2022年三角函数解三角形知识点总结例题剖析

1、三角函数 +解三角形学问点总结例题剖析三角函数5、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是 6、弧度制与角度制的换算公式：27、如扇形的圆心角为 lr 360,1180,为弧度制,半径为 就 lr ,C2rl ；r ,弧长为 l ,周长为 C,面积为 S,是一个任意大小的角,的终边上任意一点 11Slrr2 8、设 22 的坐标是 x,y ,它与原点的距离是 rrx2y20 ,就 sinyxy ,cos,tanx0 rrx9 、三角函数在 各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正；第三象限正切为正,第四象限余弦为正11、角三角函 数的基本关系：1sin2cos2

2、12sintancossin21cos2,cos21sin2；sinsintancos,cos12、函数的诱导公式：tan1sin2ksin, cos2kcos , tan2ktank2sinsin,coscos ,tantan 3sinsin,coscos ,tantan 4sinsin,coscos ,tantan 口诀：函数名称不变,符号看象限5sin cos,cossin 6sincos ,cossin 2222 口诀：正弦与余弦互换,符号看象限13、的图象上全部点向左平移上全部点的横坐标伸长到原先的1 个单位长度,得到函数ysinx 的图象；再将函数 ysinx 的图象再将函数 ys

3、inxysinx 的图象；倍,得到函数的图象上全部点的纵坐标伸长到原先的倍,得到函数14、函数ysinx 的图象ysinx0,0 的性质：2振幅：；周期：；频率：初相：f12 ；相位： x；15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：1 性 质函数 ysinx ycosx ytanx 图象定义域值域 R R xxk,k 2R 1,1 当 x2k1,1 当 x2kk 时,2k 时,2 最值 ymax1 ；当 x2k 小值 k 时,ymin1周期性ymax1；当 x2k 既无最大值也无最 奇偶性 2 奇函数 k 时,ymin1 2 偶函数 奇函数 在 2k,2k 22k 上是增函数；在 单调性

4、 在2k,2kk 上是增函数；在 2k,2k 在 k,k 223 2k,2k22k 上是减函数 k 上是增函数 k 上是减函数对称中心 k,0k 对称性 对称轴 xk2k 对称中心 k,0k 2 对称轴 xkk k 对称中心,0k 2 无对称轴余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角, 求其余的量；已知三边求角）11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式b、c 是 C 的角、 C 的对边,设a、就：如abc,就C90；如 abc,就 C90 2 222222 abc222如 abc,就 C902. ABC中,cosAcosBcosC,就

5、ABC肯定是A 直角三角形B 钝角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 2B60b3. ABC中, ac,就 ABC肯定是A 锐角三角形B 钝角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形三角恒等变换和解三角形基本学问回忆 的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：令 sinsincoscossinsin22sincos 1 、两角和与差coscoscos tan 令 sinsincos2cos2sin2 2cos2112sin2tantan1+cos2 cos21tantan21cos2 sin2 22tan tan21tan237sin coscos sin 525 例：已知,那么 cos2 的值为 _；

6、2. 三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的基本思 路是：一角二名三结构； 即第一观看角与角 之间的关系,留意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！其次看函数名称之间的关系,通常“ 切化弦” ；第三观看代 数式的结构特点；基本的技巧有 : 巧变角,正余弦“ 三兄妹sinxcosx 、系“ 知一求二” ,例已知 tan 321 ,tan ,那么 tan 的值是 _；225444 例求值 sin5013tan10；1sincos21,tan ,求 tan2 的值81cos2353xR 的单调递增区间为_ 例函数fx5sinxcosx53cos2x25,kkZ） 例 如 sinxcosxt

7、, 就sinxcosx _ 如0,sincos1,求 tan 的值； 3、帮助角公式中帮助角的确定：23basinxbcosxa2b2sinx其中角所在的象限a, b的符号确定,角的值tan 确定 a 例已知3 在求最值、化简时起着重要作用；变式训练 1：在 ABC中,角 A、B 、C满意 4sin2 的度数 . 解 在 ABC中,A+B+C=180 , 4sin2 得 4 7AC-cos2B=, 227AC- cos2B=, 求角 B221cosAC7-2cos2B+1=, 22 所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是 cosB=,B=60 . 20XX 四川 已知 cos 求 tan

