ghx第六章频率特性分析法三

1、前期回顾：典型环节的频率特性和时域响应的关系：低频？中频？高频？静态、动态、 抗扰Nyquist曲线起始位置：0（低频）终止位置： +（高频）惯性环节：半圆Bode图近似绘制转折频率；误差修正谐振频率对数幅频特性和相频特性的对应积分环节：-20db/dec，-90-20db/dec-90前期回顾：幅相频率特性曲线的起点、终点、与实轴交点、低频段： 01起点起点决定稳态精度 0:A(0) K 0:A(0) () 2高频段： 2终点A 0,3与实轴的交点与虚轴交点，令实部等于零：与实轴交点，令虚部等于零：ReG( j) 0，算出对应的ImG( j) 0，算出g4依据相角() n m2前期回顾：开环

2、对数频率特性曲线的绘制lG (s) G i (s ),i1lllA() Ai()，L () 20lg A() 20lg Ai() Li ( )i1i1i1系统对数频率特性：各个环节Li()和相角的叠加近似绘制从低频高频，线性叠加三个要点：确定低频渐近线的斜率及位置,典型环节转折频率；转折后线段斜率变化量。l( ) i ( )i1前期回顾：开环对数频率特性曲线的绘制1.低频渐近线的确定：1) 斜率: -20dB/dec2) 点：=1，L()=20lgKdB;3) 低频渐近线与 0dB线 (横轴)分别交于: =K1/v典型环节名称转折频率转折后斜率变化量一阶微分环节i 1/ij 1/Tj20dB/

3、 dec惯性环节 20dB/dec二阶微分环节k 1/kl 1/l40dB/ dec振荡环节 40dB/dec6.4.3 Bode图的渐近线和转折频率4(s 1)例6-4设系统的开环传递函数为，G(s) s(2s 1 1 s2s 1 1绘制其。) 410解：写成时间常数形式, 并写出对应的频率特性：4( j 1)G( j) j(2 j 1) 1 ( j)2 110j 1 4(1) 对数幅频特性 1：I型系统,开环放大系数：K 4转折频率：1=0.5, 2=1, 3=2渐进线斜率：过 1,L 20lg4 12dB,作20低频渐进线，到1 0.5，斜率变为 40;到2 1, 斜率变为 20;到3

4、2, 斜率变为 60;4(s 1)G(s) s(2s 1 1 s2s 1 1) 4(1,12dB)10(2) 对数相频特性=2=0.5=1逐点计算得出相角变化的曲线。(3) 对数频率特性如图6-33。对数幅频特性在3=2附近迅速上升，与渐近特性偏差较大。可利用绘制。频率/(rrad/s)0+0.10.20.30.41.02.53510100相位G(j)()-90-96.2-101.6-106.0-109.2-116.0-256.5-265.5-270-270-270-270() arctan 90arctan 0.5 arctan (1/10 ) /(1 (/4)2 )6.4.4 最小相位系统

5、和非最小相位系统考虑线性定常系统的传递函数，若在右半s平面上既无零点也无极点，则称其为最小相位传递函数，否则，称其为非最小相位传递函数；对应的系统分别称为最小相位系统和非最小相位系统。最小相位的概念来源于网络理论，其含义是：在(, +)上具有完全相同幅频特性的一类系统中，当从0至无穷大变化时，最小相位系统的相角变化量最小，故而得名。G(s) 1 s, 0 T1TsG (s) 1 s, 0 T1TsG (s) 1 s, 0 T1Ts最小相位和非最小相位举例：G(s) 1 s,0 T,11TsG(s) 1 s, 0 T21TsL1() L2() 20lg1 22 20lg1T221() arcta

6、n arctanT2 () arctan() arctanT对比可见，非最小相位系统对阶跃响应相对变化滞后。这是由于相对于正向叠加s ，反向叠加s起到了延缓输出变化的作用。当输入信号变化迅速，其微分作用较大，反向叠加会导致输出出现反应。最小相位系统的重要性例6-5已知最小相位系统的对数幅频特性渐近线如图6-36所示。试写出其传递函数。转折频率：1=2, 2=10渐进线斜率：到2 2, 斜率变为 40;到3 10, 斜率变为 20;G(s) 10(0.1s 1) s(0.5s 1)低频段斜率 20dB， v 1：I型系统;经过(1,20dB)点， 开环放大系数：K 10由最小相位系统的幅频特性，

