【高考必备】2017年高考数学（理）热点题型和提分秘籍专题33空间向量及其运算word版含解析

1、1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直热点题型一 空间向量的运算例1、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点。(1)化简：eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()；(2)设E是棱DD1上的点，且eq o(DE,sup10()eq f(2,3)

2、eq o(DD1,sup10()，若eq o(EO,sup10()xeq o(AB,sup10()yeq o(AD,sup10()zeq o(AA1,sup10()，试求x、y、z的值。【解析】(1)eq o(AB,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(AC,sup10()，eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)(eq o(AB,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)eq o(AC,s

3、up10()eq o(A1O,sup10()eq o(AO,sup10()eq o(A1A,sup10()。(2)eq o(EO,sup10()eq o(ED,sup10()eq o(DO,sup10()eq f(2,3)eq o(D1D,sup10()eq f(1,2)eq o(DB,sup10()eq f(2,3)eq o(D1D,sup10()eq f(1,2)(eq o(DA,sup10()eq o(AB,sup10()eq f(2,3)eq o(A1A,sup10()eq f(1,2)eq o(DA,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq

4、 o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq f(2,3)eq o(AA1,sup10()，xeq f(1,2)，yeq f(1,2)，zeq f(2,3)。【提分秘籍】空间向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。【举一反三】 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq o(A1B1,sup10()a，eq o(A1D1,sup10()b，eq o(A1A,sup10()c，则下列向量中与eq o

5、(B1M,sup10()相等的向量是()Aeq f(1,2)aeq f(1,2)bcB.eq f(1,2)aeq f(1,2)bcC.eq f(1,2)aeq f(1,2)bcDeq f(1,2)aeq f(1,2)bc【解析】eq o(B1M,sup10()eq o(B1B,sup10()eq o(BM,sup10()eq o(A1A,sup10()eq f(1,2)(eq o(BA,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(A1A,sup10()eq f(1,2)(eq o(B1A1,sup10()eq o(A1D1,sup10()ceq f(1,2)(ab)eq f(1,2)

6、aeq f(1,2)bc。【答案】A热点题型二 共线、共面向量定理的应用 例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH。(2)因为eq o(EH,sup10()eq o(AH,sup10()eq o(AE,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)(eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(BD,sup10()，所以EHBD。又EH平面EFGH，BD平面EFGH，

7、所以BD平面EFGH。【提分秘籍】 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq o(PA,sup10()eq o(PB,sup10()eq o(MP,sup10()xeq o(MA,sup10()yeq o(MB,sup10()对空间任一点O，eq o(OP,sup10()eq o(OA,sup10()teq o(AB,sup10()(t为参数)对空间任一点O，eq o(OP,sup10()eq o(OM,sup10()xeq o(MA,sup10()yeq o(MB,sup10()对空间任一点O，eq o(OP,sup

8、10()(1t)eq o(OA,sup10()teq o(OB,sup10()(t为参数)对空间任一点O，eq o(OP,sup10()(1xy)eq o(OM,sup10()xeq o(OA,sup10()yeq o(OB,sup10() 【举一反三】 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq f(1,3)(eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(OC,sup10()。(1)判断eq o(MA,sup10()，eq o(MB,sup10()，eq o(MC,sup10()三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内。热点题型三 空

9、间向量数量积的运算例3如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)eq o(EF,sup10()eq o(BA,sup10()。(2)eq o(EG,sup10()eq o(BD,sup10()。eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AC,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c，eq o(BD,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()ca。所以eq o(EG,sup10

10、()eq o(BD,sup10()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)af(1,2)bf(1,2)c)(ca)eq f(1,2)a2eq f(1,2)abeq f(1,2)bceq f(1,2)c2aceq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)。【提分秘籍】1空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b。(2)坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2。2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a0，b0，abab0。(2)|a|eq

11、 r(a2)。(3)cosa，beq f(ab,|a|b|)。【举一反三】 已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()与eq o(OB,sup10()的夹角为120，则的值为()Aeq f(r(6),6) B.eq f(r(6),6) Ceq f(r(6),6) Deq r(6)【解析】eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()(1，)，cos120eq f(,r(122)r(2)eq f(1,2)，得eq f(r(6),6)。经检验eq f(r(6),6)不合题意，舍去，eq f(r(6),6)。【答案】C 1.【2

12、016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，是.2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】（II）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如