8、2的值 . 求. 【解题思路】同角关系求出 范畴定角；tan 再求 tan2 ；又结合角的2112 解析 cos,0 ,得 sin1cos143 727712113,cos , 且0, 2714tansin43724383 43,于 是tan22tan22cos711tan1434702,得 02 2133313 又 cos, sin1cos21 141414 得： coscos 11343331.20XX 山东卷理 本 coscossinsin, 所以变式训练 3：37147142 小题满分 12 分 设函数 fx=cos2x+1 2 2+sinx. 31c1,f ,且 C为锐角,求 sin

9、A. 解: 324 求函数 fx 的最大值和最小正周期 . 设 A,B,C 为 ABC的三个内角,如 cosB= fx=cos2x+ 1cos2x132+sinx.=cos2xcossin2xsinsin2x 33322213,最小正周期 . 2 所以函数 fx的最大值为f = C 为锐角 , c21133sinC= , 所以sinC, 由于所以 C, 432224 又由于在 ABC 中, cosB= 123,所以, 所以sinB33sinAsinBCsinBcosCcosBsinC 设函数 fx=2sinxcos 求. 的值 ; 文 本小题满分 12 分22113223.变式训 练5 ：20

10、XX山东卷2323262cosxsinsinx0 在 ABC中,a,b,c在 x 处取最小值 . 分别是角 A,B,C 的对边 , 已知 a1,b 解: fx2sinx2,fA3,求角C. 21coscosxsinsinx 2sinxsinxcoscosxsinsinx sinxcoscosxsin sinx 由于函数fx在 x 处取最小值,所以sin 1,诱导公式知 sin1, 由于 0, 所以所以 fxsinx2. 2cosx 由于 fA33, 所以 cosA, 由于角 A为 ABC的内角 , 所以 A.又由于 a1,b2, 所以 622 正弦定理 , 得 abbsinA12, 也就是 s

11、inB, 2sinAsinBa223. 44373. 当 B 时,C; 当 B 时,C4464126412 由于 ba, 所以 B 或 B【命题立意】 : 此题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质, 并利用正弦定理解得三角形中的边角. 留意此题中的两种情形都符合. 变式训练六： 20XX全国卷理）在ABC中,内角 A、B、C的对边长分别为 a、b、c,已知 ac2b,且 sinAcosC3cosAsinC, 求 b 解法一：在 ABC中22sinAcosC3cosAsinC,就正弦定理及余弦定理a2b2c2b2c2a23c, 化简并整理得：2a2c2b2.又已知

12、a2c22b4bb2. 解得有 :a2ab2bc. 6 三角函数 b4 或 b0 舍） 5 5、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是 6、弧度制与角度制的换算公式：27、如扇形的圆心角为 lr 360,1180,为弧度制,半径为 就 lr ,C2rl ；r ,弧长为 l ,周长为 C,面积为 S,是一个任意大小的角,的终边上任意一点 11Slrr2 8、设 22 的坐标是 x,y ,它与原点的距离是 rrx2y20 ,就 sinyxy ,cos,tanx0 rrx9 、三角函数在 各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正；第三象限正切为正,第四象限余弦为正1

13、1、角三角函 数的基本关系：1sin2cos212sintancossin21cos2,cos21sin2；sinsintancos,cos12、函数的诱导公式：tan1sin2ksin, cos2kcos , tan2ktank2sinsin,coscos ,tantan 3sinsin,coscos ,tantan 4sinsin,coscos ,tantan 口诀：函数名称不变,符号看象限5sin cos,cossin 6sincos ,cossin 2222 口诀：正弦与余弦互换,符号看象限13、的图象上全部点向左平移上全部点的横坐标伸长到原先的1 个单位长度,得到函数ysinx 的图

