4.2.1等差数列的概念（2）课件-山东省滕州市第一中学高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1、4.2.1等差数列的概念（2）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的通项公式等差数列定义复习引入如果一个数列那么，是等差数列，它的公差是d，推导等差数列通项公式的方法叫做 法.累加 每一项与它前一项的差 等差数列 如果一个数列从第2项起，等于同一个常数. . . . .【说明】数列 an 为等差数列 ；an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an公差是 的常数； 唯一an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.复习引入(1)等差数列8，5，2，的第20

2、项是 ；(2)等差数列-5，-9，-13，的第 项是-401；(3)已知an为等差数列，若a1=3，d= ，an=21，则n = ；(4)已知an为等差数列，若a10= ，d= ，则a3= .-4910013复习引入典型例题例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列an.由题意可知，10年之内（含10年）,这台设备的价值应不小于（2205%=)1

3、1万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用an的通项公式列不等式求解。典型例题例2.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=8,在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2) b29是不是数列an的项？若是,它是an的第几项？若不是，说明理由.分析：(1) an是一个确定的数列，只要把a1,a2表示为bn中的项， 就可以利等差数列的定义得出bn的通项公式；解：(1)设数列bn的公差为d.由题意可知，b1=a1,b5=a2,于是b5-b1=a2-a1=8. 因为b5-b1=4d,所以4d =8,所以d =2.

4、所以bn2+(n-1)2=2n(2)数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13.项，这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列cn则cn =4n-3. 令4n-3=29,解得n=8.所以，b29是数列an的第8项.所以，数列bn的通项公式是bn2n.你还有其他解决方法吗？(2) 设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.法2：由b29=an得8n-6=58解得n=8.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间还有10级，各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽.用 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，解：由已知条件

5、，有由通项公式，得代入解得d=7则巩固练习典型例题分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证。证明：设数列an的公差为d,则ap =a1+(p-1)d, aq =a1+(q-1)d, as =a1+(s-1)d, at =a1+(t-1)d.所以ap + aq =2a1+(p+q-2)d, as + at =2a1+(s+t-2)d.因为p+q=s+t,所以ap + aq = as + at.等差数列的基本性质： 在等差数列an中，若p+q=s+t，则 ap+aq=as+at【说明】上面命题的逆命题是不一定成立的； 上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a

6、1+a2=a3？ 推广的通项公式 (n-m)d在等差数列an中，若m+n=2p，则am+an=2ap总结结论例4.在等差数列an中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap=q，aq=p (pq)，求ap+q； (3) 若a12=23，a42=143， an=263，求n.d=2,a101=154d= -1,ap+q=0d= 4,n=72典型例题等差中项 三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b、c成等差数列,则_b与a的等差中项是即a、b的算术平均数.2b=a+ca,a+d,a+2d或 a-d, a, a+d例5(1) 已知a,b,c成等差数列,求证: ab-c2

7、，ca-b2，bc-a2也成等差数列；(2)三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的积为12 ,求此三数.典型例题例6.在等差数列an中(1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20= ；(2)a3+a11=10，则a6+a7+a8= ；(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187, 求 a14及公差d.典型例题1017例7.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数. 典型例题300 5001.等差数列an的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1 C.- D.A2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10= .(-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1)