24223切线长定理和三角形的内切圆

1、24.2.2 直线与圆的位置关系(3).复习回想切线的断定定理:1、和圆只需一个公共点的直线是圆的切线2、和圆心的间隔等于半径的直线是圆的切线3、经过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线.1.切线和圆只需一个公共点.2.切线和圆心的间隔等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质：.oop1.连结OP2.以OP为直径作O， 与O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为O的切线 如图，知O外一点P，他能用尺规过点P作O的切线吗？经过作图他能发现什么呢？察看实验1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线O

2、P对称阐明经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段.opAB如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点。假设连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？探求 PA、PB是O的切线， A、B为切点OAPA，OBPB又OAOB，OPOPRtAOPRtBOPPAPB，APOBPO结论切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。.opAB符号言语 PA、PB是O的切线， A、B为切点PAPB，APOBPO猜测如图，假设衔接AB，那么OP与AB有什么关系？分析 PA、PB是O的切线， A、

3、B为切点PAPB，APOBPOOPAB，且OP平分ABCD归纳从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？.例1知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.1写出图中一切的垂直关系；2写出图中一切的全等三角形.3假设 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.AOCDPBE解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCAOCB ACPBCP.(3) 设 OA = x cm , 那么 PO = PD + x = 2 + x

4、 (cm) 在 RtOAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm. 利用切线长定理进展计算.POABc如图，P为O 外一点， PA、PB分别切O于A、B两点，OP交 O于C，假设PA6，PC2 ，求O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。解：衔接OA、AC，那么OAAP在RtAOP中，设OAx那么OP x2OA2PA2OP2即 x262x2 2解得x2 ，即OAOC2OP4 在RtAOP中，OP2OAAPO30PA、PB是O的切线APB2APO60O的半径为2 ，两切

5、线的夹角为60.利用切线长定理进展证明ABCDEO21例2如图，知：在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，交AC与点D。求证：DEOC证明：衔接，为的半径是的切线是的切线，是切点，是的直径，即. 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才干使裁下的圆的面积尽能够大呢？ABC三角形的内切圆的定义：ABC和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形叫圆的外切三角形定 义.思索： 如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽能够大呢？ICABDEF I与ABC的三边相切于点D、E、F.因此ID=IE=IF=I的半

6、径r.问题：作圆的关键是什么？问题：怎样确定圆心的位置？问题：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ABC确定圆心和半径作两条角平分线，其交点就是圆心的位置过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径 作圆，使它和知三角形的各边都相切知： ABC如图求作：和ABC的各边都相切的圆问题:在这块三角形资料上还能裁下更大的圆吗?不能任何一个三角形都只需一个内切圆.思索： 如何作出这个圆？尺规作图ICABEDF与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的间隔相等。.3、以I为圆心，ID为半径作I， I就是所求的圆.例1

7、 作圆，使它和知三角形的各边都相切知： ABC如图求作：和ABC的各边都相切的圆ABCMNID作法：1、作ABC、 ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作IDBC，垂足为D.三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三边的间隔相等三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质.定义：和多边形各边都相切的圆叫做 ，这个多边形叫做 。 多边形的内切 圆圆的外切多边形内切外切如上图，四边形DEFG是O的 四边形，O是四边形DEFG的 圆，DEFG.O思索:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有

8、内切圆)定 义.明确1.一个三角形有且只需一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；4. 三角形的内心到三角形三边的间隔相等。.称号确定方法图形性质 内 心三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的内部1到三边的间隔相等；2OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；3内心在三角形内部 外 心(三角形外接圆的圆心).例3 如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm,求AF、BD、CE的长度。例题：OCAB

9、FDE.例2 如图，在ABC中，点O是内心， 1假设ABC=50， ACB=70，求BOC的度数ABCO2假设A=80 ,那么BOC= 度。3假设BOC=100 ，那么A= 度。 BOC=180 -ABC ACB12 = 180 60 =120 同理 OCB= OCA=12ACB=35 解1点O是ABC的内心，ABC= 25 OBC= OBA=12试讨论BOC与A之间存在怎样的数量关系？请阐明理由.4、如图，ABC中，ABC=500,ACB=750,点O是内心，求BOC的度数。稳定：CABO.例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA

10、=13cm， 求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm) AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). O与ABC的三边都相切AFAE,BDBF,CECD那么有xy9yz14xz13解得x4y5z9思索：假设ABC的周长为m,面积为s，那么内切圆的半径r是多少？.ABCDEF假设知ABC的BC=a，CA=b，AB=c，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，AF 、 BD 、 CE分别等于多少？.Ixyzy+z=ax+z=bx+y=c分析：设 AF=x，BD=y，CE=z .例4 如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于

11、点D、E、F，且AB=c,BC=a，CA=b,求AF、BD、CE的长度。例题：OCABFDE.5、ABC中的内切圆半径为r，ABC的周长为l，求ABC的面积S。CABOFDE.6、知三角形的内切圆半径为3，三角形的周长为20，那么该三角形的面积为 。CABO.7、RtABC中，斜边AB=10cm，AC=6cm，那么内切圆半径为 .ABCO面积法.8、如图,ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，求ABC的外接圆半径r和内切圆半径R.CABDOI长度。.直角三角形的内切圆知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,AC=3,BC=4.求O的半径r. ABCOODEF典型例题.这个结论可表达

12、为“直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和减去斜边.直角三角形的内切圆知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c.求O的半径r. ABCODEF.三角形的内切圆知:如图,ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆O的半径r.ABCOODEF教师提示:ABC的面积=AOB的面积+BOC的面积+AOC的面积.三角形的内切圆知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆O的半径r.ABCOODEF这个结论可表达为:三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半.三角形的内切圆知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,BC=5,r=2.求ABC的周长.ABCODEF.A梯形 B菱形 C矩形 D平行四边形1、以下图形中，一定有内切圆的四边形是 2、如图，ABC中，E是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DEDB练 习.3、如图，菱形ABCD中，周长为40，ABC=120，那么内切圆的半径为 A B C D 4、如图，O是ABC的内切圆，D、E、F是切点，A=50，C=60，那么DOE= A70 B110 C120 D130 .5、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 A1 B12 C1 2 D123 6、存在内切圆和外接圆的四边形一定是 A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形7、画一个边长为3c