解析几何三角形面积最值问题-解析版

1、、解答题解析几何三角形面积最值问题未命名1 . (2019黑龙江哈尔滨市 哈师大附中高三开学考试(文)已知A(0, 2),椭圆22-E：x2 yr 1(a b 0)的离心率,F a b2O为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的动直线l与椭圆E相交于P , 的方程.【答案】(1)乙匕1 ； (2) y X 822【解析】试题分析：(1)由离心率与斜率可求得a,b,c.(2)弦长公式，点到距离公式，求得三角形面积.试题解析：(1)设F c,0 ,由条件知，2 旦c 3又 c 立 a 2 .2, b2 2,a 2 HYPERLINK l bookmark56 o Current Docum

2、ent 22故椭圆E的方程为人L 1 ；82(2)当l X轴时，不合题意，故可设 l ： y kxy kx 2, HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 22x2 y21 4k x 16kx 8 0,1, HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 82 HYPERLINK l bookmark398 o Current Document 22116 4k2 10 k2 一,4设 P x1， , Q x2, y2 , HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 16k8x

3、1 x2 2 , x1 x2 2，14k14kE的右焦点，直线AF的斜率为 4 ,两点，当 OPQ的面积最大时，求直线l设l: y kx 2 ,与椭圆组方程组，由2,试卷第1页，总16页PQ| 41 k24x1x24、, 2.1 k2、.4k2 14k2 1又点O到直线l的距离d. OPQ 的面积 S OPQ1 PQ d24.2 . 4k2 14k2 1设4k24 ： 2tOPQ4.22t 2t当且仅当T2 即 k3时等号成立,2满足二时,2 OPQ的面积取得最大值 2,此时直线l的方程为,3y Tx弦长公式:（已知直线上的两点距离）设直线l ： y kx m , l上两点A Xi,yi,B

4、x2,y2 ,所以 AB #1 k2XiX2 或 AByy22x2. （2020江苏局二单兀测试）已知椭圆 C :a2 1(a b b2，一、10）的离心率为一，24.3,以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为（H）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为B ,当动点M在定直线x 4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于两点 P、Q,求四边形APBQ面积的最大值.试卷第2页，总16页22【答案】(i ) / y- 1； (n) 6.43【分析】1(I )由离心率为以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为22b c ,列方程组求得a,b的值，即可求出椭圆C的方程；(n)点M 4,t ,直线AM

5、的方程yt22-x 2代入椭圆方程土上 1,得643227 t222x 4t x24t 108 0,利用韦达定理解出P点坐标，同理可求得 Q点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为t的函数，利用换元法结合函数单调性由题设知，a 2c,2ab 473,又a2b2 c2 ,解得 a 2,b 石,c 1,故椭圆1.将直线由于对称性，可令点M 4,t ,其中t0.AM的方程y -6x 2代入椭圆方程1,得27 t2222x 4t x 4t108 0由 Xa XP2_4t 108，27 t2Xayp18t27 t2 .再将直线BM的方程y2Xx 2代入椭圆方程41,得3 t2 x2224t x 4

6、t120,由 XB XQ4t2 123 t22得%2t2 63 t26t2 .3 t故四边形APBQ的面积为S 1AB2ypyQ2 ypyQ218t 6t27 t2 3 t2试卷第3页，总16页48t 9 t227 t2 3 t248t 9 t222 r9 t212t2）482Z-9 t 12tt 9 t2,9 t2由于9- 6 ,且t48S从而，有S 1212在6,上单调递增，故128,当且仅当 6,即t 3,也就是点M的坐标为4,3时，四边形APBQ的面积取最大值6.注:本题也可先证明”动直线PQ恒过椭圆的右焦点F 0,1 ”再将直线PQ的方程 TOC o 1-5 h z HYPERLIN

7、K l bookmark243 o Current Document 22x ty 1 （这里t HYPERLINK l bookmark360 o Current Document x y一 22R）代入椭圆方程 匚1,整理得3t 4 y 6ty 9 0,然 HYPERLINK l bookmark179 o Current Document 432 48t 3t 3后给出面积表达式s 2 yP yQ2 J y y4yPyQ2J 2-，令Y 3t2 4m t2 1 1 , HYPERLINK l bookmark185 o Current Document mm6即 t 3 时，Smax 6

