专题03一元一次方程全章复习(知识点串讲)(解析版)

1、 /17专题03一元一次方程全章复习知识框架方程豆一元_;朋理有矢磁预一號程及期註_命的性质弊一元一；恋施一8票一元一次启程全章負习和.豆伯、分问範行程间貶工隹可覷重难突破一、一元一次方程及其解法（一）、方程及一元一次方程有关概念方程概念：含有未知数的等式叫做方程.备注：判断式子是否为方程，两点缺一不可：是等式；是含有未知数.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.备注：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：它（或它们）是方程中未知数的值；将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是.一元一次方程概念：只含有一个未知数（元

2、），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.备注：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：首先是一个方程;其次是必须只含有一个未知数;未知数的指数是1;分母中不含有未知数.（2）兀一次方程的标准形式是：ax+b=0（其中aMO,a,b是已知数）.（3）兀一次方程的最简形式是：ax=b（其中aMO，a,b是已知数）.（二）、等式的性质等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：r如果a=，那么区0=3士匕（C为一个数或一个式子）.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或

3、除以同一个不为0的数，结果仍相等即：如果a=b，那么ac=bc；如果虫，那么-.cc备注：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立,1_1如x=0中，两边加上一得x+，这个等式不成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零.三)、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数不要漏乘不含分母的项分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号不要漏乘括号里的项不要弄错符号移

4、项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax=b(aMO)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a,得b到方程的解x.a不要把分子、分母写颠倒备注：解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆二、一元一次方程实际问

5、题(一)、一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题抽析方程检解解答.由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答备注：“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数；“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；“解”就是解方程，求出未知数的值“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；“答”就是写出答案，注意单位要写清楚(二)、常见列方程解应用题

6、的几种类型1和、差、倍、分问题基本量及关系：增长量=原有量X增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等2行程问题三个基本量间的关系：路程=速度X时间基本类型有：相遇问题(或相向问题)：I.基本量及关系：相遇路程=速度和X相遇时间II.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.追及问题：I.基本量及关系：追及路程=速度差X追及时间II.寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.航行问题：I.基本量

7、及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度一逆水速度=2X水速；II.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析.工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：总工作量=工作效率X工作时间；总工作量=各单位工作量之和.调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.利润问题(1)利润率=利润100%进价(2)标价=成本(或进价)X(1+利润率)实际售价=标价X打折率利润=售价一成本(或进价

8、)=成本X利润率注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售6存贷款问题利息=本金X利率X期数本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X(1+利率X期数)实得利息=利息-利息税利息税二利息X利息税率年利率=月利率X121月利率=年利率X127.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a.8方案选择问题选择设计方案的一般步骤：运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.用特殊值试探法

9、选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论.例1.(2018河南洛阳市七年级期中)下列各式中，是方程的是()A.4x-1=2x+2B.x-2C.1+2=3D.0 x+1【答案】A解：4x-1=2x+2符合方程的定义，故A符合题意，x-2是代数式，不是等式，不符合方程的定义，所以B不符合题意，1+2=3不含有未知数，不符合方程的含义，所以C不符合题意，0 x+1不是等式，不符合方程的含义，所以D不符合题意，故选A.练习1.(2018衡阳市逸夫中学七年级期中)下列各式中m=1，x+3x=4，6x-70，2x+y，1一+2=5，x3y+2x=6其中是方程的有()aA.

10、B.C.D.【答案】D【解析】1m=1是方程；x+3x4是方程；6x-70不是方程；2x+y不是方程；+25是方程;ax3y+2x6是方程，故选D.TOC o 1-5 h z例2.（2020成都市泡桐树中学七年级期中）下列等式变形正确的是（）1s1A.如果sab，那么bB.如果牙x2，那么x42a2C.如果x-1y-1，那么x-y2D.如果mx=砒，那么x=y【答案】B12sA选项：s=ab，则b=，故A错误；2a1B选项：x=2，则x=4，故B正确；c选项：x1=y1，则xy=0，故c错误；d选项：mx=my，当m丰0时，有x=y,故d错误.故选B.练习1.（2020四川成都市双楠实验学校七

