三角函数变换的技巧与方法

1、21+三角函数变换的方法与技巧(1)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：u=(u+B)，；2tt(u+B)+(a，)；a2a，(a，)+a；a2等等。2例1、已知tan(a+)ntan(a),n1，求证:sin2sin2an一1n+121+分析：在条件中的角a+和a-与求证结论中的角2a,2卩是有联系的，可以考虑配凑角。解：2(a+)-(a，)，2a(a+)+(a，)，sin2sin(a+)一(a，)sin2asin(a+)+(a，)

2、sin(a+)cos(a，)一cos(a+)sin(a，)sin(a+)cos(a，)+cos(a+)sin(a，)tan(a+)_tan(a_)tan(a+)+tan(a，)ntan(a)，tan(a)n，1ntan(a)+tan(a)n+1二、函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。兀(a4)，试用k表sin2a+sin2a例2、(2001年上海春季高题)已知

3、k1+tana示sina，cosa的值。分析：将已知条件“切化弦转化为sina,cosa的等式。解：由已知2sin2a+sin2a1+tana2sina(sina+cosa)2sinacosak；sina21+21+cosaa,cosx42sinacos=(sina一cosa)2=1一2sinacosa=1一k。三、常数的变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：1=sin2a+cos2a=sec2atan2a=csc2acot2a,1=sin900=sin450,=seca-cosa,1=cscasina等等。sin4x+cos4x+sin2xco

4、s2x,例3、(2004年全国咼考题)求函数f(x)=的取小正周一sin2x期，最大值和最小值。分析：由所给的式子sin4x+cos4x+sin2xcos2x可联想到1=(sin2x+cos2x)2。sin4x+cos4x+sin2xcos2x解:f(x)=2一sin2x1一sin2xcos?x2(1一sinxcosx)1.1=sin2x+。4231所以函数f(x)的最小正周期是，最大值为3，最小值为-。44四、公式的变形与逆用在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式

5、，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由sin2a_sin2a亠snasin2a=2sinacosa可以变通为cosa=与cosa=；由tana=可sinasinacosa变形为sina=tanacosa等等。例4、求(3tan120-3)csc120的值。4cos2120一2分析：先看角，都是120，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。sin1201一3-cos120120解：原式=丿(切割化弦)4cos120一2sin120一3cos1202sin120cos120(2cos2120一1)213（逆用二倍角公式）3(sin120一cos120)22sin240c

6、os240sin240cos2403伽120COS60一沁l20sin60)(常数变换)（逆用差角公式）3sin(12o60o)2sin240cos24043血（一48=43（逆用二倍角公式）。sin480这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。三角函数变换的方法与技巧（2）在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们再介绍四种变换的方法与技巧：五、引入辅助角asinx,bcosx可化为a2,b2sin（x,）,这里辅助角q所在的象限由a,b的符号b确定，q角的值由tanq=确定

7、。a例5、求y=5cos2x-6sin2x,20sinx-30cosx,7的最大值与最小值。分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。解：y=（9cos2x一12sinxcosx,4sin2x）,20sinx一30cosx,3=(3cosx2sinx)2,10(2sinx3cosx),3=(3cosx2sinx,5)222=(2sinx3cosx,5)222=13sin(xq)+5222其中，3tanq=，2当sin(xq)=1时，y=(13+5)222=16+1013；max当sin(xq)=1时，y=(1

8、3+5)222=161013。min注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。六、幂的变换降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。1COS21+COS2.吊用的降幂公式有：sin2，,cos2，和1，sin2+cos222，sec2tan2，csc2-cot2等等。降幕并非绝对，有时也需要升幕，如对于无理式1+cos常用升幕化为有理式。例6、化简sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。2分析：从“幕”入手，利用降幕公式。解：原式1，(1一cos2)(1一cos42)+(1+cos2)(1+cos2)41cos2c

9、os221,_(14(1+cos2cos2卩)一21cos2cos22cos2一cos2+cos2cos2)+(1+cos2+cos2+cos2cos2)42丄一cos2cos2七、消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例7、求函数y，2一sinx的最值。2一cosx解：原函数可变形为：sinx-ycosx，2-2y，即sin(x一)，2-2y，1+y21sin(x一)l122y11+y24+747解得：y，,ymax3min3八、变换结构在三角变换中，吊吊对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。例8、化简1血xcosx。1sinxcosx分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。解：1sinx-cosx，1一cosxsinxx二2sin22sinxxcos222x(sinxx，2sin-cos-)222xxx1sinxcosx，1cosxsinx，2cos22sincos222TOC o 1-5 h zx.xx，2cos(sincos)2221sinx一cosxx所以，tan1sinxcosx2九、思路变化对于一