1212差的绝对值。（2）2aIFF2I时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l（准线）的距离之比是常数e（e1）时，这个动c点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。、双曲线的标准方程（b2=C2，a2，其中F1F22C）焦点在x轴上：x2y2-、二1（a0，b0）a2b2焦点在y轴上：y2x2-二1（a0，b0）a2b2（1）如果x2项的系数是正数，则焦

2、点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。a不一定大于bo判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上x2y2x2y2(2)与双曲线一学1共焦点的双曲线系方程是-1a2b2a2,kb2一kx2y2(3)双曲线方程也可设为：一1(mn0)mn三、双曲线的性质双曲线标准方程(焦点在x轴)X2y2-丿-1(a0,b0)a2b2标准方程(焦点在y轴)y2x2丿-1(a0,b0)a2b2定义第一定义：平面内与两个定点F，F的距离的差的绝对值是常数(小于FF)的12112点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距

3、离叫焦距。m|mf|-1MFI2a(2a1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e(e1)叫做双曲线的离心率。*xF1J、范围xa，yeRya，xeR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a，虚轴长为2b对称中心原点O(0,0)焦点坐标F(-c,0)F(c,0)12F(0,-c)F(0,c)12焦点在实轴上，C=Ja2+b2；焦距：FF=2c12顶点坐标（一a,0）（a,0）（0,一a,）（0，a）离心率e二C（e,1）,c2=a2+b2，e越大则双曲线开口的开阔度越大a准线方程x=竺cy=竺c准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a2c顶点到准线的距离

4、顶点A（A）到准线l（l）的距离为a竺1212ac顶点A（A）到准线l（l）的距离为竺+a1221十ac焦点到准线的距离焦点F（F）到准线l（l）的距离为c竺=匹1212c一一cc焦点F（F）到准线l（l）的距离为竺+c1221+cc渐近线方程y=饮（虚），-c,纠c,纠a实va丿和Ia丿x=by（虚）a实将右边的常数设为0,即可用解二兀二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程x2-y2一k（k0）a2b2y2-x2=k（k0,b0)上有一动点M(x,y)a2b200左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而

5、双曲线不带符号)%二：构成满足Mf-IMFJ=2a注：焦半径公式是关于xo的一次函数具有单调性当M(xo,y。)在左支端点时1MFi|xc-a，IMF=c+a，当M(x,y)在左支端点时丨MF1=c+a，IMF=c-a200i2七、等轴双曲线-二=1(a0,b0)当a=b时称双曲线为等轴双曲线a2b21。a=b；2。离心率e2；3。两渐近线互相垂直，分别为y=+x；4。等轴双曲线的方程x2-y2,0；八、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。竺-21,与竺-21-,互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：兰-210.a2b2a2

6、b2a2b2九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线TOC o 1-5 h zx2y2x2y2点P(x,y)在双曲线一厂1(a0,b0)的内部亠1代值验证，如x2-y2=100a2b2a2b2x2y2x2y2点P(x,y)在双曲线一厂1(a0,b0)的外部亠100a2b2a2b2x2y2x2y2点P(x,y)在双曲线一一厂1(a0,b0)上-亠=100a2b2a2b22、直线与双曲线代数法：x2y2设直线l:ykx+m，双曲线一一厂1(a0,b0)联立解得a2b2(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b20bbm0时，-一k，k，或k不存在时，直线与双曲线没

7、有交点；aam0时，bk存在时，若b2-a2k20，k=,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相a交若b2一a2k20，(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2)0时，m2+b2-a2k20，直线与双曲线相交于两点；0时，m2+b2-a2k20,b0)n渐近线方程：丄一=0y=axbxyx2y23、若渐近线方程为yx=0n双曲线可设为=九,k丰0。aaba2b2x2y2x2y24、若双曲线与一1有公共渐近线，则双曲线的方程可设为-九(九0,焦点在x轴上,a2b2a2b2k0,焦点在y轴上)十一、双曲线与切线方程1、双曲线=1

8、(a0,b0)上一点P(x,y)处的切线方程是0=1。a2b200a2b2x2y2xxyy2、过双曲线一=1(a0,b0)夕卜一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是亠01。a2b200a2b2x2y23、双曲线一一厂1(a0,b0)与直线Ax+By+C0相切的条件是A2a2-B2b2c2。a2b2椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55。1、A、B两点在X轴上时(1)当0时轨迹是双曲线，除去A,E两点，与双曲线的标准方程4-4=b比较知八/所以耸；aba(2)当k时轨迹是圆*除去仏E两

