一元二次方程知识点总结

1、21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。注意：(1) 一元二次方程必须是一个整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 ; (4)二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0),它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x的二 次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系 数；c叫做常数项。注意：(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。(2)要准确找出一个一元二次方程

2、的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。(3)形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a 0时是一元二次方程。二、一元二次方程的解2使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时，x 3x 2 0所以x 2是2x 3x 2 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根(相等或不等)三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义。利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a b , x a vb ,当b0时，方

3、程没有实数根。三种类型：(1)x2a a0的解是x JO；(2) xm 2n n 0 的解是 xm ；(3) mx n 2 c m 0,且 c 0 的解是 x n。m2、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2 ,把公式中的a看做未知数x,并用x代 替，则有 x2 2bx b2 (x b)2 o(一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数；(3)把原方程变为x m 2 n的形式。(4)若n 0,用直接开平方法求出x的值，若n

4、0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac =0(3)方程没有实数根b2 4ac 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1，x2,那么 xi x2- , xx2 -。aa在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a刈.因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a, b, c的值；若b24ac0 方程有两个不相等的实数根；b24ac=0方程有两个相等的实数根；b24ac 0 方程没有

5、实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用b2 -4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3:根与系数的关系：韦达定理对于方程 ax2 + bx+c=0(a 金0)来说，x1 +x2 = - ab , x1 1X2= ac 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系 数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题，(2)设未知数，(3)列方程，(4)解方程，(5)检验，(6)作答。关键点：找

6、出题中的等量关系。一、一元二次方程的有关概念1 . 3x(x 1) 2(x 2) 8的一般形式是 ,其中二次项是 , 一次项系数是2 .当k =时，方程x2 (k 1)x k 0有一根是0.3 .若(b 1) 2+a2 = 0下列方程中是一元二次方程的只有()(A) ax2+5x - b=0 (B) (b2 - 1)x2+(a+4)x+ab=0(C) (a+1)x - b=0 (D) (a+1)x 2 -bx+a=0时，方程为一元二次方程；当 m4 .关于x的方程是（m2 T）x2+（ m T）x-2=0 ,那么当 m时，方程为一元一次方程一2 一5 .方程（m2） x+x 4 = 0是一元二

7、次方程，则 m的值为-2 L-6 .已知（m 3m 2）xm m 3x 5 0，是关于x的二次方程，则m=7 .已知x 1是方程x2 ax 6 0的一个根，则a=另一个根为8 .下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）211A. 3 x 12 x 1 B. 2 0C. ax2 bx c 0 D. x2 2x x2 1x x9.关于x的一元二次方程ax2 bx c 0,当a+b+c=0 时，方程的根为 当当方程的一根为1时,a,b,c满足的条件是元二次方程的解法1 .方程拒x2 3x 0的根是2.已知代数式4x2 - 14=50,则x的值为2.8块相同的长方形地砖拼成面积为则矩形ABCD的周长

8、为（）2400 cm 2(A) 200 cm (B) 220 cm (C) 240 cm (D) 280 cm3.已知关于x的二次方程（m+1 ） x2+3x+m 2 - 3m - 4=0的一个根为0,求m的值4 .请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ,5 .分式x： 7x 8的值是0,则x ;x 16 .用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.x2-2x-99=0 化为(x-1)2=100C.2t27 t-4=0 化为(t 7)2 81B.x2+8 x+9=0 化为(x+4) 2=252 c 10D.3y2-4y-2=0 化为(y -)2 397 .下面是李刚同学在一次测验中解答的填

9、空题，其中答对的是（）.A.若 x2=4,则 x = 2B.方程 x(2x1) = 2x 1 的解为 x= 1x 一 3x 2C.若x2+2x+k=0的一个根为1,则卜=3D.若分式x : 2的值为零，则x=1, 28 .方程 2y 12y 30的根是 方程x2 16 0的根是1)2 9的根是 ;方程x2-1=0 的根为 （2x 1）2 9的根是9 .设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2 b2）（a2 b2 1） 12 ,则这个直角三角形的斜边长10 .方程2x2 3x 2 0两根的平方和 倒数和11111 .已知实数X满足X2 -12 x - 0，那么x 1的值为 XXx12 .

10、已知方程（x+a） （x-3） =0和方程x2-2x-3=0的解相同，贝U a=14 .等腰三角形的两边的长是方程x2 20x 91 0的两个根，则此三角形的周长为（）A. 27 B. 33C. 27和33 D.以上都不对15 .若一个三角形的三边长均满足方程 x2-6x+8=0 ,则此三角形的周长为 .16.请写出一个根为x= -1 ,另一根满足1 x 1的一元二次方程元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。21、4x2 1 02、（x 3）2 23、 x 15一_ 2 一4、81 x 2 2 16、用配方法解下列一元二次方程.2_一一1、.y26y602_一5、2x3x1

11、0三、用公式解法解下列方程。.2 _ _1、 x 2x 8 0. 一 2_一4、 2x 5x 1 0o 23、x 4x_ 226、3x 2x 7 07、4x3 22、4y 1 3y25、 4x2 8x 1_2_2、 3x2 2 4x2_964、x 4x 5 08x 1 03、 3y2 1 273y6、石x2 V3x 石 0四、用因式分解法解下列一元二次方程.2_1、x2 2x-2_ 22、(x 1)(2x 3)03、7x 5x 26 5x 2._ 2_ 24、4(x 3)25(x 2)5、(1 -工且长父0 C, k -D.44447.关于x的一元二次方程(a c)x2a cbx0有两个相等的