7、能唯一确定其相频特性，反之亦然。只画出对数幅频特性就可分析和设计系统。典型的非最小相位系统2延迟环节G( j) e j 幅相频率特性：圆：圆心为原点,半径为1；当=0+，相角不断变负，(6 - 22)性由(1, j0)开始，顺时针周而复始地转动，且越大，转动越快。对数频率特性:渐进线与横坐标(0dB线)重合；= 0 +，相角不断变负。延迟环节本身以及任何含有延迟环节的系统均为非最小相位系统。越大，滞后越大。这种滞后对反馈系统的稳定性非常不利，具有大延迟时间的对象也因此被认为是难以控制的。3. 如何进行频率特性分析？A.三种图示法：Nyquist，Bode，Nichols B.基本因式（典型环节

8、）的频率特性C.系统的开环:幅相频率特性对数频率特性D.稳定性分析：判稳稳定稳定性的回顾稳定？回到平衡状态的能力怎么判断系统稳定性？闭环特征根位于面m阶分项式N(s)G (s) G(s)H(s) ; mnkn阶开环特征式D(s)D(s)G(s)G(s)(s) 1 n阶闭环特性式D(s) G (s)N(s)k如何判断闭环特征根是否位于面？6.5稳定判据 ：开环判 稳Gk(s) G(s)H(s) N(s); m nD(s)N(s): m阶分项式numeratornatorD(s): n阶分母多项式G(s)D(s)G(s)(s) 1 Gk(s)n阶闭环特性式D( s) N(s)1、辅助函数F(s)

9、1 G (s) D(s) N(s)kD(s)6.5稳定判据 ：开环判 稳n(s zj ) j1D(s) N(s)D(s)F(s) 1 G (s)辅助函数knj1(s pj )特点：2)系统稳定性条件转化为：F(s)的零点数在s右半平面的个数Z；Z=0时，系统稳定。 F(s)=1+Gk(s).3)F平面原点 GH平面( 1,j0)点 zj :F(s)零点 为闭环极点(Z个)pj :F(s)极点为开环极点(P个)6.5稳定判据 ：开环判 稳n(s zj ) j1(s pj )j12、定理：找出s平面与F(s)平面间的关系,是用频率特性判断系统稳定性的基础。F(s)为单值、连续正则函数，则1)s平面

10、上的点F(s)平面上的点F(s) ns平面-ziIm2)s平面上的曲线F(s)平面上的曲线Im平面两种情况：s平面上的封闭曲线包含F(s)的一个零点-zi；对应F(s)上顺时针围绕原点的一条封闭曲线。s平面上的封闭曲线包含F(s)的一个极点-pi；对应F(s)平面上逆时针围绕原点的一条封闭曲线。ReRes平面-p0ImIm平面iRe0Re6.5稳定判据 ：开环判 稳它在F平面对应的闭合 曲线将以顺时针绕原点N Z P圈. 推出Z N P如何应用前面的知识来判稳？3.幅角定理:s平面不通过F(s) 任何奇异点的封闭曲线顺时针包围F(s )在s平面的Z的个零 点P个极点时,则6.5稳定判据 ：开环

11、判 稳4.稳定判据:设s右半平面有如下的封闭曲线：正虚轴s=j,:0半徑无限大右半圆负虚轴s=j, :-0称为奈氏路径。特点：若s右半平面有F(s)的零点，则奈氏路径包围。对应F(s)平面上一条闭合曲线包围原点，该曲线：顺时针包围原点的圈数N=Z-P6.5稳定判据sF(s) =1 +Gk路径对应的s)平面上的闭合曲线顺时针包围原点的圈数N=Z-PGH(s)平面上对应的闭合曲线顺时针包围(-1,j0)点的圈数N=Z-P6.5稳定判据闭环系统稳定充要条件:闭环特征根全部落在左半s平面,亦即落在右半s平面的闭环特征根个数为0:Z=0N=-PNyquist判据:若系统开环不稳定,P0,闭环系统稳定的充

