9.3.2等比数列的前n项和

1、知识体系构建专题归纳整合专题 一数列通项公式的求法数列的通项公式是表示数列的主要方式，其本质就是函数的解析式围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和求数列的通项公式是数列的核心问题之一下面介绍几种常用的求法1观察归纳法观察归纳法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式例1 2公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式来表示 已知数列an为无穷数列，若an1

2、an12an(n2且nN*)，且a24，a68，求通项an.【解】an1an12an，an1，an，an1成等差数列又n2且nN*，数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d，例2 (1)数列an的前n项和Sn(1)n1n,求an；(2)数列an的前n项和Sn32n，求an.【解】(1)当n2时，anSnSn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n(12n)，当n1时，a1S1(1)211，上式中a1(1)1(12)1.例34叠加法、叠乘法有些数列，虽然不是等差数列或等比数列，但是它的后项与前项的差或商具有一定的规律性这时，可考虑利用叠加或叠乘法，结合等差、等比数列的知识解决例4 已知数列an满

3、足an1an3n2且a12，求an.【解】a2a1312，a3a2322，a4a3332，anan13(n1)2，以上各式相加，得例55构造法形如：已知a1，an1panq(p、q为常数)形式均可用构造等比数列法，即an1xp(anx)，anx为等比数列，或an2an1p(an1an)，an1an为等比数列 已知数列an满足an13an2(nN*)，a11.求通项公式例6【解】 an13an2可变为an113(an1),令bnan1，则bn13bn且b1a112，bn是以2为首项，以3为公比的等比数列.bn23n1，anbn123n11.专题 二数列求和求数列的前n项和Sn,通常要掌握以下方法

4、：1公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q1的讨论2错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广3分组转化法：把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列再求解4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项5倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)例7专题 三等差、等比数列性质的运用1an为等差数列，则有ana1(n1)dam(nm)d.若mnpq，则amanapaq.2an为等比数列，则有ana1qn1amqnm，若mnpq，则amanapaq

5、.例8【答案】A 设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BY(YX)Z(ZX)CY2XZ DY(YX)X(ZX)例9【解析】等比数列中有Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，故有X(ZY)(YX)2，两边展开有XZXYY22XYX2，即XZY2XYX2，移项有：Y2XYX2XZ，提取公因式，得Y(YX)X(ZX)，故选D.【答案】D解决此类问题一般都不能直接套用公式，需对题目中的已知条件进行变形，使之符合等差或等比数列的形式，才可以使用等差或等比数列的公式和性质专题 四数列知识的综合问题例10专题集训2若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列 D公差为9的等差数列解析：选C.设数列an的公差为d，则由题意知，d1，设cna2n12a2n，则cn1a2n12a2n2，cn1cna2n12a2n2a2n