第三章 污染扩散基本理论

1、第三章第三章 空气污染物散布的基本理论处理空气污染物散布的基本理论处理 梯度输送理论梯度输送理论 湍流统计理论湍流统计理论 相似理论相似理论空气污染物扩散过程由空气污染物扩散过程由湍流运动湍流运动和和气气流平均速度流平均速度差决定差决定常用两种方法描述：常用两种方法描述： 欧拉方法欧拉方法 拉格朗日方法拉格朗日方法jjjuuu欧拉方法：相对固定坐标系描述污染物欧拉方法：相对固定坐标系描述污染物的输送和扩散。采用的输送和扩散。采用雷诺平均的扩散方雷诺平均的扩散方程程，存在，存在不闭合不闭合问题（技术难点）问题（技术难点）拉格朗日方法：跟随流体移动粒子来描拉格朗日方法：跟随流体移动粒子来描述污染浓

2、度变化。采用粒子运动统计方述污染浓度变化。采用粒子运动统计方法，适用于法，适用于平稳和均匀平稳和均匀湍流，存在局限湍流，存在局限欧拉方法和拉格朗日方法比较欧拉方法和拉格朗日方法比较将将 代入方程，并求雷诺平均代入方程，并求雷诺平均( (参考参考stull,stull,第三章第三章) )jjjuuu212(,., )( , )iijiiiNijjjqqu qDR q qqTS x ttxxx 211()(,., )( , )iijijiiiNNijjjjqququ qDRqqqqTS x ttxxxx 欧拉方法污染物平流扩散方程欧拉方法污染物平流扩散方程局地变化项局地变化项平流项平流项分子扩散项

3、分子扩散项化学反应项化学反应项源项源项湍流扩散项湍流扩散项大气边界层平均量方程大气边界层平均量方程- - 湍流闭合问题湍流闭合问题 大气运动基本方程组（状态方程、质量大气运动基本方程组（状态方程、质量守恒（连续方程）、动量守恒守恒（连续方程）、动量守恒 （动量方程（动量方程三个分量）、热量方程、水汽守恒（标量守三个分量）、热量方程、水汽守恒（标量守恒）七个方程联立解七个变量，多了湍流恒）七个方程联立解七个变量，多了湍流脉动量，出现湍流扩散项如何表达，即闭合脉动量，出现湍流扩散项如何表达，即闭合问题问题欧拉方法污染物平流扩散方程欧拉方法污染物平流扩散方程( )( )()iiiiiiiqqqqu

4、qv qw quvwtxyzxyziiSRchemis平流输送项平流输送项湍能扩散项湍能扩散项源排放项源排放项干湿沉降干湿沉降化学反应化学反应分子扩散项分子扩散项忽略不计忽略不计欧拉方法污染物平流扩散方程欧拉方法污染物平流扩散方程解析解：解析解：采取各种近似简化条件采取各种近似简化条件数值解：数值解：考虑风场、湍流场、源强的时考虑风场、湍流场、源强的时 空分布，考虑干湿沉积过程及空分布，考虑干湿沉积过程及 化学反应化学反应( )( )()iiiiiiiqqqqu qv qw quvwtxyzxyziiSRchemis 解析解：简单实用，广泛应用于解析解：简单实用，广泛应用于环评业务工作领环评业

5、务工作领域域，适用于均匀定常大气状况，有一定局限，适用于均匀定常大气状况，有一定局限数值解：考虑风场、湍流场、源强的时空变化，数值解：考虑风场、湍流场、源强的时空变化，考虑干湿沉积过程及化学反应，物理过程全面，考虑干湿沉积过程及化学反应，物理过程全面，计算复杂，通常在大气科学相关研究领域进行计算复杂，通常在大气科学相关研究领域进行研研究究，近年来应用于气象及环境相关业务部门，近年来应用于气象及环境相关业务部门altitude沿经纬和垂直方向沿经纬和垂直方向划分离散化网格划分离散化网格xyz数值模拟概念模型数值模拟概念模型大气分层大气分层（本例31层）大气上界大气上界地表地表800 hPa200