8、.则S 2%m2 6m 1 24J；一1 6,当且仅当9m 6 m3. (2020宁夏银川一中高二期中(理)22已知椭圆M : xy当a2b21 a b 0的一个2 TOC o 1-5 h z 焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点V2,3(1)求椭圆M的标准方程；(2)直线l: x ky n与椭圆M相交于A, B两点，且以线段 AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求ABC面积的最大值.x2c16【答案】(1) 土 y2 1 ； (2) -6. HYPERLINK l bookmark122 o Current Document 425【分析】2(1)首先根据题意得到 2b a

9、,再根据椭圆经过点 22,即可得到答案.试卷第4页，总16页x22(2)首先设直线1的方程为x ky n ,联立7 y 1,得到x ky nk2 4 y2 2kny n2 40 ,根据CA CB 60得到所以直线1恒过点D - 5计算.ABC面积的最大值即可【详解】(1)设椭圆的上下顶点为40,bB2 0, b2F左焦点为F1c,0 ,则ABiBaF是正三角形，所以2b , c2 b222则椭圆方程为当匕 1.4b b代入椭圆方程，可得212 T24b2 2b2解得2b 1,故椭圆的方程为上41.(2)由题意，设直线1的方程为x ky联立2 x4x 1, ky n消去x 得 k2 4 y2 2

10、knyn2 4 0.设 A, B X2, y2 ,口22kn则有 Vz TT-.，y y2k 4n2 4-2，k 4因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点所以CA CB 0 ,由 CAX1 2,y1 , CB X2 2, y2,x1 2将X| ky1 n , x2 ky2 n代入上式,并整理得k2 1 V1V2 k n 2V1y20,22则 k 1 n 4k2 42k2n n 2k2 4化简得5n 6 n20,解得n6或n52,试卷第5页，总16页因为直线X ky n不过点C 2,0 ,6_ 6 -所以n 2,故n 6.所以直线l恒过点D -,0 .故 Sa abc1 八-|DC| |yi y

11、2|62；5y1 y24yly212k5k2 44 36 425k282525 k2k24362,411设t 或 0 t k2 44则 S abc V 36t2 25t 在 t2510,-上单调递增, 4当 t;时,5 ABe 25 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 11362516416一, 25所以ABC面积的最大值为1625【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系,属于难题.本题中直线方程代入椭CA CB 0得到直线l恒过圆方程整理后应用韦达定理求出y y, y- 丫2,然后利用 点D 6,0为解题的关键，考查了学生的运算求解

12、能力，逻辑推理能力.54. (2021安庆市第十中学高二期末(理)2 X)已知椭圆C ：-2a24 1 a b 0的短轴 b2、1长为2石，离心率e 一.2(1)求椭圆C的标准方程;(2)若Fp F2分别是椭圆C的左？右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点AB,求AAB的面积的最大值.22【答案】(1)工L 1； (2) 3.43试卷第6页，总16页【分析】(1)由题意，列出方程组，求得 a 2,b J3 ,即可得到椭圆的标准方程;(2)设A %, y1，B X2, * ,设直线l的方程为xmy1 ,根据根与系数的关系，求yiy2, y1y2,结合三角形的面积公式，得到 s FabF A

13、Byy23 m2利用换元法，结合函数的单调性，即可求解(1)2由题意，椭圆C :今 a2 y b21 a b 0的短轴长为离心率e可得(2)2b2.31222b c2,b J3,故椭圆的标准方程为2y_31.X2,y2 ,因为直线i的斜率不为零，可设直线l的方程为x my 1,x由X2my 1一 22y2 ，得 3m 4 y136my9 0,所以y16m力 E,y1y2233m2 4又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故20,即(6m)3623m0,mR,则 S.F1ab1 一 F1F2 y12y2y1y2y1y224y1y212 . m223mS F1AB则12 . m23m212t3t2 1

14、-t 工32令 f(t)13,由函数的性质可知，函数 tf (t)在上是单调递增函数,即当t1时，f(t)在1,)上单调递增，因此有4f(t) f (1)一,所以 1F1AB33,试卷第7页，总16页即当t 1,m 0时，Srab最大，故当直线l的方程为X 1时，FiAB面积的最大值为3.【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标 函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式；单调性法；三角换 元法；导数法等，

