特征值与特征向量复习题

1、特征值与特征向量复习题一、思考题阶方阵4、B有不同的特征值时，能否有相同的特征向量.有相同特征值的阶不同矩阵4、能否有相同的特征向量.3设4为三阶矩阵，已知3E-A,E+4都不可逆，问4是否相似丁对角阵.若方阵AHO,fiAk=O,问A能否相似于对角阵.设4和都是阶实对称阵，并且相同的特征值，则可以得到4和相似，问一般矩阵有相同的特征值是否一定相似.4-51.设人=5-76-9二、选择题2则以下向量中是A的特征向量的是（4(A)1,Llr(B)1,1,3r(C)1,1,0r(D)1,0,-3r设为n阶矩阵，且4与B相似，则（）.(A)AE-A=AE-B（B）4与B有相同的特征值与特征向量（C）

2、A与B都相似于一个对角阵（D）对于任意f,以设A是祁介实对称矩阵，P是“阶可逆矩阵，已知“维列向量Q是A的屈丁特征值入的特征向量，贝IJ矩阵（P4P）t的属丁特征值入的特征向量是（）（A）PAa（B）P1a（C）Pa（D）（H）%设A为“阶方阵，以下结论中，（）成立.（A）若A可逆，则矩阵A的屈丁特征值入的特征向量也是矩阵的屈丁特征值+的特征向量A（B）4的特征向量即为方程（AE-A）X=0的全部解（C）4的特征向量的线性组合仍为特征向量（D）4与中有相同的特征向量TOC o 1-5 h z如果“阶矩阵4任意一行的个元素之和都是d,那么4有一个特征值().(A)a(B)-a(C)0(D)a若阶

3、矩阵4的特征值人二几2=盘=0,则不正确的结论是().(A)|A|=0(B)tr(A)=0(C)r(A)=Q(D)AE-A=Al已知AX0=A0X0(Xo为非零向量)，P为可逆矩阵，则()P“AP的特征值为f,其对应的特征向量为PXPAP的特征值为血，其对应的特征向量为PX。PlAP的特征值为寺，其对应的特征向量为PlX0P-1AP的特征值为血，其对应的特征向量为P_1X01-1r设4=24a，且A的特征值为=6,A2=23=2,则a的值为().-3-35(A)2(B)-2(C)4(D)-4设久是可逆矩阵4的一个特征值，则矩阵(A2)-1有一个特征值等于().(A)-3(C)12(D)丄410

4、.设矩阵4与相似，且_1-1120o4=24-2B=020则().-3-3a00b(A)a=5,b=0(B)a=5,b=6(C)a=6,b=5(D)a=0,b=5三、计算题_-31-r1.已知三阶矩阵人=-75-1,试求A)的特征值与特征向量.-66-2-200_-I00_4.已知矩阵4=2a2与A=02031100b相似.求ci,b之值;(1)02.设三阶矩阵4=25-1-1CIb23-2有一个特征向量&=1丄-1求a”之值.3.设人=有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件.(2)求一个可逆矩阵P使PAP=A；(3)求中5.设三阶矩阵4满足4%=逖（心123厂其中列向量&严1227；

5、a2=2-2J7,a、=-2-l,2z，试求A.6设向量a=al,a2,-anr,0=久上上都是非零向量，且满足条件&70=0,记阶矩阵A=a/3求（1）A2；（2）矩阵A的特征值和特征向量.7.设4阶方阵A满足条件|3E+A|=0.AA1=2E,|A|0,求方阵4的伴随矩322_010_8.设矩阵4=232,P=101223001阵的一个特征值.B=PTA*P,求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.12-3_设矩阵4=-14-3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论4是1a5否可相似对角阵.10某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将丄熟

6、练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培养及实践至年终考核有z成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工和非熟练3x工所占百分比分别为和儿，记成向量“-儿-TOC o 1-5 h z11”it11J*(1)求与的关系式并写成矩阵形式;儿+1儿儿+1儿(2)验证z是4的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;(3)当儿丄22时，+1求儿+111.设三阶实对称矩阵4的秩为2,入=人=6是4的二重特征值.若a=1丄0,6=2,1,1/,a,=-1,2-37都是A的属丁特征值6的特征向量.求4的另一特征值和对应的特征向量；求矩阵4.四、证明题设4为正交矩阵，若|A|=-1,试证：4一定有特征值-1.设4,B均为阶方阵，且r(A)+r(B