第8章位移法.

1、第八章 位移法8-1 位移法基本概念8-2 等截面直杆的刚度方程8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算8-4 对称结构的计算8-5 支座移动、温度变化及具有弹簧支座8-6 斜杆刚架的计算8-7 剪力分配法结构的计算28-1 位移法基本概念一、 位移法基本概念1. 位移法基本未知量 取结构内部结点的角位移或线位移作为基本未知量。 上图示连续梁，取结点B的转角B作为基本未知量，这保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协调。qABCllEIEIB32. 位移法步骤20 8FFBABCqlMM 1）在B结点加附加转动约束( )。附加转动约束只阻止结点的转动，不阻止结点的线位移。此时产生固端弯矩。qABCqC

2、BFBCM0B 2）令B结点产生转角 。此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角 时的单跨梁。BB( )400BBABCMMM2338BABBCBqlMiMi3）杆端弯矩表达式由结点B平衡可得ACBii3BiAiBBBCi3BiBEIil4）建立位移法方程并求解55） 作弯矩图B将求得的 代入杆端弯矩表达式得到2222223348163816816BABBCBqlqlMiiiqlqlqlqlMi 2()48BqliM 图223308608BBBqliiqliABC2332ql216ql6小结：1）位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不包括支座结点）的转角或线位移。2）选取内部结点的位移作为未

3、知量就满足了变形协调条件；位移法方程是平衡方程，满足平衡条件。3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。7二、 位移法基本未知量 位移法的基本未知量是结构内部结构结点（不包括支座结点）的转角 和线位移。 不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是因为：1）减少未知量的数目；2）单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移（转角、线位移）的影响，如下图示。28FABqlM 212FFABBAqlMMABqqAB842BAABAAMiMi3ABAMi 在确定结构的基本未知量之前，引入如下假设：对于受弯构件，忽略

4、轴向变形和剪切变形的影响。ABiEI lABAiEI lA91结点转角未知量结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。ABCBABCDE BCABCD BC10 从两个不动点（无线位移的点）引出的两根无轴向变形的杆件，其交点无线位移。 若一个结构需附加n根链杆才能使所有内部结点成为不动点（无线位移），则该结构线位移未知量的数目就是n。2结点线位移未知量用附加链杆的方法确定结点线位移未知量。不动点如右图示：AAA11附加链杆ABCDEA为有限值BHCHABCDABCDEA BHCHABCBHCHBDC DEBHB128-2 等截面直杆的刚度方程一、符号规则1杆端弯矩 规定顺时针方向为正，逆时针方向

5、为负。杆端弯矩的双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。MBAMCB ABCMBC132结点转角顺时针为正，逆时针为负。 杆件两端相对侧移，其与弦转角 的正负号一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3杆件两端相对侧移BAlABlABCDC( )B( )Fp141. 两端固定梁二、等截面直杆的刚度方程EIilABEIABlABEIMABMBAABl6ABBAiMMlAiBA4ABAMi2BAAMiAiBBABiMABMBA2ABBMi4BABMi15642ABABiMiil624BAABiM

6、iil642624ABABBAiMiiliiiMl 式中系数4i、2i、6i/l 称为刚度系数，即产生单位杆端位移所需施加的杆端力矩。由上图可得：可写成：上式就是两端固定梁的刚度方程。162. 一端固定、一端辊轴支座的梁 33ABAiMilBAEIAlEIilBAiA3ABAMiBAi3ABiMl ABM173. 一端固定、一端滑动支座的梁ABAMiBAAMi BAEIMABMBAAEIil184. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。 64ABAiMil62BAAiMil1)BAMABMBAEIilABAMABMBAEIilA1933ABAiMilABAMiBAAM

7、i 2)BAMABMBAAEIilBAMABMBAAEIil3)BAMABEIilABAMABEIilA201. 两端固定梁8pFFABBAF lMM三、固端弯矩212FFABBAqlMMqABlFpAB/2l/2l212ql224ql8PF l8PF l8PF l212ql 单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。212. 一端固定、一端辊轴支座的梁28FABqlM 316FPABF lM ABl216qlFpBA/2l/2l532PF lq28ql316PF l223. 一端固定、一端滑动支座的梁 23FABqlM 26FBAqlM 2

8、FPABF lM 2FPBAF lM 各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABl23ql26qlABlFp2PF l2PF lq2328FABqlM 28FBAqlM四、正确判别固端弯矩的正负号ABlABlqq28FABqlM28FABqlMqBABAq248-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算一、无侧移刚架的位移法求解建立位移方程有两种方法：1）直接利用平衡条件建立位移法方程。2）利用位移法基本体系建立位移法方程。25解： 令例8-3-1 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。EIil1. 利用平衡条件建立位移法方程ABCDE8kN/miii4m4m4mi1）未知量：B D( ) (