15、要特别注意自变量的取值范围.2（2021全国高二课时练习）已知点 A（0, 2）,椭圆E： x2 4 1 （ab0）的离心 a b率为上，F是椭圆E的右焦点，直线2AF的斜率为2叵，O为坐标原点.求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P,2【答案】（1） y2 1y4Q两点.当4OPQ的面积最大时，求l的方程.【解析】试题分析：设出 F ,由直线AF的斜率为述求得c,结合离心率求得 a ,再由隐含 3条件求得b ,即可求椭圆方程；（2）点l x轴时，不合题意；当直线 l斜率存在时，设直线l :y kx 2,联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k的范围，再由弦长公式求得 PQ ,由

16、点到直线的距离公式求得 O至M的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求.试题解析：（1）设F c,0 ,因为直线AF的斜率为 述，A 0, 23所以2通,c也. c 3c c 3222乂 ,b a ca 2试卷第8页，总16页解得a 2,b 1,2所以椭圆E的方程为y2 1 .4（2）解：设 p 2, % ,Q X2,y2由题意可设直线l的方程为：y kx 2 ,2X 2 d TOC o 1-5 h z .y 122_0,联立4消去y得1 4k2 X2 16kx 12y kx 2,223当 16 4k 30,所以k ,即k416k12X1

17、X22 , X1X22 .1 4k 1 4k所以 PQ| J1 _k2JX_X14%X2nJ上2区1 1 4k 1 4k4 .1 k2 .4k2 34k2点O到直线l的距离d2所以 SOPQ2dpQ设 V4k2 3 t 0，则 4k2 t2 3,S OPQ4t 4_4_ 1t2 4 t 42.4，t当且仅当t2，即 V4k2 3 2,解得k时取等号，2“23满足k2 34所以 OPQ的面积最大时直线l的方程为：y x 2或y22.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决试卷第9页，总16页圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义

18、和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然 后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以 及均值不等式法，本题(2)就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的6. (2020黑龙江建三江分局第一中学高二期中(文)已知椭圆C:22_x y2 1(a b 0)的长轴长是短轴长的 J2倍，且经过点 J2,1 .a b(1)求C的标准方程；(2) C的右顶点为 A,过C右焦点的直线l与C交于不同的两点 M , N,求 AMN 面积的最大值.22【答案】(1)工L 1 ； (2) 2五.42【分析】(1)利用已知条件，结合椭圆方

19、程求出a,b,即可得到椭圆方程.列出三角形的(2)设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式,面积，再利用基本不等式转化求解即可.【详解】(1)解：由题意a 2b,212a b解得a1,22所以椭圆的标准方程为二2-1.42(2)点A(2,0),右焦点F J5,0 ,由题意知直线l的斜率不为0,故设l的方程为x my J5, M oy , N x2,y2 ,联立方程得22L幺142 消去x,整理得(m2x my “ 2,2)y2 2 . 2my 2 0,216(m 1) 0, y1y22、2m2一 ，y1y22 0，m2 2m 2试卷第10页，总16页222 2myi V2yi

20、V24yiY2m 2816 (1 m2)22m 2m2 2S amn -2 72yiy22 2 后Wm21当且仅当m 0时等号成立，此时l： x 点，所以小AMN面积的最大值为2 双【点睛】运用韦2L 1 b2本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立十达定理化简整理和运算能力，属于中档题.2X7. (2021浙江局二专题练习)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M :a(a b 0)右焦点的直线x y 73 0交M于A, B两点，P为AB的中点，且1OP的斜率为(I)求椭圆M的方程；(n) C, D为M上的两点，若四边形 ABCD的对角线CD AB ,求四边形 ABCD 面积的最大值.【答案】(i)

