球的体积和表面积比赛稿

1、-球的体积和表面积-9.11球的体积和表面积例题讲解课堂作业教学目标重点难点球表面积球的体积课堂练习封底退出课堂小结掌握球的体积、表面积公式掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割近似求和精确求和的思想方法会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题教学目标球的体积公式的推导球的体积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式的推导教学重点教学难点重点难点R高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体积 我们把

2、一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积分割求近似和化为准确和问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.AOB2C2球的体积AOOROA球的体积球的体积球的体积2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确

3、到等于球的体积.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积. 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：OO球的表面积第二步：求近似和由第一步得：OO球的表面积第三步：化为准确和

4、 如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥O球的表面积例1.钢球直径是5cm,求它的体积.(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)例题讲解(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:例题讲解(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体侧棱长为5cm例题讲解例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶

5、点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O例题讲解OABC例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，例题讲解OABC例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积例题讲解2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3. 83.有三个球,一球切于正方体

6、的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.练习一课堂练习4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.练习二1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.课堂练习7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是_.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为_.6.若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 , 则两球的直径之差为_.练习二课堂练习了解球

7、的体积、表面积推导的基本思路：分割求近似和化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结球和它的性质与定点的距离等于或小于定长的点的集合一.球的概念1球体 与定点的距离等于定长的点的集合球体(简称球)是实心的,球面是空心的简称球、球面其中球心球的半径球的直径记作：球O、球是以AB为直径的半圆绕AB旋转一周 而得到的观察球的形成过程模拟演示球的概念二、球的截面及其性质用一个平面去截一个球,截面是圆面2.球心到截面的距离d与球的半径R,小圆半径 r ,有下面的关系:1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面.

8、截面的性质：截面的定义：O1、截面性质OO 截面圆O2、大圆小圆观察球被平面所截发生的现象1、大圆.o经过球心的截面圆2、小圆不经过球心截面圆（1）大圆小圆概念（2）大圆小圆性质三、地球仪中的经纬度（1）经线和经度由地理知识知：AOB为P点所在经线的经度.（2）某点的经度是经过这点 的经线和地轴确定的半平面与0度经线(本初子线) 和地轴确定的半平面所成二面角的度数. （1）地球的经线就是球面上 从北极到南极的半个圆.1.地球的经度本初子午线地轴赤道北极PABO地球经度点击图片演示课件（2）纬线和纬度2.地球的纬度（1）赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆.（2）某点的纬度就是经过这点的球半径与

9、赤道面所成角的度数.由地理知识知： 或AOP的度数为P点纬度.地轴赤道北极PAO经度纬度某点的纬度（平面图） 经过这点的球半径与赤道平面所成的角的度数。ABO1O如图，AOB的大小即为B点所在的纬度。球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度.即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度.PQO1.定义三、球面距离2.两点的球面距离公式飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行.PQ的长度PQO球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角，再求出弧长L=R.球面距离课堂练习1、判断正误：（对的打

10、，错的打）（1）球只有一个面。（2）在空间，到定点的距离等于定长的所有 点的集合叫球。（ ）（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于 这个小圆所在平面。（ ）（4）经过球面上不同的两点只能作一个大 圆。（ ）（5）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）（）例1.我国首都靠近北纬40纬线。求北纬40纬线的长度约等于多少km（地球半径约为6 370km）.OAB轴截面BOK40A2、例题讲解解：如图，A是北纬40纬线上的一点，AK是它的半径，所以OKAK.设c是北纬40的纬线长，因为AOB=OAK=40，所以c =2AK 答：北纬40纬线长约等于3.066104km.C3.066104（km）.23.14263700.7660，= 2OAcosOAKABOK40由计算器算得2、例题讲解一：球表面积和球体积公式练1：地球和火星都可近似地看成球体，地球半径为6370km,火星的直径约为地球直径的一半. 1）求地球的表面积和体积 2）火星的体积约为地球体积的几分之几？例1：一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？分析：分别计算它们的体积进行比较4cm12cm例2：一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求钢球的半径.3cm8cm3cm8.5c