新高考艺术生数学基础复习讲义 考点18 排列组合（教师版含解析）

1、29/29考点18 排列组合知识理解一计数原理(一)分类加法计数原理1.概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2.特征(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的(二)分步乘法计数原理1.概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2.特征(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成

2、这件事(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏二排列、组合(一)排列组合定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(二)排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同组合的个数公式Aeq oal(m,n)n(n1)(n2)(nm1)eq f(n！,nm！)Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,

3、m)性质Aeq oal(n,n)n！，0！1Ceq oal(0,n)1，Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)，Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n)Ceq oal(m,n1)考向分析考向一 排列组合数的计数【例1】(1)(2020全国高三专题练习)若，则的值为( )A60B70C120D140(2)(2020全国高三专题练习)已知，则( )A11B12C13D14【答案】(1)D(2)B【解析】(1)，解得或(舍去)，.故选：D.(2)，整理，得，；解得，或 (不合题意，舍去)；的值为12.故选：B.【举一反三】1(2020全国高三专题练习)已知，则( )A5B7C1

4、0D14【答案】B【解析】，可得，即，解得.故选：.2(2020吉林油田第十一中学高三月考)若，则( )A8B7C6D5【答案】D【解析】因为，所以所以即，即解得故选：D3(2020全国高三专题练习)已知,则()ABC或3D【答案】C【解析】当时成立；当时也成立；故选C.考向二 排队问题【例2】(2020全国高三专题练习)3名女生和5名男生排成一排(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(4)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？【答案】(1)4320；(2)14400；(3)20160；(4)309

5、60.【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法，因此，共有种不同排法；(2)(插空法)先排5名男生，有种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有种不同排法；(3)8名学生的所有排列共种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为；(4)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置，法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种不同排法，甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中

6、的任一个上，有种，其余人全排列，共有种不同排法，由分类加法计数原理知，共有种不同排法；法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有种排法，余下7个位置全排，有种排法，但应剔除乙在最右边时的排法种，因此共有种排法；法三(间接法)：8名学生全排列，共种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法，因此共有种排法【方法总结】排列问题常用方法直接法：把符合条件的排列数直接列式计算优先法：优先安排特殊元素或特殊位置3.捆绑法：相邻问题采取“捆绑法”即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列4.插空

7、法：不相邻问题采取“插空法”即对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中5.定序除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列6.间接法：正难则反、等价转化的方法【举一反三】1(2021河北张家口市高三期末)某班优秀学习小组有甲乙丙丁戊共5人，他们排成一排照相，则甲乙二人相邻的排法种数为( )A24B36C48D60【答案】C【解析】先安排甲乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为.故选：C2(2020上海高三专题练习)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A144B1

8、20C72D24【答案】D【解析】先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种3(2020全国高三专题练习)甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( )A72种B144种C360种D720种【答案】B【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有种.故选：B.4(2020江苏南通市高三月考)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书

9、”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为_【答案】192【解析】(1)当“乐”课程排在第2，5，6周时，；(2)当“乐”课程排在第3或4周时，所有可能的排法种数为192.5.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻【答案】(1)2520种 (2)5040种 (3)3600种(4)576种(5)1440种【解析】(1)从7人

10、中选5人排列，有Aeq oal(5,7)765432 520(种)(2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq oal(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq oal(4,4)种方法，共有Aeq oal(3,7)Aeq oal(4,4)5 040(种)(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq oal(6,6)种排列方法，共有5Aeq oal(6,6)3 600(种)法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有Aeq oal(2,6)种排法，其他有Aeq oal(5,5)种排法，共有Aeq oal(2,6)Aeq oal(5,5)3 600(种)(4)(捆绑

11、法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有Aeq oal(4,4)种方法，再将女生全排列，有Aeq oal(4,4)种方法，共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(4,4)576(种)(5)(插空法)先排女生，有Aeq oal(4,4)种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有Aeq oal(3,5)种方法，共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(3,5)1 440(种)考向三 排数问题【例3】(2020全国高三专题练习)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排

12、列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？【答案】(1)648；(2)156；(3)2296；(4)1140；(5)1013【解析】(1)由题意，无重复的三位数共有个；(2)当百位为1时，共有个数；当百位为2时，共有个数；当百位为3时，共有个数，所以315是第个数；(3)无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有个数；当个