6、 hPa400 hPa600 hPa中心差分中心差分蛙跳蛙跳半显式半显式非中心差分非中心差分显式显式隐式隐式tttXttXttX2)()()(ttXttXttXtttX)()()()(21tttXtXttX)()()(ttXttXttX)()()(动量守恒动量守恒 静力平衡方程（非静力平衡）静力平衡方程（非静力平衡）连续方程（质量守恒）连续方程（质量守恒）热力学方程（能量守恒）热力学方程（能量守恒）水汽守恒水汽守恒( (标量守恒标量守恒) )气体定律气体定律动力学保守变量守恒动力学保守变量守恒应用时间应用时间发展方程发展方程计算出新的状态计算出新的状态 Dt 时间后时间后(时间步长时间步长)初

7、始时刻初始时刻 P, T, Q, U(初值初值)新状态新状态t = t0 + D t 初始状态初始状态t0时间发展方程时间发展方程 (P, T, Q, U)基本概念基本概念Dt 即模式的时间步长。可即模式的时间步长。可从天气预报的几分钟，例如从天气预报的几分钟，例如3分钟，到气候模式的半小分钟，到气候模式的半小时不等时不等t = t0 +D t t = t0 +2D t etc.最终状态最终状态t = t0 + 预报时间预报时间初始状态初始状态t0基本概念基本概念 考虑一微粒考虑一微粒 位于位于 ，其轨迹由，其轨迹由 描述描述设粒子于设粒子于t 时间在一体积元的机率为时间在一体积元的机率为 为

8、时间为时间t，粒子位置的概率密度函数，并有，粒子位置的概率密度函数，并有tx( , , )X x t t 123123( , )( , )x x x t dx dx dxx t dx( , )x t( , )1x t dx M M个粒子，则在个粒子，则在 点的平均浓度为点的平均浓度为x1(, )(, )miiq x tx t( , )( , , ) ( , )x tQ x t tx t dx 00000( , )( , , )(, )( , , )( , )ttq x tQ x t tq x tdxQ x t tS x t dt dx 概率密概率密度函数度函数微粒从一点迁移到另一微粒从一点迁移

9、到另一点的概率密度点的概率密度欧拉方法：流体速度统计量，欧拉方法：流体速度统计量，容易测容易测量，但有闭合问题量，但有闭合问题，能够解决化学反，能够解决化学反应等问题应等问题拉格朗日方法：粒子位移统计量，拉格朗日方法：粒子位移统计量，数数学处理容易，但使用范围有限学处理容易，但使用范围有限，不能，不能处理非线性化学反应问题处理非线性化学反应问题瞬时浓度瞬时浓度平均浓度（需指明平均时段方有意义）平均浓度（需指明平均时段方有意义）X轴：平均风向方向轴：平均风向方向Y轴：平均风向横截面轴：平均风向横截面云宽云宽2y2y0 0：沿横风向，污染：沿横风向，污染物浓度下降到等于轴线浓物浓度下降到等于轴线浓

10、度度1/101/10处的两点间距离。处的两点间距离。标准差标准差 : :在某下风距离，在某下风距离，污染物在污染物在y y向位移的方差，向位移的方差，表征与平均值的偏离程度表征与平均值的偏离程度。y大量观测事实表明，污染物以烟流形式排放，并大量观测事实表明，污染物以烟流形式排放，并处在随机的湍流运动中，其浓度分布通常符合在处在随机的湍流运动中，其浓度分布通常符合在平均烟流轴两侧呈现平均烟流轴两侧呈现正态正态分布的规律。分布的规律。当浓度在当浓度在y y轴分布为正态（高斯）分布时，可得轴分布为正态（高斯）分布时，可得22yqyq2220yyqq e表征污染物浓度与平表征污染物浓度与平均值的偏离程

11、度，与均值的偏离程度，与大气扩散能力密切相大气扩散能力密切相关，称为关，称为扩散参数扩散参数利用烟流半宽定义有利用烟流半宽定义有Z Z轴也有相似的轴也有相似的 ， 。 和和 称为称为扩散参数扩散参数。具有如下。具有如下性质性质：1 1 随着距离随着距离x x加长，扩散参数变大，是离源距离的函数。加长，扩散参数变大，是离源距离的函数。2 2 随着大气稳定度变化，越不稳随着大气稳定度变化，越不稳 ， 越大。越大。3 3 相同气象条件，地表粗糙度大，扩散参数大相同气象条件，地表粗糙度大，扩散参数大024.3yyz0zyz22020010yyeqqyz观测经验式（幂指数关系）：观测经验式（幂指数关系）