12、要 条 件 是 ：GH平面开环幅相频率特性曲线及其镜像当从-变化到+时,逆时针方向围绕(-1,j0)点P圈。若系统开环稳定,则闭环系统稳定的充要条件是 开环幅相频率特性及其镜像不包围(-1,j0)点。若判定闭环系统不稳定，则在右半s平面闭环特Z=N+P征根的个数为注意：GH(j)不穿过(1, j0)，即不穿过F(j )的零点（临界稳定）6.5稳定判据6.5.3稳定判据的应用10型开环系统例6-6判断两个反馈系统的稳定性K(1) G (s) 0 T1 , T21(Ts 1)(T s 1)12起点：0型系统，其曲线起始于点(K,j0); 终点：以(n m)90=180方向终止于坐标原点。因此其 线

13、不可能包围(1, j0)点。N=0。曲Z=N+P=0，系统稳定。K、T1、T2均为正数,开环极点 1/T1、 1/T2均为负实数,右半s平面无开环极点 ,P 0,6.5稳定判据K0 T3 T1 , T2(2) G (s) 2(Ts 1)(T s 1)(T s 1)123起点：0型系统，其曲线起始于点(K,j0); 终点：以(n m)90=270方向终止于坐标原点。当=0时，曲线与负实轴的交点随着K的增大向左移动，当K较小时，曲线不包围(1, j0)点。Z=N+P=0，系统稳定;当K较大时，曲线包围(1, j0)点。Z=2+0=2，系统不稳定。F(s)在右半s平面有两个零点(T(s)在右半s平面

14、2个极点)。K、T1、T2、T3均为正数,开环极点 1/T1、 1/T2、 1/T3均为负实数,右半s平面无开环极点 ,P 0,6.5稳定判据K比较： (1) G (s) 1(Ts 1)(T s 1)12K(2) G (s) 0 T T , T2(Ts 1)(T s 1)(T s 1)312123两者区别仅在于后者添加了一个小惯性环节，两者的频率特性在低频段几乎没有差别。但当开环系数K较大时，闭环系统的稳定性却有本质区别。情况（2）中的小惯性环节引入了附加相位滞后，使其曲线穿过负实轴进入了第二象限，因而在开环系数较大时，可能围临界点(1, j0)。在一些实际控制系统中，传感、执行、放大等环节的

15、时间常数相对于对象的时间常数而言非常小，建模时常被忽略。可能得到错误结果。6.5稳定判据例6-7某反馈系统的开环传递函数为，KG (s) 判断稳定性。解:开环频率特性为 :GL( j) K ( j 1)Ls 1lim K ( j 1) K, 起点 : (K, j0)0lim arctan(1 ) 90 ,随频率增加,相角从- 180 单调增加到- 90 , 终止于原点.曲线逆时针包围点(1, j0)一圈（注意非最当K1时，小相位系统，曲线与最小相位系统不同），由于P=1，Z=N+P= 1+1=0，闭环系统稳定；曲线不包围点(1, j0)， P=1，当K0)型系统: 0-和0+ ，G(j)均趋于

16、无限远处,2) 当=0-0+时，角从90经0逆时针变化到+90 ，在广义路径GH(s)平面上的曲线将沿着半径为无穷大的顺时针圆弧，角度从v90经过0转到I型系统=0-0+的曲线v90。封闭曲线。 K | e jvGH(s) |(6 - 32)s limej0s limej0sv6.5稳定判据曲线的正、负频率部分通过无穷大圆弧衔接成封闭的曲线.如GH(s) K sv(Ts 1)(T s 1)从 0开始的正频率部分的12曲线为v=1v=2v=36.5稳定判据：正频特性法3. 从正频率部分判断闭环系统稳定性由于曲线的正、负频率部分关于实轴互为镜像，通常从正频率部分判断系统稳定性：: 0+曲线，即为0

17、0 +的逆时针v90辅助线和0+曲线F(s)在右半s平面的零点个数 (T(s)在右半平面的极点个数)Z：Z=2N+P(6-33)K(T1s 1)例6-8设反馈系G (s) Ls2 (Ts 1)统开环传递函数为2曲线起始点+180起点：v=2，其(=0+); 终点：0180=arctanT1arctanT2 (T1T2)表明当=0时， 先增后减。Z=2N+P=0，闭环系统稳定。6.5稳定判据：正负穿越法4、从正负穿越判断闭环系统稳定性正穿越：随,频率特性曲线从上至下穿过负实轴 (-1)区段一次，伴随相角增加,故称为正穿越；负穿越：随,频率特性曲线从下至上穿过负实轴(-1)区段一次，伴随相角减少，