9、)262）列出杆端弯矩表达式44210.67BABBDBDMiMii32410.6742.67DCDDBBDDEDMiMiiMi2ABBMi21.33EDDMi a) 固端弯矩ABCDE8kN/miiii0B0Db) B 产生杆端弯矩iABCDEiii0DB( )c) D 产生杆端弯矩iABCDEiiiD0BD( )B273）建立位移法方程并求解0BM0BABDMM0DM0DBDCDEMMM由结点B和结点D的平衡条件可得：8210.670BDii28320BDii120.356/ ()Bi3.911/ ()DiMBDMBABMDBMDCMDED284）作弯矩图0.71.ABMKN m1.42.

10、BAMKN m1.42.BDMKN m 27.02.DBMKN m11.73.DCMKN m38.76.DEMKN m 25.24.EDMKN m 将求得的 B 、 D 代入杆端弯矩表达式得：M 图(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.73292. 利用位移法基本体系建立位移法方程1）求刚度系数( )( )1B 2D 解:10B 2D0 F1PF2P10.6742.6721.67ABCDEMP 图10.6710.670F1PBF1P= -10.670F2PD10.6742.67F2P= -32304i4ik11Bk11=8i0k21D2ik21=2i

11、02D0 11()B k11k212i4i2i4iABCDE1M 图312i0k12Bk12=2i3ik22D4ik22=8ii10B 2D1() k12k22ABCDE2ii4i3i2M 图321111221211222200PPkkFkkF F1P= -10.67F2P= -32k11=8ik12=k21=2ik22=8i12128210.6702832 0iiii 2）建立位移法方程 上述刚度系数实质上是刚结点附加转动约束产生的反力矩，由于原结构并没有附加转动约束，各附加转动约束上的反力矩之和应等于零，据此可以建立位移法典型方程。 位移法标准方程的物理意义：每个结点附加转动约束的反力矩之

12、和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法方程是平衡方程。331. 利用平衡条件建立位移法方程24EIi 二、有侧移刚架的位移法求解DE1）未知量：4m1m4m2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例8-3-2 用位移法求图示刚架内力图。解：( )( )2）列出杆端弯矩表达式3421414620.75224320.750.75213 2241.5484DCDADEDEDEDADDEDEBEEEMiiMiiMiiMiiiiMi a）固端弯矩b）D 产生的杆端弯矩2kN/m14kNEABCDii/22i0D0E EABCDii/22iDD0E ( )EEEABCDii/2

13、2i0DE( )c） 产生的杆端弯矩E353）建立位移法方程并求解0DM0DCDADEMMMMDCMDAMDED由结点D平衡：50.75140DEii B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBE0AM1()41 (31.5)4 0.750.375QDADAADDEDEFMMiiii DA柱：作CE梁隔离体，求柱剪力。1360BM1242441 ( 1.54)44 0.3753QEBBEEEFMii EB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBE0 xF 0QDAQEBFF( 0.750.375)(0.3753)0DEEiii 0.750.7530DEi

14、i CE梁2378()Ei 解方程组、，得4()Di 4）作内力图16.BEMkN m4820.752 ()0.75 ()862.DADEMiiiiiikN m 14.DCMkN m12.DEMkNm2.ADMkN m38EABCD1412216EABCD1438.MkN m图()()QFkN图3EFNEB=3kN14141433DFNDA= -17kNEABCD17FN=03()NFkN图392. 利用位移法基本体系建立位移法方程1）求刚度系数未知量：( )1B ( )2E F1P=14D 1414kN0D0EEABC D2kN/m4kN.mF1PF2PMP图14kN.mB042kN/m14

15、kNEACDF2PF2P=33FQEBF(2 4 24)/43FQEBF 40 3ik11=5iD 2ik110E EABCD i i/2 2i2i i3 i-0.75i 0iEACDBk21= -0.75i1()D1M图2i41k12= -0.75iD 0.75i1()E0D 1.5ik12EABCDii/2 2i 0.75i 0.75ik222M 图0.375i0.375i 0.75i 0.75iEACDBk22=0.75i 1.5i422）建立位移法方程并求解1111221211222200ppkkFkkF k11=5i k12= k21 = -0.75ik22=0.75i F1P=14