13、图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以可得因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为.解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM平面ABC,所以从而，可得所以二面角的余弦值为.3.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（ = 2 * ROMAN II）求二面角O-EF-C的正弦值；（ = 3 * ROMAN III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）【解析】依

14、题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正平面所成角的正弦值为.4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；.设平面的

15、法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.5.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.( = 1 * ROMAN I)求证：EF平面ACFD；( = 2 * ROMAN II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】（）延长，相交于一点，如图所示因为平面平面，且，所以平面，因此又因为，所以为等边三角形，且为的中点，则所以平面取的中点，则，又平面平面，所以，平面以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系由题意得，因此，设平面的法向量为，平

16、面的法向量为由，得，取；由，得，取于是，所以，二面角的平面角的余弦值为6.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90. （）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.所以CM平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.从而CD

17、PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为

18、 .【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】解法一 由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为， ， ，其中，（1）若是的中点，则，于是，即；（2）由题设知，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则，即，取，得，又平面的一个法向量是，而二面角的余弦值为，因此，解得，或者（舍去），此时，设，而，由此得点，平面，且平面的一个法向量是，即

19、，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.解法二 （1）如图c，取的中点，连结，是梯形的两腰，是的中点，于是由知，四点共面，由题设知，平面，因此，因此，于是，再由即知平面，又平面，故；（2）如图d，过点作交于点，则平面，平面，平面，过点作于点，连结，则，为二面角的平面角，即，从而 ，则为矩形，因此，于是，再由得，解得，因此，故四面体的体积.【2015高考上海，理19】（本题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.【答案】 【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、因为，所以，因此直线与共

20、面，即、共面1（2014广东卷）已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0) C(0，1，1) D(1，0，1)【答案】B【解析】本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示设所求向量是b，若b与a成60夹角，则根据数量积公式，只要满足eq f(ab,|a|b|)eq f(1,2)即可，所以B选项满足题意2（2014重庆卷如图13所示，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BADeq f(,3)，M为BC上一点，且BMeq f(1,2)，MPAP.(1)求PO的长；(2)求二面角APMC的正弦值图13【解析】解：(1

21、)如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC BDO，且ACBD.以O为坐标原点，eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OP,sup6()的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz.因为BADeq f(,3)，所以OAABcoseq f(,6)eq r(3)，OBABsineq f(,6)1，所以O(0，0，0)，A(eq r(3)，0，0)，B(0，1，0)，C(eq r(3)，0，0)，eq o(OB,sup6()(0，1，0)，eq o(BC,sup6()(eq r(3)，1，量为n1(x1，y1，z1)，平面PMC

22、的法向量为n2(x2，y2，z2)由n1eq o(AP,sup6()0, n1eq o(MP,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(r(3)x1f(r(3),2)z10，,f(r(3),4)x1f(3,4)y1f(r(3),2)z10，)故可取n1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(5r(3),3)，2).由n2eq o(MP,sup6()0，n2eq o(CP,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(f(r(3),4)x2f(3,4)y2f(r(3),2)z20，,r(3)x2f(r(3),2)z20，)故可取n2(1，eq r(3)，2)从而法向量n

23、1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(r(15),5)，故所求二面角APMC的正弦值为eq f(r(10),5).1若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析：若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a、b、c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底。 【答案】C2在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：(eq o(A1D1,sup10()eq o(A1

24、A,sup10()eq o(AB,sup10()； (eq o(BC,sup10()eq o(BB1,sup10()eq o(D1C1,sup10()；(eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()2eq o(DD1,sup10()； (eq o(B1D1,sup10()eq o(A1A,sup10()eq o(DD1,sup10()。其中能够化简为向量eq o(BD1,sup10()的是()A B C D【解析】(eq o(A1D1,sup10()eq o(A1A,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(AD1,sup10()eq o(AB,sup10()eq

25、o(BD1,sup10()；(eq o(BC,sup10()eq o(BB1,sup10()eq o(D1C1,sup10()eq o(BC1,sup10()eq o(D1C1,sup10()eq o(BD1,sup10()；(eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()2eq o(DD1,sup10()eq o(BD,sup10()2eq o(DD1,sup10()eq o(BD1,sup10()；(eq o(B1D1,sup10()eq o(A1A,sup10()eq o(DD1,sup10()eq o(B1D,sup10()eq o(DD1,sup10()eq o(B1D