18、故称为负穿越。记N 为正穿越次数, N 为负穿越次数 ,N 2N 2(N N ) 2(N N )则Z 2(N N ) P或者 2(N N ) P(6 - 34)半、负穿越: 正频率部分曲线及对应辅助线起始于(1, j0)点左侧负实轴的算半穿越，反之，终止于(1, j0)点左侧的负实轴的算半次负穿越。如图6-50。6.5稳定判据例6-9反馈系统的开环幅相频率特性如图6-49所已知示，其中，P=0，v=1，试判断系统的稳定性。1)补充完整负频率部分曲线。 v=1, 再用半径为无穷大的右半圆将=0-和=0+的特性曲线连接起来。系统稳定2) =+，N=0, Z=N+P=0=0+，N=0，Z=2N+P=

19、0=0+，N-=1，N+=1，Z=2 (N-N+)+P=0系统稳定。当K发生变化时，P1，P2，P3位置发生变化，若 (1, j0)位于点P1和原点之间，或者在P2与P3之间，系统不稳定。这种参数无论增大还是减小都可能不稳定的系统称为条件稳定系统。总结：Nyquist稳定判据的应用1全频特性法:-+，G(j)，N注意：I、II型系统的辅助线:： 0-0+，半径为无穷大的顺时针右半圆，转过的角度v90-v90， =0时穿越实轴的位置要具体分析。正频特性法:0+，G(j),N=2N辅助线1:： 00+，半径为无穷大的顺时针右半圆，转过的角度0-v90。幅值线2：原点到= 0处的直线。正负穿越法:0

20、+，G(j), N=2(N-N+)(-1,j0)左侧，负穿越次数（顺）-正穿越次数（逆）P 1,N -1Z N P 0P 0,N 0Z 2N P 06.5稳定判据6.5.4 基于对数频率特性的稳定判据正穿越（相角增加）：在L()0的区间内，()曲线自下而上通过180线。负穿越（相角减小）：在L()0的区间内，()曲线自上而下通过180线。在开环对数幅频特性L()0的所有频率范围：2(N+ N)=P时，闭环系统稳定。6.5稳定判据例6-10负反馈系统的开环传递函数在右半s平已知一面的无极点，其开环对数频率特性曲线如图6-53所示，其中，v=2，试判断其稳定性。Z=2(NN+)+P=2(10)+0

21、=2,闭环系统不稳定。右半s平面有2个极点。6.6 稳定6.6.1 幅稳定和相稳定稳定稳定是一种基和相稳定环系统频率特性的频域指标括幅，它们既可以在图中表示，也可以在中表示，两者存在对应关系。要意义6.6 稳定1. 幅值KGM：与负实轴相交时开环幅相频率特性幅值的倒数。 1 |GH( jg ) |KGM 20 lg KGM 20 lg GH( jg) dBLGMg时,(g ) 180 ,g 称为穿越频率。物理意义:幅值2)若增大KGM倍以上,系统不稳定。1)稳定系统的传递系 数增大KGM倍,频率特性通过(1,j0)点,系统临界稳定;曲线 与负实轴相交,幅值KGM 1/GH( jg ),LGM

22、20 lg KGM6.6 稳定：当幅值|GH(j)|=1时开2. 相角环幅相频率特性向量与负实轴的夾角。相角的物理意义:稳定系统在c处相角再滞后角度,则系统临界稳定;若滞后大于,系统将不稳定。图中,为(c )与 180 水平线间距离(用度表 示)。c :开环截止频率,|GH( jc )| 1,L(c ) 0 (c )( 180 ) 180 (c )6.6 稳定对于最小相位系统，欲使系统稳定需保证0或KGM1 .为保证在许多不确定作用下系统仍能保持稳都足够大。但是，稳定，应使幅值和相位定过大往往会影响系统的其它性能，例如系统响应的快速性。一般选择, =3060,LGM =620dB工6.6 稳定例6-