16、 F2P=3121250.751400.750.7530iiii 附加转动约束的反力矩之和等于零附加链杆上的反力之和等于零28()Ei 3）杆端弯矩1212PMMMM 14( )Di 内力图见前图。43 8-4 对称结构的计算 结构对称是指结构的几何形状、支座条件、材料性质及各杆刚度EA、EI、GA均对称。 利用结构对称性简化计算，基本思路是减少位移法的基本未知量。一、奇数跨刚架 分析与对称轴相交截面的位移条件，在根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。1. 对称荷载44 对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均对称。000BBHBV 在取半边结构时，B截面加上滑动支座，但横

17、梁线刚度应加倍。 与对称轴相交截面B的位移条件为:未知量C FP FP B i2 i1i12i2 i1BC FP45 B i i1 i2 i i1 i2i FP FP0 ,0 ,0BBHBVi i1 i22 iBC A未知量,AC FP460,0,0,0BHBVBB左右2反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均反对称。 FPi2 i1BC未知量C FP FP B i2 i1 i1 i2470,0,0BBHBV B i2 i1 i1 FP FPB 2i2 i1 C未知量,CCH FP480,0,0BBHBV二、偶数跨刚架偶数跨刚架不存在于对称轴相交的截面。1. 对称荷载 FP FP

18、Bi2i ii2i1 FP Bi2 i492. 反对称荷载FPBII1/2I2 将中柱改为跨度为 的小跨，则原结构变为奇数跨。利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论就可以得到图示简化结果。dlFPFPBIII1I2 I2 dlFPFPBIII1/2 I1/2I2 I2 FPBII1/2I2 50例8-4-1 作图示结构 M 图。三、举例FPi0i0i1i12i1解： i0i0i1i12i1FP/2FP/2M=0FN= -FP/2 FN= -FP/2 2i1i0i0i1i1FP/2FP/251M图（FP h）FP/2i0i1i1i0i1i1FP/4FP/4M=0FN= -FP/4 i0i1i1F

19、P/4FP/4BFP/42i0i13FP h/28FP h/7AChFP32832832831427171732801)ii(令52例8-4-2 作下图示结构M 图。解:FPFP/2FP/20CBIIII2IIIlllFP/2FP/20IIIIBCIIIBCFP/4FP/4IBFP/4IIIIBCFP/4FN= -FP /4M=0533 26CACCMii 18CBCpMiF l18BCCpMiF l 0 CM 0CACBMM1708CpiF l M图（FP l）3283283283281 71 72ii=EI/lFP/4BACC( )1()56CpF li2iFP/4IBi=EI/l54四、

20、对称温度变化时的求解1. 奇数跨刚架取半边结构求解。I1I1IB30C30C30C10CIB30C10CI130CCA未知量C( )552偶数跨刚架例8-4-3 作下图示结构M图。刚架各杆为矩形截面，截面高为0.6m，各杆EI相同。解：B( )取如图半边结构，未知量 。a)b)ACDt2=-30 Cl=6m h=4m Bt2=-30 C t2=-30 CABCDEFl=6m l=6m h=4m t2=-30 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C 561）各杆两端相对侧移杆AB缩短040t h杆CD伸长040t h杆BC缩短060

21、t l60AB则AB、BC杆相对侧移为:(4040 )80BC c)ABBCABCDt0=-10 C t0=-10 C t0=10 C 572）求固端弯矩2666022.54FFABBAABiEIMMEIh相对侧移 AB、 BC产生的固端弯矩为:266( 80 ) 13.36FFBCCBBCiEIMMEIl-4066.670.6FFABBAtEIEIMMEIh 杆两端温差 t产生的固端弯矩为:-4066.670.6FFBCCBtEIEIMMEIh d)ACDl=6m h=4m Bt= 40 C t= 40 C t= 0 C 583）杆端弯矩表达式：2222.566.70.589.24FABAB

22、BABBBEIMiMEIEIEIEI4422.566.71.044.24FBAABBBABBEIMiMEIEIEIEI4413.366.70.6753.36FBCBC BBCBBEIMiMEIEIEIEI2213.366.70.3380.06FCBBCBCBBBEIMiMEIEIEIEI4）建立位移法方程并求解：0BM0BABCMM1.044.20.66753.30BBEIEIEIEI1.679.10BEIEI5.4 ()B595）回代求杆端弯矩并画弯矩图0.589.20.55.489.286.5ABBMEIEIEIEIEIBA49.6MEIBC49.6MEI CB81.8MEI 在温度变化作

