南昌大学第四届高等数学竞赛试题

1、南昌大学第四届高等数学竞赛南昌大学第四届高等数学竞赛（理工类）试题1、填空题（每空3分，共15分）arctanx x lim -x 0 ln 1 2x32、设S是平面x y z 2被圆柱面x2y2 1所截的有限部分，则曲面积分xdS=3、由方程2xx y 21 e t dtxy确定，则y4、1 y一z 8x y与直线L2 ：12y z6-c的夹角为3 TOC o 1-5 h z 225、设曲线弧l的方程为椭圆上 L 1,其周长为432. 22xy 3x 4y ds二、单项选择题（每题3分，共15分）1、设f x和g x在 ，内可导，且f x g x ,则必有()(A) f x g x .(B)

2、 f x g x .(C) lim f x lim g x . TOC o 1-5 h z x x0 x x0 xx(D) f t dt a t dt . 002、设y f x是微分方程y 2y 4yesinx的一个解，若f x00, f x00 ,则函数 f x 在点 x0()(A)取得极大值.(B)某邻域内单调增加.(C)取得极小值(D)某邻域内单调减少.3、已知axy2 ycosx dxx2y bsinxdy是某函数u x, y的全微分,(A) a 2,b2.(B) a 2,b 2.a 1,b1.a 1,b 1.4、已知曲面z 4 x2 y2上点P处的切平面平行于平面2x 2y z 1

3、0,则点P的坐标为（）（A） 1, 1,2 . （B）1,1,2 .（C） 1,1,2 .（D）1, 1,2 .5、设正项级数 In 1 an收敛，则级数1 n Janan 1的敛散性为（） TOC o 1-5 h z n 1n 1（A）无法判断，与 有关.（B）发散.（C）条件收敛.（D）绝对收敛.三、（本题满分6分）1 aX设f为连续函数，g a 1 f a x dx,讨论当a 0时g a的极限a 0a是否存在.四、（本题满分6分）x设f x为连续函数，满足方程f x 2 ex 10 xtftdt,求fx.五、（本题满分7分）求 I l exsin y b x y dx ex cosy a

4、x dy ,其中 a、b 均为常数，L 为从点A 2a,0沿曲线y J20 x_x7到点O 0,0的一段弧.六、（本题满分7分）11 1设 f x 在 0,1 上连续，且 fxdxA,求 ftdt 1 x f x dx.，00 x已知正项级数an收敛，试判断数列1 & 1 a?1 an的敛散性.n 1八、（本题满分7分）计算曲面积分I ydydz xdzdx z2dxdy,其中 是锥面z JX2y2被平面z 1和z 2所截出部分的外侧九、（本题满分7分） 22设u yf xg y ,其中函数f,g具有二阶连续导数，求xu y y xx x y十、（本题满分7分）设函数f x满足方程xf x 3

5、f x6x2，且由曲线y f x、直线x 1与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求 f x .十一、（本题满分8分）x2n求级数 的和函数.n 1 n 1 3n十二、（本题满分7分）2 f x dx设对任意x a,b,有fx 0, f x 0,试证f x 一ab a1、1、南昌大学第四届高等数学竞赛填空题（每空3分，共15分）1八 cc，2、0 .3、e 1.4、6选择题（每题3分，共15分）C.2、A.3、C. 4、C.（本题满分6分）0时,5、D.（理工类）试题答案5、12a.lim1 a 0 aa0(aX一)f(a x)dx aliml a 0 aa0(a-)f(a

6、ax)dx积分中令1a x,则 lim 2 a 0 aa0 f()dlimf a 0 2a当a 0时,1 a lim0a 0(ax-)f(a ax)dx 令 a x1-f(0)21 a呵一0(2 -)f( )da 0 a 0 a2 f(0).(D0时,的极限存在,(2)0时,的极限不存在四、（本题满分6分）2 ext dtxtf t dt0 x2edt2ex求得yxex通解 y c1ex c2e x xex一. 1.1. V特解y e e xe 22五、（本题满分7分）利用格林公式.添加从点0（0,0）沿直线y 0到点A（2a,0）的有向直线段L ,则IO exsin y b x y dx e

7、xcosy*L Laxdyex sin y b x y dxxe cosy ax dy I1 I2. - - - - -对于Ii,因为L L为封闭曲线，由格林公式知Ii(ba)d2 a2(ba)；对于I2,直接计算I 22a0 ( bx)dx2a2b.所以，I Ii I2_2(-2)a b六、（本题满分7分）1解：令（x）(x)(0)t dtA.于是,1原式二 0 (x)dx10(x1)(x)dx(x(x)dx (x1)(x)10 (x)dx1) (x)(0) A解法dt 1dx =1xft dtdxf x dxdxdtx f x dx111=f t tdt 1 x f x dx = f t

8、dt = A 000七、(本题满分8分)证 设级数 an的前n项的部分和 n 1Sn司在一一an由正项级数 an收敛知存在M 0使得SnM,n 1(1 a1)(1 a2),，(1 an)eln(1 a 二)一 ()16) ln(1 a2) ln(1 an)由于当x 0时In 1 x x,因此ln(1 a1) ln(1 a2) ln(1 a )a1a2 , %e 1n e12nSe又由于1 a1 1 a21 an是单调递增数列，因此数列1 a11a21 an收敛.八、(本题满分7分)利用高斯公式.补充有向曲面1： z 1下侧；有向曲面 2： z 2上侧.利用高 TOC o 1-5 h z 斯公式

9、,有 O ydydz xdzdx z1212dxdy2zd1222zdz d2zrdr100152其中 口刈为：乂2 y2 z2.又由于ydydz xdzdx z2dxdydxdy152ydydz xdzdx z2dxdy4dxdy 4( *22) 16 ,故x-,w yxg wyg w x2 uF x1f y2y-g w x2u xx=0十、（本题满分7分）方程通解y cx36x2旋转体体积V1 2 0ydx32 2cx 6x dxx 0,6x2c272c3657x3（本题满分8分）tn当x 0时,0,tn 1tn 1n 1 n 1tn 1n 1 n 1t01dttln 1x2n 3x2一 x2of=- ln 1 一 ，xV3 n i n 1 3n x2332nx当 x 0 , =0ni n 1 3n十二、（本题满分7分）证“*）在1 a,b上的一阶台劳公式为19 人一，.、一f (x) f (t) f (t)(x t) f ( )(x t),介于 x与tN问. 2!因为f (x) 0,所以f() 0.于是，有f(x) f(t)f(t)(x t).不等式两边在a,b上对t积分布bbb(b a) f (x) a f (t)dt a f (t)(x t)dt a f(t)dtaaa(x t)f(t)f (t)dtb2 f(t)