21、x- y- 1 (n) -|AB CD 蛀6323【分析】(1)把右焦点c,0代入直线方程可求出 c,设A刈W，B X2,y2 ,线段AB的中点P X0,yO，利用 太差法”即可得出a,b的关系式，再与a2 b2 c2联立即可求出a,b,进而可得椭圆方程；(2)由CD AB ,可设直线CD方程为y x m,与椭圆方程联立可得根与系数关系,即可得到弦长CD ,把直线AB ,利用x y 3 0与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长试卷第11页，总16页八1一 r 1, 一S四边形abcd- AB CD即可得到关于 m的表达式，利用二次函数的单调性即可求出2其最大值.【详解】(I设 A Xi

22、,yi , B2x2,y2，则 a2 y21 2 , (1) ( 2)得:xx2xx22ay y2 y1b-y2y2xx2设 P Xo,y0P为AB的中点，且OP的斜率为y。y2可以解得a2222b，即 a2c2 ,又因为c所以M的方程为(n)因为CDAB,直线AB方程为x,30 ,所以设直线CD方程为2由0代入土 621得：3x2343x0,即 a 0,734,3B 3 ,所以可得 AB 34：6；32m代入621得:33x2 4mxX3,y3 ,，则CD4x3x4 = 2-2 A82 m2 ,3又因为16m2 12 2m2 60,即3 m 3,所以当m 0时,|CD|取得最大值4,所以四边

23、形ACBD面积的最大值为1 AB CD28.63本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题，年年必考，熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键2x8. (2021长春市第二十九中学局二期末(理)已知椭圆C ：-2a2 1 a b 0 的 b2试卷第12页，总16页左，右焦点分别为F1 衣0 , F2衣0 ,且经过点M J2,1 .(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为2的直线与椭圆C交于A,B两点，求占AOB面积的最大值(O为坐标原点).22【答案】(1) 土上1 ； (

24、2)点.42、【分析】(1)根据椭圆的定义求得 a,由此求得b,从而求得椭圆 C的标准方程；(2)设出直线 AB的方程y 2x m ,联立直线 AB的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，求出弦长AB ,表示出aAOB的面积，利用不等式求出最值即可.(1)由椭圆的定义，可知2aMF1MF2,(2 囱 1 1 4.所以椭圆C的标准方程为(2)设直线l的方程为y 2x m ,联立椭圆方程，得9x2 8mx 2m2 4 0,264 m2,72m144设 A x1, y1X2, y2 ,Xix28m9,X1X2_ 22m2 49ABX2、.5 . X1X2 2 4x1X2818m2 1692 18

25、m22.5 点 O 0,0到直线l : 2xm 0的距离d 詈SL AOB1-|AB| d2一 2 18 m22 .5 |m|5试卷第13页，总16页当18 m2 m2即m2 9 , m 3时取等;所以aAOB面积的最大值为 我.【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和计算能力，直线 y kx b上两点A X1, y1 , B x2,y2间的距离公式为：1. AB / k2 Xi X2 ;3.若AB过焦点，也可以使用焦半径公式. 22x y9. (2019广东中山市 中山纪念中学局三月考 (又)已知椭圆C： 今 1(a b 0) a b的左、右

26、焦点分别为 F1，F2且离心率为 巨,过左焦点F,的直线l与C交于A, B两 2点，dABF2的周长为4夜.1求椭圆C的方程；2当dABF2的面积最大时，求l的方程.2【答案】y2 1 ； (2)x 1.【解析】试题分析：1根据椭圆定义及 ABF2的周长为4行得出a J2,利用e - a知c ea 1,求出b2 1,进而得到椭圆 C的方程；2将三角形分割，以F1F2为底，A、B两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积,运用基本不等式求得结果解析：(1)由椭圆的定义知4a 4五，a J2, c.由e 知c ea 1 a试卷第14页，总16页,22b ac2 12所以椭圆C的方程为y2 12(2)

27、由(1)知 Fi1,0 ,F2 1,0 , |FiF2 2设 A x1, y1 , B x2, y2 , l ： x my 12联立 x my 1 与 Jx_ y2 1 得到 m2 2 y2 2my 1 0,2% y22.2 m2 1m2 2Sabf222m 2m2 1当m2 1 1,m 0时，S abf2最大为我，l : x 1转化为两点纵点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割,坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程x my 1 .、方.，心一? ?名10 .（ 2016大南昆明市 图二一模（理）已知离心率为2的椭圆？,+ ?2 = 1 （? ? 0）经过点？（1,万