23、用下，超静定结构内力与杆件EI 的绝对值成正比。CBADFEM 图49.6EI86.5EI81.8EI49.6EI86.5EI608-5 支座移动、温度变化及具有 弹簧支座结构的计算一、支座移动时的位移法求解解题思路：1）锁住结点，即令结点位移未知量等于零；2）令结构产生已知的支座移动，此时各杆产生固端弯矩；3）令结构分别产生结点位移，此时各杆产生杆端弯矩；4）叠加2)、3)的结果就求得各杆最终的杆端弯矩。61例8-5-1 作下图示结构 M 图。解：( )未知量BEIil。1）杆端弯矩表达式64BABiMil62ABBiMil33BCBiMilABCEIEIllA0BBCEIEIllABCEI

24、EIllB622）建立位移法方程并求解0BABCMM370Biil 63430BBiiiill 0BM3()7Bl3）作弯矩图263630444.28677BABiiiEIMiilllll 233330334.28677BCBiiiEIMiilllll 263636225.14377ABBiiiEIMiilllll 63 在支座移动作用下，超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比。M 图2()EIlABC5.1434.286 结构弯矩图如下图示。 CABCEI、lEI、lAEI、lD思考题:下图示刚架结点B、C有向右位移动 , 作结构内力图。64二、 弹簧支座的处理增加未知量 根据弹簧支座所在的

25、位置，有时需要增加位移法未知量。不增加未知量未知量BABCkFPABCDEIEIl2EIklBH=CH=未知量AEA 65例8-5-2 求下图示结构M 图。EIil22EIkil1）未知量解：( )( )ABH=CH=，。2）杆端弯矩表达式杆端弯矩由三部份组成：FPABCDEIEIl2EIklEA 6633ABAiMil3D CiMl FPABCDEIEIl2EIklEA A0、 =0时由荷载产生的固端弯矩。本题为结点荷载，固端弯矩为零；=0时由 产生的杆端弯矩；A0时由 产生的杆端弯矩。123A67ADMABMDCFPFQBAFQCDBC233ABAQBAMiiFlll 23DCQCDMiF

26、ll 0 xF 0QBAQCDPFFF2360APiiFll3）建立位移法方程并求解取BC杆作为隔离体，求剪力FQBA 、 FQCD 。168A BAMk 332AAiiil350Aiil在弹簧支座A处补充平衡方程。解方程组、，得25()21PF li 2()7PAF liMABA22EIkilAAk694）作弯矩图233533721352777PPABAPPPiF liF lMiililiF lF lF l 23355217PDCPiiF lMF llli CABDM 图27PF l57PF l70例8-5-3 作下图示连续梁的M图。1）未知量33EIklqEIABEICllEIil3233

27、EIikll解： 令 ， 。CV= ( )B( )712）杆端弯矩表达式 2138BABMiql33BCBiMilqABC23iklB0、 =0i i ABC 23iklB0 、 0i i ABC23iklB0、 =0i i 723）建立位移法方程并求解0BABCMM231608Biiqll取BC杆作为隔离体，求剪力FQCB 。233BCBQC BMiiFlll 0YF QCBFk 2360Biill0BM21C MBCFQBCFQCBk B733( )72qli 解方程组、，得：4）作弯矩图222211133 ()836824BABqlMiqliqlqli23233133 ()()36722

28、4BCBiqliqlMiiqllili 2()36Bqli ABM 图224ql2548qlC74三、温度变化时的计算在温度变化影响下，杆件轴向变形不能忽略。例8-5-4 作右图示刚架M 图。解:1）未知量( )B( )BH=2）杆端弯矩表达式ABCEIEImmbh=0.5mt1=30 C t1=30 C t2=-10 C B0、 =0时由温度变化产生的固端弯矩；=0时由 产生的杆端弯矩；A0时由产生的杆端弯矩。123B75杆BA伸长杆BC伸长040t l040t l杆BA相对侧移杆BC相对侧移40BC40BA杆伸长产生相对侧移ABCBABCt0=10 C 温差产生的固端弯矩ABC1.5120

29、EIthEI80EIthEIt=40 C 7626640154FFABBABAiEIMMEIl 233407.54FBCBCiEIMEIl 由相对侧移产生的固端弯矩：40800.5FFBAABEIEIMMtEIh 334012022 0.5FBCEIEIMtEIh 由杆两侧温差产生的固端弯矩：77158095FABMEIEIEI7.5120112.5FBCMEIEIEI总的固端弯矩为杆端弯矩表达式为158065FBAMEIEIEI 262950.50.3759544ABBBEIEIMEIEIEIEI3112.50.75112.54BCBBEIMEIEIEI264650.3756544BABBE