26、1,sup10()eq o(BD1,sup10()，所以选A。 【答案】A3若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为eq f(8,9)，则等于()A2 B2C2或eq f(2,55) D2或eq f(2,55)【解析】由已知得eq f(8,9)eq f(ab,|a|b|)eq f(24,r(52)r(9)，8eq r(52)3(6)，解得2或eq f(2,55)。 【答案】C4平行六面体ABCDABCD中，若eq o(AC,sup10()xeq o(AB,sup10()2yeq o(BC,sup10()3zeq o(CC,sup10()，则xyz()A1 B.eq f(7,

27、6)C.eq f(5,6) D.eq f(2,3)【解析】eq o(AC,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(CC,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(CC,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(CC,sup10()xeq o(AB,sup10()2yeq o(BC,sup10()3zeq o(CC,sup10()，故x1，yeq f(1,2)，zeq f(1,3)，xyz1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(7,6)。 【答案】B5已知直线AB、CD是异面直线，ACCD，

28、BDCD，且AB2，CD1，则异面直线AB与CD夹角的大小为()A30 B45C60 D75【解析】coseq o(AB,sup10()，eq o(CD,sup10()eq f(o(AB,sup10()o(CD,sup10(),|o(AB,sup10()|o(CD,sup10()|)eq f(o(AC,sup10()o(CD,sup10()o(DB,sup10()o(CD,sup10(),21)eq f(o(CD,sup10()2,2)eq f(1,2)，eq o(AB,sup10()与eq o(CD,sup10()所成角为60。 【答案】C6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在e

29、q o(AC1,sup10()上且eq o(AM,sup10()eq f(1,2)eq o(MC1,sup10()，N为B1B的中点，则|eq o(MN,sup10()|为()A.eq f(r(21),6)a B.eq f(r(6),6)aC.eq f(r(15),6)a D.eq f(r(15),3)a【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq blc(rc)(avs4alco1(a，a，f(a,2)。设M(x，y，z)。点M在eq o(AC1,sup10()上且eq o(AM,sup10()eq f(1,2)eq o(MC1,su

30、p10()， (xa，y，z)eq f(1,2)(x，ay，az)，xeq f(2,3)a，yeq f(a,3)，zeq f(a,3)，得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(2a,3)，f(a,3)，f(a,3)，|eq o(MN,sup10()|eq r(blc(rc)(avs4alco1(af(2,3)a)2blc(rc)(avs4alco1(af(a,3)2blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)f(a,3)2)eq f(r(21),6)a。 【答案】A7如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若eq o(EF,sup10()(eq o(AB

31、,sup10()eq o(DC,sup10()，则_。eq f(1,2)。 【答案】eq f(1,2)8已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq o(QA,sup10()eq o(QB,sup10()最小时，点Q的坐标是_。【解析】设eq o(OQ,sup10()eq o(OP,sup10()(，2)，则eq o(QA,sup10()(1，2，32)，eq o(QB,sup10()(2，1，22)。eq o(QA,sup10()eq o(QB,sup10()(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106eq blc(rc)

32、(avs4alco1(f(4,3)2eq f(2,3)。当eq f(4,3)时，eq o(QA,sup10()eq o(QB,sup10()取得最小值eq f(2,3)，此时eq o(OQ,sup10()eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3)。点Q的坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3)。【答案】eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3)9在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出四个命题：(eq o(A1A,sup10()eq o(A1D1,sup10()e

33、q o(A1B1,sup10()23(eq o(A1B1,sup10()2；eq o(A1C,sup10()(eq o(A1B1,sup10()eq o(A1A,sup10()0；eq o(AD1,sup10()与eq o(A1B,sup10()的夹角为60；此正方体的体积为|eq o(AB,sup10()eq o(AA1,sup10()eq o(AD,sup10()|。则正确命题的序号是_(填写所有正确命题的序号)。eq o(AB,sup10()eq o(AA1,sup10()0，正确的应是|eq o(AB,sup10()|eq o(AA1,sup10()|eq o(AD,sup10()|。 【答案】10如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设eq o(AA1,sup10()a，eq o(AB,sup10()b，eq o(AD,sup10()c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq o(AP,sup10()；(2)eq o(A1N,sup10()；(3)eq o(MP,sup10()eq o(NC1,sup10()。【解析】(1)P是C1D1的中点，eq o(AP,sup10()eq o(AA1,sup1