12、：轴线浓度与扩散轴线浓度与扩散参数的关系：参数的关系：据实验，近中性，近地面源：据实验，近中性，近地面源：在地面源小尺度：中性层结：在地面源小尺度：中性层结： 稳定层结：稳定层结： 不稳定层结：不稳定层结：,:pygzxxp g层结，下垫面121212zyzyzy)(1gpzyxqq8 . 1 gp湍流运动尺度广湍流运动尺度广瞬时：烟道窄，不规则，随方向摆动，浓度高瞬时：烟道窄，不规则，随方向摆动，浓度高长时间：烟道宽，规则，趋于平均，浓度低长时间：烟道宽，规则，趋于平均，浓度低注：采样时间不同，污染物浓度不同，要说明采注：采样时间不同，污染物浓度不同，要说明采样时间样时间 由湍流运动引起由湍

13、流运动引起的局地质量通量的局地质量通量与该地被扩散物与该地被扩散物质的平均浓度梯质的平均浓度梯度成正比，称为度成正比，称为梯度输送理论梯度输送理论, , 又又称称K K理论理论xyzqu qKxqv qKyqw qKz 湍流湍流扩散扩散系数系数注：仅只是方程中湍流通量项求解、即方程闭合求解的一种方法，比注：仅只是方程中湍流通量项求解、即方程闭合求解的一种方法，比较简单实用，但是还存在理论基础上的缺陷，还有其他的闭合方法，较简单实用，但是还存在理论基础上的缺陷，还有其他的闭合方法，例如高阶闭合、大涡闭合等等，见边界层理论例如高阶闭合、大涡闭合等等，见边界层理论()()()dqq uq vq wd

14、txyz ()()()xyzdqqqqKKKdtxxyyzz梯度输送理论梯度输送理论此式为大气扩散常用处理途径。此式为大气扩散常用处理途径。()()()xyzdqqqqKKKdtxxyyzz222222()qqqqKtxyy()()()xyzqqqqqqquvwKKKtxyzxxyyzz大气静止大气静止湍流运动各向同性，且为常数湍流运动各向同性，且为常数1 1 无风瞬时点源无风瞬时点源23/21( , , , )exp()8()4Qq x y z trKtKt222xqx dxKtqdx22232222( )exp222(2 )xyzxyzQxyzq r 排放源强排放源强离源距离离源距离扩散扩

15、散参数参数1 1：t t 0 0；r0r0时时 0; r=00; r=0时时 连续性条件连续性条件2: t2: t 时时 0 0 边界条件边界条件满足以上两个条件，可得扩散方程解为满足以上两个条件，可得扩散方程解为2222rxyzqqq2 无风连续点源无风连续点源 连续点源，可认为浓度处于定常状态，连续点源，可认为浓度处于定常状态， 对瞬时点源的情况下对瞬时点源的情况下t从从0 积分可得积分可得0qt( )4Qq rkr上式可见浓度上式可见浓度 与与Q正比，而与时间无关，与正比，而与时间无关，与距离距离r成反比，与扩散系数成反比。成反比，与扩散系数成反比。q3 有风瞬时点源有风瞬时点源2223

16、/2222()( , , , )exp (2 )222xyzxyzQxutyzq x y z t 采用移动坐标和原坐标解决有风与采用移动坐标和原坐标解决有风与无风差别（平均风速沿无风差别（平均风速沿x轴）轴）可得：可得：2222()qqquKxyz()()()xyzqqqqqqquvwKKKtxyzxxyyzz坐标原点在烟囱口，平均风沿坐标原点在烟囱口，平均风沿x x轴方向轴方向水平方向上扩散远小于输送作用水平方向上扩散远小于输送作用连续点源，为定常条件连续点源，为定常条件湍流运动各向同性湍流运动各向同性()xqquKxxx0qtyzKKK为常数2222( , , , )exp ()222yz