14、象；再将函数 ysinx 的图象再将函数 ysinxysinx 的图象；倍,得到函数的图象上全部点的纵坐标伸长到原先的倍,得到函数14、函数ysinx 的图象ysinx0,0 的性质：2振幅：；周期：；频率：初相：f12 ；相位： x；15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：1 性 质函数 ysinx ycosx ytanx 图象定义域值域 R R xxk,k 2R 1,1 当 x2k1,1 当 x2kk 时,2k 时,2 最值 ymax1 ；当 x2k 小值 k 时,ymin1周期性ymax1；当 x2k 既无最大值也无最 奇偶性 2 奇函数 k 时,ymin1 2 偶函数 奇函数

15、在 2k,2k 22k 上是增函数；在 单调性 在2k,2kk 上是增函数；在 2k,2k 在 k,k 223 2k,2k22k 上是减函数 k 上是增函数 k 上是减函数对称中心 k,0k 对称性 对称轴 xk2k 对称中心 k,0k 2 对称轴 xkk k 对称中心,0k 2 无对称轴余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角, 求其余的量；已知三边求角）11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式b、c 是 C 的角、 C 的对边,设a、就：如abc,就C90；如 abc,就 C90 2 222222 abc222如 abc,就 C90

16、2. ABC中,cosAcosBcosC,就 ABC肯定是A 直角三角形B 钝角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形2B60b3. ABC中, ac,就 ABC肯定是A 锐角三角形B 钝角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形三角恒等变换和解三角形基本学问回忆 的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：令 sinsincoscossinsin22sincos 1 、两角和与差coscoscos tan 令 sinsincos2cos2sin2 2cos2112sin2tantan1+cos2 cos21tantan21cos2 sin2 22tan tan21tan237sin coscos sin 5

17、25 例：已知,那么 cos2 的值为 _；2. 三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的基本思 路是：一角二名三结构； 即第一观看角与角 之间的关系,留意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！其次看函数名称之间的关系,通常“ 切化弦” ；第三观看代 数式的结构特点；基本的技巧有 : 巧变角,正余弦“ 三兄妹sinxcosx 、系“ 知一求二” ,例已知 tan 321 ,tan ,那么 tan 的值是 _；225444 例求值 sin5013tan10；1sincos21,tan ,求 tan2 的值81cos2353xR 的单调递增区间为_ 例函数fx5sinxcosx53cos2

18、x25,kkZ） 例 如 sinxcosxt, 就sinxcosx _ 如0,sincos1,求 tan 的值； 3、帮助角公式中帮助角的确定：23basinxbcosxa2b2sinx其中角所在的象限a, b的符号确定,角的值tan 确定 a 例已知3 在求最值、化简时起着重要作用；变式训练 1：在 ABC中,角 A、B 、C满意 4sin2 的度数 . 解 在 ABC中,A+B+C=180 , 4sin2 得 4 7AC-cos2B=, 227AC- cos2B=, 求角 B221cosAC7-2cos2B+1=, 22 所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是 cosB=,B=60

19、. 20XX 四川 已知 cos 求 tan2的值 . 求. 【解题思路】同角关系求出 范畴定角；tan 再求 tan2 ；又结合角的2112 解析 cos,0 ,得 sin1cos143 727712113,cos , 且0, 2714tansin43724383 43,于 是tan22tan22cos711tan1434702,得 02 2133313 又 cos, sin1cos21 141414 得： coscos 11343331.20XX 山东卷理 本 coscossinsin, 所以变式训练 3：37147142 小题满分 12 分 设函数 fx=cos2x+1 2 2+sinx. 31c1,f ,且 C为锐角,求 sinA. 解: 324 求 函数 fx 的最大值和最小正周期 . 设 A,B,C 为 ABC的三个内 角,如 cosB= fx=cos2x+ 1cos2x132+sinx.=cos2xcossin2xsinsin2x 33322213,最小正周期 . 2 所以函数 fx的最大值为f = C 为锐角 , c21133sinC= , 所以sinC, 由于所以 C, 432224 又由于在 ABC 中, cosB= 123,所以, 所以sinB33sinAsinBCsinBcosCcosBsinC 设函数 fx=2sinxcos 求. 的值 ; 文 本小题