9、点；(3)当-1C七CO时，轨迹是焦点落在X轴上的椭圆*除去A,b2B两点，其中_2；当Z-1时，轨迹是焦点落在y轴上的椭圆，除去A,B?b2两点，其中2、A、B两点在Y轴上时十三、面积公式双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形,c7S，b2cotAPF1F22面积公式推导：PF2，由余弦定理得r2+r2(2c)2解：在APFF中，设ZFPF，PF，r，121211PF2PF2-FF2cos，1212PF-PF12(rr)2+2rr4c2，122rr12(2a)2+2rr4c22rr12rr2(c2a2)，12rr12rr2b212rr12rrcosx=rr一2b2

10、1212即rr122b21cosa112b2sinaaS，rrsina，xsina，b2=b2cot.PF1F221221cosa1cosa2椭圆上一点与椭圆的两个焦点F,F构成的三角形PFF称之为椭圆焦点三角1212a形.S，b2tanPFF2面积公式推导解：在PFF中,12设ZFPF，a，2PFPF,由余弦定理得1112rrcosa，2b2rr1212即rr122b21+cosaSPF1F212b2sinaa，rrsina=xxsina，b2=b2tan1221+cosa1+cosa2十四、（双曲线中点弦的斜率公式）：设M（x,y）为双曲线乂21,1弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有k-

11、k，冬00a2b2ABOMa2x2证明：设A(x,y),B(x,y)，则有k二Z21122ABxx12a2聲二1b2两式相减得：淫里二1a2b2二，因为M(x,y)是弦ABa200L2JL二0整理得：42二竺,即(yi+y2)(yiy2)a2b2x2x2a2(x+x)(xx)121212的中点，所以k=益二工二HZ，所以kk=OMx2xx+xABOMa20012椭圆中线弦斜率公式k-kABOMb2a2双曲线基础题双曲线2x2-y2=8的实轴长是（）A2B22C4D42X2设集合P=（x,y）-4-y2=1,Q=（x,y）lx2y+1=0,记A=PHQ,则集合A中元素的个数是（）A.3B.1C.

12、2D.4双曲线169=1的焦点到渐近线的距离为（）A.2B.3C.4D.5双曲线y2x2=1的共轭双曲线的离心率是.能力提升中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A.6B.5C.26D.6.设双曲线養9=1（a）的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为（）A.4B.3C.2D.1从手一乎=1（其中m,n1,2,3）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个,mn则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（B.4c2d3C,3d,48.双曲线尹3=1的渐近线与圆(x3)2+y2=r2(r0)相切，则r=()A.6B.3C.4D.69.如图K511

13、,在等腰梯形ABCD中，ABCD且AB=2AD,设ZDAB=0,0丘（0,号，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则ee2=已知双曲线a2b2=1（a0，b0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是.已知双曲线a2b2=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=3x,它的一个焦点为F（6,0）,贝V双曲线的方程为.（13分）双曲线C与椭圆27+36=1有相同焦点，且经过点（15,4）.（1）求双曲线C的方程；若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上,且ZF1PF2=120

14、,求厶F1PF2的面积.难点突破13.（1）（6分）已知双曲线a2=1和椭圆盏+益=10,mb0）的离心率互为倒数，那么以a,b，m为边长的三角形是()锐角三角形直角三角形钝角三角形锐角三角形或钝角三角形(2)(6分)已知F、F2为双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且ZF1PF2=60,则PF|.|PF2I=()A2B4C6D8双曲线综合训练一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）TOC o 1-5 h z动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.条射线设双曲线的半焦距为c,两条准线间的距

15、离为d，且cd，那么双曲线的离心率e等于（） HYPERLINK l bookmark72A.2B.3C.2D.3兀过双曲线的一个焦点F作垂直于实轴的弦PQ，F是另一焦点，若zPFQ，则双曲线的离心2112率e等于（）A.2-1B.2C.2+1D.2+2双曲线mx2+y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）1AA1A.-B.4C.4D. HYPERLINK l bookmark10244X2y25双曲线a2-b21（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2,点P为该双曲线在第一象限的点，小吋2面积为1，且tanF1F22，tan丫F1，2,则该双曲线的方程为（A.12X251212y25TOC o