17、yzQyzq x y z tu 有风连续点源解为：有风连续点源解为：此式称为斐克扩散解此式称为斐克扩散解,讨论如下讨论如下: 污染浓度与源强成正比污染浓度与源强成正比; 离源距离越远离源距离越远,浓度越低浓度越低; 扩散系数越大扩散系数越大,浓度越低浓度越低; 污染物在横风向及垂直向符合正态分布污染物在横风向及垂直向符合正态分布表征湍流扩散能力，是粗糙度表征湍流扩散能力，是粗糙度Z0、平均风速、平均风速U、温度梯度温度梯度T/Z及离地高度及离地高度Z的函数的函数动量扩散系数动量扩散系数Km，物质扩散系数，物质扩散系数KKx,Ky1.6104cm2/s；Kz5103cm2/s , Kx,Ky基本

18、保持不变（基本保持不变（10km以内），以内），Kz垂直垂直分布不均匀分布不均匀随着大气层结稳定度的不同，扩散系数分布特随着大气层结稳定度的不同，扩散系数分布特征亦有明显变化征亦有明显变化 14:00 02:00近地层近地层边边界界层层假定假定Kz及及Ky是高度的函数，并与风及其切变相关，见书是高度的函数，并与风及其切变相关，见书公式（公式（2.52）尺度小于尺度小于10km，考虑，考虑Kz的垂直变化，通常需知道风速的的垂直变化，通常需知道风速的垂直分布，见（垂直分布，见（Businger，1971），以近地层相似理论为），以近地层相似理论为基础，见书公式（基础，见书公式（2.53）OBrie

19、n(1970)参数化方案，考虑了近地层高度及混合层高参数化方案，考虑了近地层高度及混合层高度对湍流扩散的影响，反应温度层结和风速廓线对湍流扩度对湍流扩散的影响，反应温度层结和风速廓线对湍流扩散的作用，见书公式（散的作用，见书公式（2.54）Smith（1972），应用于湍流观测资料谱分析，见书公式），应用于湍流观测资料谱分析，见书公式（2.55）Shir（1973），中性边界层，见书公式（），中性边界层，见书公式（2.56）Gambo（1978），复杂冠层下垫面），复杂冠层下垫面数值模式中，例如（数值模式中，例如（NJU-RBLM） Kmh=0.1E1/2lh lh=（ XY ）1/2 Kmv

20、=0.1E1/2lv lv= Z 方法很多，方法很多，Yu（1977）比较工作，根据具体情况选择）比较工作，根据具体情况选择适用的适用的3/221/21/221/2(1)(1)qMmfMHfSUKlRzCSUKlSRzC 梯度输送理论借鉴分子扩散，然而对于湍流运动，梯度输送理论借鉴分子扩散，然而对于湍流运动，通量与梯度之间的线性关系只是一种假定通量与梯度之间的线性关系只是一种假定K不是流体的物理属性而是运动属性，随着运动不是流体的物理属性而是运动属性，随着运动性质的变化而变化，性质的变化而变化，K的确定存在一定困难的确定存在一定困难 当前，中小尺度数值模式大多采用高阶闭合，当前，中小尺度数值模

21、式大多采用高阶闭合，大尺度区域的扩散输送问题仍然采用大尺度区域的扩散输送问题仍然采用K闭合。闭合。3.3 湍流统计理论的湍流统计理论的基本处理基本处理 湍流统计理论湍流统计理论-拉格朗日途径拉格朗日途径 从研究个别微团（粒子）的运从研究个别微团（粒子）的运动途径入手，通过研究湍流脉动场动途径入手，通过研究湍流脉动场的统计性质（如相关，湍强，湍谱）的统计性质（如相关，湍强，湍谱）来描述流场中扩散物质的散布规律。来描述流场中扩散物质的散布规律。 个别粒子的随机运动无法描述，个别粒子的随机运动无法描述，大量大量粒子的集合趋向一个稳定的统计分布粒子的集合趋向一个稳定的统计分布。首要问题：首要问题：初始

22、初始t=0t=0时刻，从源发出的大量粒子经时刻，从源发出的大量粒子经过过T T时间后散布如何？时间后散布如何？不能回答某一个粒子的位移距离，但可不能回答某一个粒子的位移距离，但可以给出以给出T T时刻粒子在每个位置出现的概时刻粒子在每个位置出现的概率，即能否求出率，即能否求出随机函数随机函数y(t)y(t)的概率分布。的概率分布。对于概率相同的无规则行走问题，当步对于概率相同的无规则行走问题，当步数充分大时，有：数充分大时，有：1 所走距离的概率分布接近正态分布所走距离的概率分布接近正态分布2 其位移均方根（标准差）与行走时间其位移均方根（标准差）与行走时间 的平方根成正比的平方根成正比 假设