11、年级期中）下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A、若x=y，贝yx+5y+5B.若ab，贝yacbeabxyC.若_=_，则abD.若x=y，则一=_ccaa【答案】D解：A、若x=y，则x+5=y+5，等式基本性质1,正确；B、若a=b，则ae=be，等式基本性质2,正确；abC、若=，则a=b，等式基本性质2,正确；eexyD、若x=y，则=,a#0,等式基本性质2,原题考虑不周全，故此选项错误.aa故选：D.例3.（2020克山县第二中学校七年级期中）已知x的一半与x的3倍的和比x的2倍少6,列出方程为 /17 /17【答案】2x+3x=2x-6解：由题意得-x+3x=2x-6厶故答案

12、为：x+3x=2x6练习1.（2019大庆市第六十五中学七年级期中）根据题意列出方程：（1）设某数为x某数的3倍与4的差等于10：。（2）x的平方与3的差等于-2：。【答案】3x-4=10 x2-3=-2解：（1）根据题意得，3x-4=10;（2）根据题意得，x-3=-2.故答案为：（1）3x-4=10;（2）x2-3=-2.例4.（2020四川省内江市第六中学七年级期中）x=1是下列哪个方程的解（）1A.24x=1B.x=2C.3x+2=5D.4x2=6x32【答案】C解:当x=1,A.24x1=2丰1,故错误;B.丰2，故错误;C.3x1+2=5,故正确;D.4x1-2=2丰6x1-3=3

13、,故错误.故选:C.练习1.（2019四川巴中市七年级期中）方程3x+1=m+4的解是x=2,则m值是（）A2B5C3D1【答案】C把x=2代入3x+1=m+4得：6+1=m+4，解得：m=3，故选：C例5.（2020成都市泡桐树中学七年级期中）解方程:（1）3x2=82x【答案】(1)x=2；(2)x=-3(1)由原方程得：x+2x8+25x10 x2(2)由原方程得：2(2x+1)-(5x-1)6x+25x+164x-5x6-1-2x3x3练习1.(2019达州市第一中学校七年级期中)解下列方程：x+22x-3(1)5(x+8)=6(2x-7)+5；(2)-=1.46【答案】(1)x=11

14、；(2)x=0.解：(1)去括号得：5x+40=12x-42+5,移项合并同类项得：7x=77,系数化为1得：x=11；(2)去分母得：3x+6-4x+6=12,移项合并同类项得：x=0；xmx6例6.(2019四川遂宁市遂宁中学外国语实验学校七年级期中)方程q+亍x4与方程-6的解一样，则m.答案】-21x-6解方程-6得x-6xmx-6因为方程q+x-4与方程-6的解一样,xm所以把x-6代入方程2+yx-4得:-6m+23-6-4化简整理后可得m=-21故答案为-21.练习。妙四川资阳市七年级期中）已知关于x的方程2x=8与x+2i的解相同，则代数式守的值是（）9444A.B.-C.-D

15、.+4999【答案】C【解析】解方程2x=8可得x=4,关于x的方程2x=8与x+2=-k的解相同,.4+2=-k,解得k=-6,TOC o 1-5 h z.2-3|k|2-3x|-6|=2-18=_4k2(-6)2369故选C.例7.（2020四川宜宾市叙州区东辰初级中学七年级期中）若关于x的方程2ax=（a+1）x+6的解为正整数,求整数a的值.【答案】2,3,4,7方程整理得：（a-1）x=6,6解得：x=,a-1_6_由方程的解为正整数，即为正整数，得到整数a=2,3,4,7,a一1故答案为：2，3，4，7练习1.（2020四川成都市双楠实验学校七年级期中）已知关于x的方程9x-3=k

16、x+11有正整数解，那么满足条件的所有整数k的和为.【答案】12.14根据方程：9x-3=kx+11,解得:x=9-k因为x为正整数解，所以能被14整数的正整数有:1,2,7,14.k有:8,7,2,-5.整数k的和为:8+7+2+（-5）=12.故答案为:12.例8.(2019四川绵阳市东辰国际学校七年级期中)某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺母,则下面所列方程正确的是()A.2x800(26-x)=1000 xB.800(13-x)=1000 xC.800(26-x)=2x1000

17、 xD.800(26-x)=1000 x【答案】A设安排x名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”可得2x800(26-x)=1000 x故选：A练习1.(2020四川成都市双楠实验学校七年级期中)某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个.已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？【答案】46人生产甲种零件，16人生产乙种零件.解：设应分配x人生产甲种零件，12xx2=23(62-x)x3，解得x=46,62-46=16（人）.故应分配46人生产甲种零件，1