16、 1-5 h zx25y2一12X2y26.若F1、F2为双曲线a2一b21的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足FOPM,OP九（OF1+OM）（九0），则该双曲线的离心率为（）1OF1OMA.2B.3C.2D.37.如果方程x2+y21表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）-pqA.X2+y22q+pqB.X2+y212q+ppC.D.、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）双曲线的渐近线方程为X土2y0，焦距为10，这双曲线的方程为TOC o 1-5 h zX2y29若曲线+/z=1表示双曲线，则k的取值范围是。4k1，kX2

17、y23若双曲线-=1的渐近线方程为y=X,则双曲线的焦点坐标是.m2三、解答题：(本大题共2小题，满分30分)(本小题满分10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F(0,-5),F(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线12与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。12.(本小题满分20分)已知三点P(5，2)、F(6,0)、F(6，0)。12求以F、F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；12设点P、F、F关于直线y=x的对称点分别为P、F、F，求以F、F为焦点且过点P121212的双曲线的标准方程.【基础热身】C懈析双曲线方程可化为手一=1，所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.x21B解

18、析由于直线x2y+1=0与双曲线才y2=1的渐近线y=2X平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素.故选B.B懈析双曲线16y9=1的一个焦点是(5,0)，条渐近线是3x4y=0,由点到直线的距离公式可得d=l3X501=3.故选B.|解析双曲线学一等=1的共轭双曲线是寺y7=1，所以a=3，b=7,所以c=4，所以离心率e=|.【能力提升】D懈析设双曲线的标准方程为養|=1(a0,b0)，所以其渐近线方程为y=ax，因为点(4,b1c2a21552)在渐近线上，所以a=2根据C2=a2+b2,可得尿=4，解得e2=4，所以e=?，故选D.C懈析根据双曲线节一普=1的渐近线

19、方程得：y=x,即ay3x=0.又已知双曲线的渐近线a29a方程为3x2y=0且a0,所以有a=2，故选C.B解析若方程表示圆锥曲线，则数组(m,n)只有7种：(2,1),(3,1),(1,1),(2,2),4(3,3),(2,3),(3,2),其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P=y.故选B.|2X30|A解析双曲线的渐近线为y=2x,圆心为(3,0),所以半径r=一3=6故选A.1解析作DM丄AB于M,连接BD,设AB=2,则DM=sin0,在RtABMD中，由勾股定理得BD=54cos0,所以TOC o 1-5 h z|AB|2eIIBDI|ADII54cos01I

20、CDI22cos0十、-e=，所以ee1. HYPERLINK l bookmark112IACI+IADI54cos0+112b2,+呵懈析依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是60,90),所以-三tan60=3,a即b23a2,c24a2,所以e三2.x2y2bg务=1解析a=3,即b=3a,而c=6，所以b23a23(36b2),得b2=27,a2=9,所以双曲线的方程为等一27=1.12.解答(1)椭圆的焦点为F1(0,3),F2(0,3).设双曲线的方程为ab2=1，则a2+b2=32=9.又双曲线经过点(15,4),所以器-接=1，解得a2=4,b2=5或a2=36,b227(

21、舍去)，所以所求双曲线c的方程为y2专=1(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=5,c=3.设IPF1I=m,IPF2I=n，则ImnI=2a=4,平方得m22mn+n2=16.在厶FPF2中，由余弦定理得(2c)2=m2+n22mncos120=m2+n2+mn=36.20由得mn=3，153所以F1PF2的面积为S=2mnsinl20=3【难点突破】13.(1)B(2)B懈析依题意有a2b2am2-b21,m化简整理得a2+b2m2,故选B.在f1pf2中，由余弦定理得，IPF2+IPF212-|F,F2121212cosou-2IPF|.|PF2I，(IPF】I-IPF2I)2IF/2I2+2IPF】lIPF2I2IPF|.|PF2I4a2-4c2-4b2+1+12IPFIIPF2|T12IPFIIPF2I+因为b1,所以IPFIIPF2I4.故选B.4、选择题1.DPM一PN=2,而MN=