23、平均速度为零，即认为坐标系和整个流体假设平均速度为零，即认为坐标系和整个流体一起以平均速度运动一起以平均速度运动脉动运动的速度方差为脉动运动的速度方差为 。 若统计量若统计量 不随时间变化，则湍流场是平稳场不随时间变化，则湍流场是平稳场协方差协方差 反映湍流反映湍流空间大小空间大小和和寿命长短寿命长短.2u2u( ) ()u t u t一一 湍流扩散的拉格朗日描述与特征湍流扩散的拉格朗日描述与特征0)( )( )( )( )( 02tututututu 根据相关系数概念根据相关系数概念: 若为平稳湍流，则统计量与湍流起始时刻若为平稳湍流，则统计量与湍流起始时刻无关，只取决于时间间隔，并有：无关

24、，只取决于时间间隔，并有：R( )偶偶函数，相对于纵坐标对称。原点函数，相对于纵坐标对称。原点R=1,足够足够大大 时，时，R0.2( ) ()( ,)u t u tR t tu1( )1R Taylor（1921）用统计理论处理扩散，将）用统计理论处理扩散，将浓度分布标准差与湍流脉动统计量联系。即描浓度分布标准差与湍流脉动统计量联系。即描述述拉格朗日相关系数拉格朗日相关系数 和扩散参数和扩散参数 的定的定量关系量关系 推导参见书推导参见书P36( )LRy22200( )2( )TtyLy TvRd dt 湍流脉动速度方差湍流脉动速度方差格朗日相关系数格朗日相关系数 定常均匀定常均匀的湍流场

25、中，粒子的湍流的湍流场中，粒子的湍流扩散范围取决于扩散范围取决于湍流脉动速度方差湍流脉动速度方差和和拉拉格朗日格朗日相关性。相关性。 湍流强度越大，脉动速度的拉格朗湍流强度越大，脉动速度的拉格朗日相关系数越高，则粒子散布范围越广。日相关系数越高，则粒子散布范围越广。 运用积分法则进行公式变换，见书运用积分法则进行公式变换，见书P37同理可得到同理可得到x方向及方向及z方向上的位移方差方向上的位移方差222000( )2( )2()( )TtTLLy TvRd dtvTRd 222000222000222000( )2 ( )2 ()( )( )2( )2()( )( )2 ( )2 ()( )

26、TtTLLuTtTLLvTtTLLwx TuRd dtuTRdy TvRd dtvTRdz TwRd dtwTRd RLu、 RLv、 RLw 分别为三个速度分量的拉格朗日相关系数1：当：当T 时，即扩散时间足够长时，有时，即扩散时间足够长时，有220( )2( )ttLy Tv L TLRdtL(2.65)上式说明：上式说明：T足够大时，足够大时，2( )y TT拉格朗日相关时间尺度拉格朗日相关时间尺度2：T 时，即扩散时间短，时，即扩散时间短，R1,将拉格朗日将拉格朗日相关系数按幂级数展开，略去高次项，有相关系数按幂级数展开，略去高次项，有tL22( )1LR (2.66) 称为拉格朗日微

27、尺度，将（称为拉格朗日微尺度，将（2.66）代入可）代入可得：得： 即即222( )y TvT22yT3：当当T与与 同量级时，同量级时， 不仅与不仅与T有关，而且有关，而且与拉格朗日曲线的形状有关。与拉格朗日曲线的形状有关。tL2y实现用脉动速度的统计特征量来描写扩散参数实现用脉动速度的统计特征量来描写扩散参数扩散问题统计处理的根本目标是找出描述粒子位扩散问题统计处理的根本目标是找出描述粒子位移的概率分布，扩散粒子散布方差只是其中主要移的概率分布，扩散粒子散布方差只是其中主要统计特征量，还需进一步找出概率分布函数的具统计特征量，还需进一步找出概率分布函数的具体形式。其难点在于湍流场的非定常，

