运筹学—对策论(三)

1、定理1 矩阵对策G=S1 ， S2 i* , j* ）使得对一切i=1,2, ,m, j=1,2, ,n, 均有aij* ai*j* ai*j 。E(x,y*) E(x*,y*) E(x*,y)定理2 矩阵对策G= S1, S2;A 在混合策略意义下有解的充要条件是：存在x* S1* ,y* S2*,使(x*,y*)为E(x,y)的一个鞍点，即对一切x S1* ,y S2*，有复习已讲的矩阵对策内容1E(i,y*) E(x*,y*) E(x*,j)定理3 设x* S1* ,y* S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条件是：对任意i=1,2, ,m和j=1,2, ,n，有定理4 设x* S1*

2、 ,y* S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条件是：存在v,使得x*和y*分别是不等式组v , j=1,2, ,n i=1 m aijxi1 i=1 m xixi0 , i=1,2, ,mv , i=1,2, ,m j=1 n aijyj1 j=1 n yiyj0 , j=1,2, ,n和的解，且v=VG 。E(x,j)E(i,y)2定理5 对任一矩阵对策G= S1, S2;A，一定存在混合策略意义下的解。运筹学对策论(三) 记矩阵对策G的解集为T(G), 关于对策解集有下列两个性质：定理6 设有两个矩阵对策 G1= S1, S2;A1，G2= S1, S2;A2 ，其中A1 =(aij)

3、, A2 =(aij+L),L为任一常数，则有 VG2= VG1+L T(G1)=T(G2)例 1 设G1和G2赢得矩阵分别为 5 1A1=2 44 0 7 3A2=4 66 23定义5 设G=S1 ， S2；A为矩阵对策，其中S1=1,2, ,m，S2= 1, 2, , n ，A=（aij）mn 。如果对一切j=1,2, ,n,都有ai0j ak0j 即矩阵A的第i0行均不小于第k0行的对应元素，则称局中人的纯策略i0优超于k0 ；同样，若对一切i= 1,2, ,m, 都有aij0 ail0即矩阵A的第l0列均不小于第j0列的对应元素，则称局中人的纯策略 j0优超于 l0。定理7 设有两个矩

4、阵对策 G1= S1, S2;A，G2= S1, S2; A ，其中0为任一常数，则有 VG2= VG1 T(G1)=T(G2)例 2 设G1和G2赢得矩阵分别为 3 2A1=2 42 0 6 4A2=4 84 04定理8 设G=S1 ， S2；A为矩阵对策，其中S1=1,2, ,m，S2= 1, 2, , n ，A=（aij）mn 。如果纯策略1被2, ,m中之一所优超 ，由G可得到一个新的矩阵对策G： G= S1 , S2；A 其中S1 = 2, ,m， A =（aij ）(m1)n aij = aij , i=2, ,m , j=1,2, ,n ,则V G =VG ； G中局中人的最优策

5、略就是其在G中的最优策略；若(x2*, , xm*)T是G中局中人的最优策略，则x*= (0，x2*, , xm*)T便是其在G中的最优策略。例 3 设G赢得矩阵为 3 2 2A=5 2 3 2 5 15推论 ： 在定理8中，若纯策略1不是为2, ,m中之一所优超 ，而是为2, ,m的某个凸线性组合所优超，定理的结论仍然成立。优超原则：定理8给出了一个简化赢得矩阵A的原则，称之为优超原则。根据这个原则，当局中人的某纯策略i被其它纯策略或纯策略的凸线性组合所优超，可在矩阵A中划去第i行而得到一个与原对策G等价但赢得矩阵阶数较小的对策G，通过求G而得到G的解。 7 3 9 9A= 4 6 8 5.

6、5 6 0 8 3例：1/3(第1列)+2/3 (第2列)优超第4列6例 4 设赢得矩阵为3 2 0 3 05 0 2 5 9 7 3 9 5 9A=4 6 8 7 5.56 0 8 8 3求解这个矩阵对策。解：由于第4行优超第1行，第3行优超第2行，故可划去第1行和第2行，得到新的赢得矩阵 7 3 9 5 9A1=4 6 8 7 5.56 0 8 8 3对A1第1列优超第3列，第2列优超第4列，1/3(第1列)+2/3 (第2列)优超第5列，故可划去第3 45列，得到新的赢得矩阵 7 3A2=4 66 0 7 3A3=4 6A2第1行优超第3行，故划去第3行，得到7对于A3，易知无鞍点，应用定理4，求解不等式组7x3+4x4 3x3+6x4 x3+x4=1X3,x4 0和7y1+3y2 4y1+6y2 y1+y2=1y1,y2 07x3+4x4= 3x3+6x4= x3+x4=17y1+3y2= 4y1+6y2= y1+y2=1首先考虑方程组的解求解得x3*=1/3，x4 *=2/3； y1*=1/2，y2 *=1/2； =5于是，原矩阵对策的一个解就是：X*=(0,0,1/3,2/3,0)T， Y*=(1/2, 1/2,0,0,0 ) T ， VG=58练习题 “二指莫拉问题”。甲乙二人游戏，每人出一个