13、位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，所以无重复的四位偶数共有个数；(4)当选出的偶数为0时，共有个数，当选出的偶数不为0时，共有个数，所以这样的四位数共有个数；(5)当挑出两个数时，渐减数共有个，当挑出三个数时，渐减数共有个，当挑出十个数时，渐减数共有个，所以这样的数共有个.【举一反三】1(2021湖南株洲市高三一模)由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是( )A24B12C10D6【答案】C【解析】当个位数是0时，有个，当个位数是5时，有个，所以能被5整除的个数是10，故选：C2(2020全国高三专题练习)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位

14、数，其中比40000大的偶数共有( )A144个B120个C96个D72个【答案】B【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有324=72个；首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有224=48个.共有72+48=120个故选：B3(2020龙港市第二高级中学高三开学考试)用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有_.【答案】7

15、2【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有个；三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有个；故符合条件的有；故答案为：4(2020浙江金华市高三其他模拟)用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为_.【答案】【解析】1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数的个数共有个其中1，2相邻的六位数的个数共有个5，0相邻的六位数的个数共有个1和2相邻且5和0相邻的六位数的

16、个数共有个即满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为故答案为：考向四 染色问题【例4】(2020安徽省六安中学)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为( )A360B400C420D480【答案】C【解析】根据题意，5个区域依次为A、B、C、D、E, 如图，分4步进行分析：对于区域A，有5种颜色可选，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色

17、可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,则不同的涂色方案有种;故选：C【举一反三】1(2020江苏高三专题练习)有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有_.【答案】4320【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理.2(2020江苏)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_种不同的涂色方法.(用数字回

18、答)【答案】240【解析】从开始涂色，有4种方法，有3种方法，若与涂色相同，则共有种涂色方法；若与涂色不相同，则有2种涂色方法，当涂色相同时，有3种涂色方法；当涂色不相同时，有2种涂法，有2种涂色方法.共有种涂色方法.故答案为：240.3(2020四川省眉山车城中学)西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有_种涂色方法【答案】420【解析】对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；根据分步、分类计数

19、原理，则共有543(22+13)420种方法故答案为420.4(2020全国高三专题练习)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有_种.(用数字作答)【答案】120【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；所以共有种栽种方法.故答案为：120考向五 分组分配问题【例5】按下列要求分配6本不同的书,各有多少

20、种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【答案】(1)60；(2)360；(3)15；(4)90；(5)15；(6)90.【解析】(1)先从6本书中选1本，有种分配方法；再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法剩余的就是2本书，有种分配方法所以总共有种分配方法(2)由(1)可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有种(3)从6本书中选择

21、2本书，有种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；剩余的就是2本书，有种分配方法;所以有种分配方法但是，该过程有重复假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是则所有情况为，所以分配方式共有种(4)由(3)可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为种(5)从6本书中选4本书的方法有种从剩余2本书中选1本书有种因为在最后两本书选择中发生重复了 所以总共有种(6)由(5)可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即种【方法总结】分组、分配问题1对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除

22、以Aeq oal(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数2对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”【举一反三】1(2020全国高三专题练习)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为_【答案】【解析】将这张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有种分组办法，再分给人的不同分法有种故答案为：2(2021全

23、国高三专题练习)在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有_种(用数字作答)；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为_.【答案】625 【解析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有种；若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程，其中一人独自选一科，另外三人选一科，共有不同的选报方案种，其中两人选一科，另外两人选另一科，共有不同的选报方案种，则这四位同学恰好同时选报了其

24、中的两门课程的概率为故答案为：3.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为 。【答案】1500【解析】分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共Ceq oal(3,5)种情况；第二步：5位教师分成两类：选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共eq f(Coal(3,5)Coal(1,2)Coal(1,1),Aoal(2,2)种情况；选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共eq f(Coal(2,5)Coal(2,3)Coa

25、l(1,1),Aoal(2,2)种情况.故选择情况数为Ceq oal(3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(Coal(3,5)Coal(1,2)Coal(1,1),Aoal(2,2)f(Coal(2,5)Coal(2,3)Coal(1,1),Aoal(2,2)Aeq oal(3,3)1 500(种).4(2019河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛

