函数的极值与最大（小）值（第二课时）【高效备课精研+知识精讲提升】 高二数学 课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章

一元函数的导数及应用5.3.2函数的极值与最大（小）值第

二课时函数的最大（小）值（1）一二三学习目标能利用导数求某些函数的在给定闭区间上函数的最大值、最小值体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升数学运算和直观想象素养单元结构函数的单调性函数的极值函数的最大（小）值导数在研究函数中的应用函数最大值和最小值是如何定义的？一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I

，如果存在实数M满足：（2）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m那么，称m是函数y=f(x)的最小值

.复习回顾新课导入

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.

函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？新知探究问题1

下图是函数y=f(x),x∈[a,b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗?追问

你能进一步找出函数在区间[a,b]上的最小(大)值吗？xyOabx1x2x3x4x5x6极大值：f(x2),f(x4),f(x6)极小值：

f(x1),f(x3),f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)怎么找到的呢？新知探究问题2观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？xyOabxyOabx1x2x3x4x5最大值：f(b);最小值：f(a)最大值：f(x3);最小值：f(x4)新知探究问题3以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大（小）值吗？追问1什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？不是!Oxyaby=f(x)y=f(x)OxyabOxyaby=f(x)Oxyaby=f(x)在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.

在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值新知探究

一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.xyOabx1x2x3x4x5x6追问2闭区间上的连续函数的最值一定是它的某个极大（小）值吗？追问3如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢？新知探究求最值的方法：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.追问4

函数最值与极值有什么关系？1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.典例分析例6解：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)f(x)xyO423方法归纳求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a,b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b)；③将函数f(x)在各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．巩固练习课本P94解：x0(0,)(,2)2f′(x)f(x)巩固练习课本P94解：x

－4（－4，－3）－3（－3，3）3（3，4）4f′(x)f(x)巩固练习课本P94解：x－(－,2)2(2,3)3f′(x)f(x)巩固练习课本P94解：典例回首

除点(1,0)外，曲线C1：在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的下方.怎么证明这个结论呢？

典例回首所以,当x=1时,s(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)s'(x)0s(x)–+单调递减单调递增所以,

s(x)≥s(1)=0,即解：将不等式转化为设,那么故当x>0时,.所以,当x=1时,f(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0f(x)–+单调递减单调递增所以,

f(x)≥f(1)=0,即x－lnx－1≥0解：将不等式lnx≤x－1转化为x－lnx－1≥0令

,解得故当x>0时,

lnx≤x－1.xyOy=x-1y=lnx除点(1,0)外，曲线