30、IEIMEIEIEIEI 783）建立位移法方程并求解0BABCMM1.750.37547.50BEIEIEI (0.37565) (0.75112.5)0BBEIEIEIEIEI取隔离体，求剪力FQBA ：AMBAMABFQBABC1()4QBAABBAFMM 0 xF 0QBAF1.50.75300BEIEIEI 0A BB AMM0BM217925() 解方程组、，得：4）作弯矩图88.125ABMEI88.125BCMEI88.125BAMEI 32.5 ()BBACM 图88.125EI808-6 斜杆刚架的计算 解带斜杆的刚架，关键是如何确定斜杆两端的相对侧移。 确定斜杆两端的相对

31、侧移需要画位移图。其思路是：根据已知两个结点线位移的大小和方向确定第三个结点的线位移。 如下页图示装置，已知结点A、B线位移的大小和方向，求结点C的线位移。81多边形 为所求位移图。12CC C C CB C A B C2 A C AABBC1 C C2 C C1 为此，将AC、BC杆在C结点拆开，CA杆平移到 ，CB杆平移到 。然后， 杆绕 旋转， 杆绕 旋转，两杆交点为 ，则 即为结点C的线位移。1AC2B C1ACA2B CBCCC82B C BCA AO 3）C结点线位移为 。OCC 右图即为所求的位移图。作位移图具体步骤：2）过A作AC垂线，过B作CB垂线，两垂线交点为C。1）取极点

32、O，过O作 与 平行线，并截取 ， 。OAA OBB AABB83例8-6-1 作图示刚架M图。1）未知量解：A B C i 2i dFP d/2dBH=( )B( )2）画位移图，确定各杆相对侧移 。 2BABC 2A ,oCB2A B C dFP d/2d84626442BABBiiMiidd3 2 ()123 26/2BCBBiiMiidd62ABBiMid(2 )BA()BC 4）建立位移法方程并求解0BABCMM61 00Biid结点B0BM13）杆端弯矩表达式85取AB杆为隔离体，求剪力FQBA 。1112()(6)22QBAABBABiFMMiddd A B C o MBAMAB

33、MBAFQBAFQBAFP2 /2dFyC/2d考虑BC部分平衡：2022PQBABAddFFM21126(6)40222PBBddiiFiiddd121702BPiiF dd0OM28625()162PF di 解方程组、，得：5）作弯矩图727BAPMF d 29ABPMF d 727BCPMF dM 图()54PBF di 29PF d727PF dA B C FP 87例8-6-2 作图示结构 M 图。4EIi 0.85224EIiEIiA B C D EI EI 2EI (i) (2i) (0.8i) 4m 4m 4m 3m 1kN/m解：1）未知量BH= ( )882）画位移图，确

34、定各杆相对侧移。 BD 53BC 321.54DBiMi 23 0.851()1 40.82538CBiMi 3）杆端弯矩表达式B C 4353O, D4）建立位移法方程并求解8910.3754QBDDBFMi 考虑ABC部分平衡：3240QBDCBFM3 0.37580.820ii 5.195()i 1.925100i 取杆BD为隔离体，求剪力FQBD 。0OMA B C D 1kN/m MDBMCBFQDBFQBD2kN4m4m3moB 905）作弯矩图7.79.DBMkN m2.16.CBMkN m M 图(kN.m)2.163.0827.79A B C D 91 注意带滑动支座单跨斜梁

35、固端弯矩及刚度系数的求解。= = B C q B C q a)b)B C q q B C 924BCBMi2CBBMiB C Bie)C FP 0FCBMB C FP 0FFBCCBMMB c)d)93 8-7 剪力分配法1）横梁抗弯刚度EI的刚架（EA总认为趋于无穷大）。2）铰接排架中，横梁EA的结构。 用位移法求解时，若结构的结点位移未知量只有线位移而没有角位移，则适用于无剪力分配法。下列两类结构可能满足上述条件：94EI EI EA B EA EA 95一、水平结点荷载作用的情况例8-7-1 作图示结构 M 图。312123123,EIEIEIiiihhh1）未知量 解：A C E B

36、D F I1 I2 I3 h1 h2 h3 EA EA FP ( )2）杆端弯矩表达式113BAiMh 223DCiMh 333FEiMh 963）建立位移法方程并求解112113BAQABMiFkhh 222223DCQCDMiFkhh 332333FEQEFiMFkhh 求各柱剪力。11213ikh22223ikh33233ikh k1、k2、k3称为柱的侧移刚度，在数值上等于该柱两端产生相对侧移=1时柱的剪力值。MBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB AC D F E h1 h2 h3 EA EA 97考虑ACE部分平衡 0 xF 0QABQCDQEFPFFFF123()PkkkF 123PPFFkkkk 123kkkkMBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB AC D F E h1 h2 h3 EA EA 984）求各柱剪力并画弯矩图111QABPPkFkFFk 22