26、机”工作，则不同的安排方案数共有 【答案】126【解析】根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq oal(1,3)种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有eq f(Coal(2,4)Coal(1,2),Aoal(2,2)Aeq oal(3,3)种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq oal(1,3)eq f(Coal(2,4)Coal(1,2),Aoal(2,2)Aeq oal(3,3)种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有Ceq oal(2,3)Aeq o

27、al(3,3)种方法故满足题意的不同安排方案数共有Ceq oal(1,3)eq f(Coal(2,4)Coal(1,2),Aoal(2,2)Aeq oal(3,3)Ceq oal(2,3)Aeq oal(3,3)10818126.5冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有_种【答案】150【解析】5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有eq blc(rc)(avs4alco1(f(Coal(3,5

28、)Coal(1,2),2)f(Coal(1,5)Coal(2,4),2)Aeq oal(3,3)150(种)强化练习一、单选题1(2020全国高三其他模拟)十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物甲同学喜欢马、牛、乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是( )ABCD【答案】A【解析】依题意可分类：甲同学选马，则有种情况符合要求；甲同学选牛，则有种情况符合要求；三位

29、同学抽取礼物的所有情况有种，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率故选：A.2(2020吉林油田第十一中学高三月考)从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法( )A24B20C10D9【答案】B【解析】依题意从5名同学中选出正、副组长各一名，则有种方法故选：B3(2020贵州毕节市贵阳一中高三月考)6位同学参加校运动会650m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力赛的顺序有( )种A360B240C120D60【答案】B【解析】甲、乙两位同学要相邻，一共为种.故选：B4(2020深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考)把座位号为、的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁

30、四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为( )ABCD【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号、的五个空位插3个板子，有种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有种，所以不同的分法种数为,故选：B5(2020渝中区重庆巴蜀中学高三月考)在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种.A12B14C16D18【答案】B【解析】甲在2道的安排方法有：种；甲不在2道，则

31、甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.故选B.6(2020全国高三其他模拟)高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为( )A4B8C16D24【答案】B【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有(种)，故选：B.7(2020全国高三专题练习)在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲乙丙丁戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有( )A8

32、种B12种C20种D24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，当甲排在第二位时，共有种发言顺序，所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.8(2020全国高三专题练习)将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为( )A10B12C14D24【答案】C【解析】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：甲分配到班：有种分配方案；甲不分配到班：有种分配方案；由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.故选：.9(2020全国高三专题练习)琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器

33、被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为( )ABCD【答案】B【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为所以所求的概率，故选：B10(2020全国高三专题练习)电影夺冠讲述中国女排姑娘们顽

34、强奋斗为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在夺冠，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是( )A8B12C16D20【答案】C【解析】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故.故选：C.11(2020全国高三专题练习)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )A72种B144

35、种C288种D360种【答案】B【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.12(2020浙江高三专题练习)电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为( )A40B36C32D20【答案】A【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种.故选：

36、A.13(2020全国高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ).A444种B1776种C1440种D1560种【答案】B【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有(种).对语文、外语排课进行分类，第

37、1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有(种)；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有(种)，语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有(种)，其他三科可以全排列，有(种).综上，共有(种).故选：B14(2020全国高三专题练习)如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )A种B种C种D种【答案】C【解析】先涂

38、三棱锥的三个侧面，有种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有种情况，共有种不同的涂法故选：C15(2020江苏南通市高三期中)重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )A35B40C50D70【答案】C【解析】解：6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为,故选：C16(2020南通西藏民族中学高三期中)从，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( )A种B种C种D种【答案】C

39、【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为，和的最大值为，所以当从，中任取三个数相加时，则不同结果有种故选：C.17(2020全国高三专题练习)将编号为、的个小球全部放入、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有( )ABCD【答案】A【解析】将编号为、的个小球，根据小球的个数可分为、或、两组.当三个盒子中的小球个数分别为、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故个小球的编号只能是、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；当三个盒子中的小球个数分别为、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放个小

40、球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种.故选：A.18(2020河北高三月考)特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有( )A24B14C12D8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.故选：C.19(2020全国高三专题练习)从这9个数字中，选

41、取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有( )A30240B60480C15120D630【答案】A【解析】在这9个数字中选取4个数字，共有种，在4个数字中取1个数字出现两遍，共有种，在五位数中取两个位置放置重复数字，共有种，剩下三个数字共有种排列方式，故共有，故选：A.20(2021全国高三专题练习)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A120种B90种C60种D30种【答案】C【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场