18、6人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套.例9.(2016四川眉山市七年级期中)某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲一共做了x天，则所列方程为()C.XX一1+二146X+1XrXX+1rAT+6二1B.4P二1答案】C设甲一共做了x天,则乙一共做了(x-1)天.1可设工程总量为则甲的工作效率为4，乙的工作效率为6.XX一1r那么根据题意可得出方程4+二1故选C.练习1.(2020成都市泡桐树中学七年级期中)有一批共享单车需要维修，维修后继续投放骑用，现有甲、乙两人做维修，甲每天维修16辆，乙每天维修的车辆比甲多8辆，甲单

19、独维修完成这批共享单车比乙单独维修完多用20天，公司每天付甲80元维修费，付乙120元维修费（1）问需要维修的这批共享单车共有多少辆？（2）在维修过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天10元补助费，现有三种维修方案：由甲单独维修；由乙单独维修；甲、乙合作同时维修，你认为哪种方案最省钱，为什么？【答案】（1）960辆；（2）方案三最省钱，理由见详解.解：（1）设乙单独做需要X天完成，则甲单独做需要（X+20）天，由题意可得：16（x+20）=（16+8）x，解得：x=40，总数：（16+8）x40=960（辆）,这批共享单车一共有960辆；（2）方案一：甲单独完成：60 x80+6

20、0 x10=5400（元）,方案二：乙单独完成：40 x120+40 x10=5200（元），方案三：甲、乙合作完成：960-（16+24）=24（天），则一共需要：24x（120+80）+24x10=5040（元）,540052005040方案三最省钱例10.（2019四川资阳市七年级期中）某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%,另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（）A.赚了10元B.赔了10元C.赚了50元D.不赔不赚【答案】A【解析】试题分析：第一个的进价为：80三（1+60%）=50元，第二个的进价为：80=（120%）=100元，则80 x2-（50+10

21、0）=10元，即盈利10元.练习1.（2019四川内江市七年级期中）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知汉语成语大词典和中华上下五千年两本书的标价总和为150元，汉语成语大词典按标价的50%出售，中华上下五千年按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元.【答案】汉语成语大词典的标价为100元，中华上下五千年的标价为50元.【解析】解得：x=4，试题解析：设汉语成语大词典的标价为X元，则中华上下五千年的标价为（150-X）元,根据题意得：50%x+60%（150-x）=80，解得:x=100,150-100=50（元）.答：汉语成语大词典的标价为100元，中华上

22、下五千年的标价为50元例11.（2020四川德阳市七年级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，全程需7个小时，逆流航行全程需要9小时，已知水流速度为每小时3千米.若设两个码头间的路程为x千米，则所列方程为（）xxB.+3=-79xxD.=+979xxA.3=+379xxC.+3=-379【答案】Axx解：设两个码头间的路程为x千米，则逆流的速度为每小时：9千米，顺流的速度为每小时：7千米,xx所以：73=9+3故选A.练习1.（2020奈曼旗新镇中学七年级期中）A、B两地相距120千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米.（1）两车分别从A、B两地同时同向而行（甲在乙后），

23、经过多长时间甲车追上乙车.（2）两车同时从A、B两地相向而行，经过多长时间两车相距10千米.【答案】（1）12小时；（2）1.1小时或者1.3小时（1）设经过x小时甲追上乙，则55x45x二120.解得x=12答：两车同时从A、B两地同向而行（甲在乙后），经过12小时甲车追上乙车.（2）两车同时从A、B两地相向而行，设经过x小时两车相距10千米，分相遇之前、相遇之后两种情况讨论：在相遇之前，有55x+45x=12010.10 x=11，x=1.1在相遇之后，有55x+45x=120+10.10 x=13，x=1.3答：两车同时从A、B两地相向而行，经过1.1小时或者1.3小时两车相距10千米.

