湖北省松滋市高中名校2022年高三适应性调研考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）ABCD2在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）A或B

2、CD或3根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ）AeBe2Cln2D2ln24天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）ABCD5一辆邮车从地往地运送邮件

3、，沿途共有地，依次记为，（为地，为地）从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，各地装卸完毕后剩余的邮件数记为则的表达式为（ ）ABCD6已知是等差数列的前项和，则（ ）A85BC35D7在三棱锥中，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ）ABCD8已知集合为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）ABCD9已知，则的大小关系为（ ）ABCD10过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若

4、，则（ ）ABCD11设，点，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）ABCD12关于函数，下列说法正确的是（ ）A函数的定义域为B函数一个递增区间为C函数的图像关于直线对称D将函数图像向左平移个单位可得函数的图像二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，角，的对边分别是，若，则的面积的最大值为_.14易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_.15已知数列递增的等比数列，若，则_.16角的顶点在坐标原点，始边与

5、x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（）的值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值1=-1的一个特征向量为1=1-1，属于特征值2=4的一个特征向量为2=32.求矩阵A.18（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.年龄（单位：岁）保费（单位：元）（1）用样本的频率分布估计总体

6、分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值；（2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？19（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，.（1）求证：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.20（12分）如图, 在四棱锥中, 底面是矩形, 四条侧棱长均相等.（1）求证：平面;（2）求证：平面平面.21（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为

7、参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长.22（10分）在中，角的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的面积参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,，即函数为减函数,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.2D【

8、解析】根据正弦定理得到，化简得到答案.【详解】由，得，或，或故选：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.3B【解析】将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.4B【解析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同

9、的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.5D【解析】根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案【详解】解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，需要卸下件邮件，则，故选：D【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题6B【解析】将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.【详解】设公差为，则，所以，.故选：B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数

10、列前项和的计算，属于基础题.7A【解析】设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题8D【解析】集合为自然数集，由此能求出结果【详解】解：集合为自然数集，在A中，正确；在B中，正确；在C中，正确；在D中，不是的子集，故D错误故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关

11、系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9A【解析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.【详解】因为，所以.因为，所以，因为，为增函数，所以所以，故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.10C【解析】需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题11A【解析】

12、先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【详解】由题意知sin，随n的增大而增大，,，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，正整数的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.12B【解析】化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.【详解】，故函数的定义域为，故错误；当时，函数单调递增，故正确；当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.故选：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

13、二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】化简得到，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案.【详解】，即，故.根据余弦定理：，即.当时等号成立，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.14【解析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共

14、2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。故答案为：。【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。15【解析】，建立方程组，且，求出，进而求出的公比，即可求出结论.【详解】数列递增的等比数列，解得，所以的公比为，.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.16【解析】计算sin，再利用诱导公式计算得到答案.【详解】由题意可得x1，y2，r，sin，sin（）sin故答案为：

15、【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17A=2321【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，A1=11，即abcd1-1=-11-1，得a-b=-1,c-d=1.同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵A=2321【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单18（1）30；（2），比较划算.【解析】（1）由频率和为1求出，根据的值求出保费的平均值，然后解一元一次不等式 即可求

16、出结果，最后取近似值即可；（2）分别计算参保与不参保时的期望，比较大小即可.【详解】解:（1）由，解得.保险公司每年收取的保费为:要使公司不亏本，则，即解得.（2）若该老人购买了此项保险，则的取值为(元).若该老人没有购买此项保险，则的取值为.(元).年龄为的该老人购买此项保险比较划算.【点睛】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.19（1）证明见解析（2）【解析】（1）取中点为，连接，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.（2）以为原

17、点，为，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点为，连接，如下图所示：因为，所以，故为等边三角形，则.连接，因为，所以为等边三角形，则.又，所以平面.因为平面，所以.（2）由（1）知，因为平面平面，平面，所以平面，以为原点，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易求，则，则，.设平面的法向量，则即令，则，故.设平面的法向量，则则令，则，故，所以.由图可知，二面角为钝二面角角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.20（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）在矩形中，又平面，平面，所以平面 （2）连结，交于点，连结，在矩形中，点为的中点，又，故， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面21【解析】由，化简得，由，所以直线的直角坐标方程为，因为曲线的参数方程为，整理得，直线的方程与曲线的方程联立，整理得，设，则，根据弦长公式求解即可.【详解】由，化简得，又因为，所以直线的直角坐标方程为，因为曲线的参数方程为，消去，整理得，将直线的方程与曲线的方程联立，消去，整理得，设，则，所以，将，代入上