42、馆.故不同的安排方法共有种.故选：C21(2021全国高三专题练习)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )ABCD【答案】D【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是故选D二、多选题22(2020全国高三专题练习)下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是( )ABCD【答案】ABD【解析】对于A，故A正确；对于B，所以所以，故B正确；对于C，故C错误；对于D，故D正确；故选：ABD23(2021山东高三专题练习)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“

43、礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则( )A某学生从中选3门，共有30种选法B课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】CD【解析】6门中选3门共有种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确故选：CD三、填空题24(2020全国高三专题练习)将6本不同的书分给甲、乙、丙3

44、名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有_种不同的分法【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生先选1本，有种选法；再从余下的5本中选2本，有种选法；最后余下3本全选，有种选法故共有种选法由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有种分配方法.故答案为: 360.25(2021全国高三专题练习)新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有_种.(用数字作答)【答案】【解析】根据题意，从6名男医生(含

45、一名主任医师)4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，共有种选派方案，如果所选的男女主任都没有参加，共有种选派方案，所以至少有一名主任医师参加有种，故答案为：.26(2020金华市曙光学校)已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有_【答案】【解析】不管怎么排都能满足白颜色汽车至少2辆停在一起，所以分两步：第一步，将5辆白色汽车全排列，有种；第二步，3辆红色汽车插孔，有种；由分步计数原理得共有种，故答案为：27(2020福建厦门市厦门双十中学高三月考)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技

46、艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为_【答案】【解析】由题意知基本事件总数，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排： “数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，故有种，“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，

47、有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，则有种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有种情况，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为.故答案为：.28(2020天津红桥区高三期中)某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_种. (用数字作答)【答案】14【解析】当体育课在最后一节时，此时另外节课可在其余位置任意排列，故有种排法；当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第节或第节，故有种排法，所以一共有：种排法，故答案为：.29(2020北京市第十

48、三中学高三开学考试)学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为_.【答案】2【解析】满足题意的排列,3142，2413，只有两个故答案为：230(2020全国高三专题练习)在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_种(用数字回答).【答案】20【解析】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有种不同方法.故答案为：31(2020上海高三

49、专题练习)一个袋中装有同样大小、质量的个球，其中个红色、个蓝色、个黑色经过充分混合后，若从此袋中任意取出个球，则三种颜色的球均取到的概率为_【答案】【解析】10个球中任取4个共有(种)，三种颜色均取得有3种情形：(1)2个红色，1个蓝色和1个黑色，共有种，(2)1个红色，两个蓝色和1个黑色，共有种，(3)1个红色，1个蓝色和2个黑色，共有种，故三种颜色均取共有种，故所求的概率为.故答案为：.32(2020上海高三专题练习)甲和乙等名志愿者参加进博会四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有_种不同的参加方法(结果用数值表示).【答案】【解析】由题意得

50、，有且只有2人分到一组，然后再分到四个不同的岗位，则有种方法，甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有种，所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有种，故答案为：216.33(2020全国高三月考)武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动，在活动中他们会被随机分配到、三个社区.若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到社区，共有_种不同的分配方案.【答案】12【解析】根据题意有两种情况：一是甲单独分到社区，要求剩下三名党员教师分到、两个社区，有种分配方案，二是甲和一名教师作伴分到社区，有种分配方案，所以满足条件的分配方案有种，故答案为：.34(2020全国高三专题练习)已知甲、乙、丙

51、、丁4人同时到5个不同的地区参加扶贫活动，若每个地区最多有2人参加(2人到同一个地区，不区分2人在其中的角色)，则甲、乙、丙、丁4人参加扶贫活动的不同安排方式总数是_.【答案】540【解析】分情况讨论: 第一类，4个人去4个地方，有=120(种)安排方式；第二类，4个人去2个地区，有=60(种)安排方式；第三类，4个人去3个地区，有=360(种)安排方式.因此，符合题意的安排方式共有120+60+360=540(种).故答案为：540.35(2020上海黄浦区格致中学高三月考)为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，捐款捐物，某企业出资购买了两种不同型号的新型呼吸机各两台(同种型号呼吸机不加区分)，将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，则不同分配方案有_种【答案】6【解析】两种型号呼吸机的各挑一台为一组，因为同种型号呼吸机不加区分，所以只有1种组合，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，