28、非均一性。体形式。其难点在于湍流场的非定常，非均一性。泰勒公式是理想状况下导出的，在下垫面平坦，泰勒公式是理想状况下导出的，在下垫面平坦，气流稳定的小尺度扩散适用，超出这样的范围需气流稳定的小尺度扩散适用，超出这样的范围需作一定的修正。作一定的修正。3.4 相似理论的相似理论的基本处理基本处理Monin(1959),Batchelor(1959,1964),Gifford(1962)发展的相似理论，在近地层大气湍流中占有发展的相似理论，在近地层大气湍流中占有重要地位。重要地位。拉格朗日相似假设：近地层中，流体质点的统拉格朗日相似假设：近地层中，流体质点的统计特征完全可用确定的欧拉特征的参量来确

29、定。计特征完全可用确定的欧拉特征的参量来确定。中性大气：参量中性大气：参量非中性大气：参量非中性大气：参量 和和 ,可用莫宁可用莫宁-奥布霍奥布霍 夫长度夫长度L表示表示*uTH*uzxu *pcHgTuL3*()dZZbudtL式中式中b和和 为待定的普适常数和普适函数，中性时，为待定的普适常数和普适函数，中性时，进一步假设相应的水平位移的增长率等于在与进一步假设相应的水平位移的增长率等于在与 有关的有关的高度处的平均风速，表示为高度处的平均风速，表示为 1Z()d Xu cZdt垂直风速垂直风速水平风速水平风速(1)(2)用量纲分析的方法可得到：用量纲分析的方法可得到：1 基本数学处理基本

30、数学处理中性层结，风廓线为中性层结，风廓线为代入（代入（1 1）和（）和（2 2），并积分得），并积分得*0ln()uzuz00ln1(1 ln )zZcZXcbzZ 卡曼常数，取卡曼常数，取0.4左右左右近近地地层层相相似似理理论论Ellison,取取b=k=0.40* ( )()zuzuffLL非中性层结，风廓线为非中性层结，风廓线为代入（代入（1）和（）和（2），并积分得），并积分得00()()1()zzczczffLLXdZbZL 相似理论是以量纲分析为基础，基本原理相似理论是以量纲分析为基础，基本原理为拉格朗日相似性假设，其物理模型有两点：为拉格朗日相似性假设，其物理模型有两点：1：

31、粒子扩散特征与流场的拉格朗日性质：粒子扩散特征与流场的拉格朗日性质相相关，而流场的拉氏性质可以用欧拉参量表示。关，而流场的拉氏性质可以用欧拉参量表示。2：近地层中，表征流场欧拉性质的参量主：近地层中，表征流场欧拉性质的参量主要有要有摩擦速度摩擦速度，莫宁莫宁-奥布霍夫长奥布霍夫长。 相似理论适用于近地层内，即湍流粘滞力相似理论适用于近地层内，即湍流粘滞力为常数的薄层内。为常数的薄层内。3.5 三种基本理论的比较三种基本理论的比较与讨论与讨论三种理论体系比较三种理论体系比较3.6 现代新的扩散模拟方现代新的扩散模拟方法的原理与发展简介法的原理与发展简介将随机函数和随机场理论引入研究湍流扩散将随机

32、函数和随机场理论引入研究湍流扩散。中心问题：寻找扩散粒子关于时间和空间的概率分布，从而求出扩散物质的时空分布变化。不受平稳和均匀湍流场假设（泰勒公式需要）不受平稳和均匀湍流场假设（泰勒公式需要）描述粒子的扩散行为，采用平流输送和湍流输送描述粒子的扩散行为，采用平流输送和湍流输送两种作用，得到污染物的散布图，也称为蒙特卡两种作用，得到污染物的散布图，也称为蒙特卡洛或马尔可夫模式。洛或马尔可夫模式。1/3*1/30.175*0.207*0.96(3)min0.96(3),0.763()0.722(1)0.37wiiwiiiwiwzLwzzzLzwzzzzwzw0.030.030.40.40.960.961iiiizzzzzzzz*1.3(1)2(1)uviwizuuzzwz*32.0exp()21.3exp()uvwfzuufzuwuzyxNTQzyxqNjiji1),(网格中的污染物浓度网格中的污染物浓度网