68 线性空间的同构

1、第六章线性空间学习单元8:线性空间的同构.导学学习目标：了解同构映射的概念，掌握线性空间同构的概念；理解同构映射的性质；掌握线性 空间同构的判别。学习建议：建议大家多看书，认真阅读定义，理论联系实际，通过具体线性空间去理解相关概 念与结论，对例题要深刻理解，认真完成练习题。重点难点：重点：线性空间的同构映射的概念与性质。难点：同构映射在实际问题中的应用。.学习内容一.n维线性空间中向量与坐标的对成关系令V为P上n维线性空间，以,l ,a为V的一个基，V中每个向量在a ,L ,a下有唯 1n1n一的坐标，令a a在aL ,气下的坐标即当 a = x a + L + x a 时，a (a) = (

2、x ,L , x )。11nn1n命题a为V到pn的一一映射(双射)，并且a (a + P) =a (a) +a (P), a, P e V ；b(koc) = hJ(oc), k e P,a e V o注：这种对应正是几何问题转化为代数问题的理论依据。二触空间同构的谶定义 设/与广均为数域尸上线性空间,若存在/到广的双射满足。(1 )(j(ol + P) =j(oc)+cy(P), a,P e V (即b 保持加法 1(2) b(*ot) = *b(ot), keP.a eV (即。保持数乘X则称b为丫到广的一个同构映射。若/到广之间存在同构映射/则称/与广同构/记为V V O定理 设/为数

3、域P上维线性空间，则号叽三空间同构的1令虬广为尸上线性空间，为/到广的同构映射。.。(0) = 0, b (-a) = -a o G(ka +L +ka ) = k(J(a )+L +ko(a ) o1 1r r 11r r. a ,L ,a为/中一个向量组，贝U TOC o 1-5 h z 1ra,L ,a线性相关当且仅当b(a ),L q(a )线性相关。 1r1r. dimV = dimV，特别当U时/ q l为U到U)的同构映射/且1H 11dimV =dimc)(V), a(V) V o iii.为广到/的同构映射。6.令wv”为尸上线性空间，为/到广的同构映射/ t为广到广的同构映

4、射/ 则侄为/到广的同构映射。命题 线性空间之间的同构关系为一个等价关系。定理 设/与广为户上两个有限维线性空间贝呃=广的充要条件是 dimV = dimV o例设a ,a ,L ,a是维线性空间丫的一个基，A是一个庭矩阵， TOC o 1-5 h z 12n(P ,L ,P ) = (a ,L ,a )A。1s1n证明 dimL(& ,L , & ) = R(A)。 1S证明方法一：令R(A) = r，只需证 R(& ,P ,L ,p ) 二 r 即可。v 712s对刀，存在阶可逆阵尸和S阶可逆阵。，使得a_pR LoA |_0 OJ于是E 01 TOC o 1-5 h z (P,L ,p

5、) = (a,L，1dl_即E 0-(P,L ,P)2-i=(a,L6 0 令(y，L ,y) = (P，L ,P)2-i，叫L ,气) 二(%L ,a尸，1 s 1 s则y,L ,y与& ,L ,&等价fL，气与以L ,气等价。 TOC o 1-5 h z sis又w I v)- (n L ri )E, l / 所以乂(时，匕)-(气,l，气七0 oy =r ,L ,y =，Y =0,L Y =0J 11r r r+1s故 R(y ,L ,Y )= , 所以R(&，L 也)。IS1方法二：令b为/到”的一个同构映射，则(&),L ,(押) = (a(a ),L ,(a(a )Ao将(a)9(

6、|3)都写成列向量，则(。(，。(叩)为一个阶可逆阵，从而矩阵i i(b (P ),L q (P )的秩=R(A)，故向量组b (P ),L q (P )的秩为r，于是P ,L , 0的秩为r。1s1s1s【教师解读】在代数系统的研究中，同构是一个重要问题，不同的代数系统中元素不同，运算定 义也不同，通过同构可以对它们进行比较，利用同构可以将抽象的代数系统转化为具体 的代数系统。拓展资料1 .设R ,为全体正实数的集合，R为实数集，R ,的加法及数量乘法规定为：ab = ab a, b e R +, k a E, a e R +, k e R。R +对如上规定的加法与数量乘法作成R上的 一个线性人间；R对普通数的加法及乘法作成R上的线性空间，试找出r