24、例12.（2020江西宜春市宜春九中七年级期中）某课外活动小组计划做一批“中国结”，如果每人做6个,那么比计划多了1个，如果每人做5个，那么比计划少了3个，该小组计划做多少个“中国结”？【答案】计划做23个中国结解：设小组成员共有x名，则计划做的中国结个数为：（6x-1）或（5x+3）个由题意得：6x-1=5x+311/17 /17.6x-l=23.答：计划做23个中国结练习1.（2020安徽七年级期中）李老师在课外活动中做了一个有趣的游戏小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌都为m张，且m10；第二步：从右边一堆拿出五张,放入中间一堆；第三步：从左边一堆

25、拿出7张，放人中间一堆；第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆.（1）填写下表中的空格：步骤左边一堆牌的张数中间一堆牌的张数右边一堆牌的张数第一步后mmm第二步后mm-5第三步后m-7m-5第四步后m一7（2）如若第四步完成后，右边一堆牌的张数恰好是左边一堆牌的张数的3倍，试求第一步后，每堆牌各有多少张?【答案】（1）m+5；m+12；17；2m-10；见解析；（2）每堆牌分别是11张、16张、6张解：（】）第二步后中间牌的张数为：m+5第三步后中间牌的张数为：m+5+7=m+12第四步后中间的张数为：（m+12）-（m5）=17右边的牌数为：（m-5）+（m-5）-2m-

26、10步骤左边一堆牌的张数中间一堆牌的张数右边一堆牌的张数第一步后mmm第二步后mm+5m一5第三步后m7m+12m5第四步后m一7172m10（2）由题意可知：2m-10二3（m-7）解得：m=11第二步后左边的牌数为：m=11中间的牌数为：m+5=11+5=16右边的牌数为：m-5=11-5=6答：第一步后每堆牌分别是11张、16张、6张例13.（2020南昌市心远中学七年级期中）观察下列按一定规律排列的n个数：1,4,7,10,13,16，,若最后三个数之和是3000,则n等于（）A.333B.334C.335D.336【答案】C解：每个数是前一个数加上3,则第n个数应该是1+3（n-1）

27、=3n-2列式：3n8+3n5+3n2=3000，解得n=335故选：C.练习1.（2020辽宁大连市七年级期中）观察下列三行数：2,4,8,16,32,64,；1,5,7,17,31,65,；1,2,4,8,16,32；（1）第三行的第n个数为;（2）如图1,在上面的数据中，用一个矩形方框框住同一列的三个数，设a=x,则a+b+c=（用含x的式子表示）；（3）如图2,在上面的数据中，用一个矩形方框框住两列共六个数，数a,b,c为第n列的三个数，若方框中的六个数之和为158，求n的值.图1图2abecf（_2）n【答案】（1）、-22x+1；(3)6解：（1）由题意可知，第三行的第n个数为2故

28、答案为：（_P2x5(2)依题意有a+b+c=x+x+1+=x+1.1f=x(-2)xx=158.故答案为：x+1；(3)设a=x,则b=x+1,c=x,d=-2x,e=-2x+1,211+1+-x+(-2x)+(-2x)+i+2x(-2)5一xi解得x=64.(-2)n=64,解得n=6故n的值为6例14.(2019福建厦门市厦门一中七年级期中)某班将举行知识竞赛活动，班长安排小明购买奖品.小明去文化用品店买了两种大小不同的笔记本一共本，其中大笔记本单价8元，小笔记本单价5元.若设买单价5元小笔记本买了x本.(1)填写下表：单价(元/本)数量(本)金额(元)小笔记本5x5x大笔记本8列式表示

29、：小明买大小笔记本共花元.若小明从班长那里拿了300元，买了40本大小不同的两种笔记本(a=40)，还找回55元给班长，那么小明买了大小笔记本各多少本？若这个班下次活动中，让小明刚好花400元购买这两种大小笔记本，并且购买的小笔记本数量x要小于60本，但还要超过30本(30VxV60)，请列举小明有可能购买的方案，并说明理由.【答案】(1)ax,8(ax)；(2)(8a3x)；(3)小明买了小笔记本25本，大笔记本15本；(4)方案是小笔记32本，大笔记本30本；方案是小笔记本40本，大笔记本25本；方案是小笔记本48本，大笔记本20本；方案是小笔记本56本，大笔记本15本，理由见解析解：(1)由题意列表如下：单价(元/本)数量(本)金额(元)小笔记本5x5x大笔记本8ax8(ax)故答案为：ax，8(ax)；由(1)中的表格知，5x+8(a-x)二8a-3x小明买大小笔记本共花(8a3x)元，故答案为：(8a3x)；由题意得,