12、实数根，那么以a、b、c为三边的三角形 4是()A、以a为斜边的直角三角形B、以c为斜边的直角三角形C、以b为底边的等腰三角形D、以c为底边的等腰三角形8.关于x的一元二次方程x2 3x 2 m2 0的根的情况是(A.有两个不相等的实根B.有两个相等的实根 C.无实数根 D.不能确定9,已知关于x的方程x2 4x a 0有两个相同的实数根，则a的值是.10 .关于久的一元二次方程才-21十甥二。有两个实数根，则陪的取值范围是11 .已知关于x的方程kx2 6x 9 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .12 .若关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个不相等的实数根，则化简代数式M(

13、m 2)2 m 1的结果为13 .如果关于x的方程x2 ax a 1 0有两个相等的实数根，那么a的值等于.14 .如果关于x的方程kx2 2x 1 0有实数根，则实数k的取值范围是.15 .求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.16 .已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x 2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由四、一元二次方程根与系数的关系1、关于x的方程2x2+( m2 9)x+m+1=0 ,当m =时，两根互为倒数； 当m =时,两根互为相反数.1 12、设 x1、x2 是方程

14、3x2+4 x -5=0 的两根，则 一 一.x12+x22=.x1 x23、若x1 = 15xg2不合题意，舍去.，x 10边长为 33 2x米，图 1-J-1答：花圃的长为13米，宽为10米.【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9 %B.10 % C. 11%D.12 %解：设年增长率为x,根据题意得10（1+x） 2=12.1 ,解得 x1=0.1 , x2 = -2.1 .因为增长率不为负，所以x=0.1。故选D。【考题3】(2009、海口

15、)某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下， 若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价 x元，依题意，得(500 -2 0 x) ( 10+x ) =6000 .整理，得 x2 - 15x + 50=0 .解这个方程，x 1=5 , x 2 =10 .要使顾客得到实惠，应取 x=5 .答：每千克应涨价 5元.点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况.【考题4】

16、如图，在4ABC中，ZB=90 ,AB=5 , BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动， 点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟， PBQ的面积等于4?(2)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5?解：（1）设经过x秒钟，4PBQ的面积等于4,则由题意得 AP=x , BP=5 -x, BQ=2x,11由2 bp BQ=4 ,得 2（5x） 2x=4 ,解得，x1=1 , x 2 =4 .当x=4时，BQ=2x=8 7=BC ,不符合题意。故 x=1(2)由 BP2+BQ 2

17、=5 2 得(5x) 2+ (2x) 2 =5 2 ,解得x1=0 (不合题意)，x2=2 .所以2秒后，PQ的长度等于5。三、针对性训练：1 .小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0. 5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了 2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2 .合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十 一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出 8件

18、。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？3 .在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少？4 .小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税(利息税为利息的20%),共取得5145元.求这种储蓄的年利率.(精确到0.1%)5 .如图12-3 ,祥BC中，/B=90。，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点 Q从B点开始沿BC边 向C点以2cm/s的速度移动。(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使 ABQ的面积等于8c

19、m2?(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且 P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在 AC边上前进，经几 秒钟，使4PCQ的面积等于12.6 cm2 。国 12-31解：依题意，得： 2 (6-x ) 2x=8解这个方程得：x1=2 , x2=4即经过2s,点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；经过4s,点P到距离B点2cm处，点Q到距离B 点8cm处。故本小题有两解。(2)设经过x秒，点P移动到BC上，且有CP= (14-x ) cm,点Q移动到CA上，且命名 CQ= (2x-8 ) cm ,过Q 作 QD CB 于 D。. ZCQDsZCAB ,QD AB6(2x 8

20、),2T8 AC ,即 QD= 10。16(2x 8)依题意，得：2 (14-x) 10 =12.6 ,解这个方程得：x1=7 , x2=11经过7s ,点P在BC距离C点7cm 处，点Q在CA上距离 C点6cm 处，使S处CQ=12.6cm2经过11s，点P在BC距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm 处，14 0,点Q已超出CA范围，此解不 存在。故本题只有一解。例1、某种商品原价 50元。因销售不畅，3月份降价10%,从4月份开始涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份 两个月平均涨价率为:思维点击：由题意，3月份的售价可以用 50 X (1 10%)表示，若设4、5月份两个

21、月平均涨价率为x,则4月(1+ x)份的售价是 50 X (1-10% ) X (1+ x ), 5 月份的售价是 50 X (110% ) X (1+ x ) (1+ x )即 50 X (1 10% ) X,由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。解：设4、5月份两个月平均涨价率为 X,由题意，得50 X (110% ) X (1+ X ) 2 =64.8 。整理，得(1+ X)2=1.44.解得：X1 0.2 20%, X22.2 (不合题意，舍去)。所以4、5月份两个月平均涨价率为 20%。解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。例2、如图，一块长和

22、宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.思维点击：设截去正方形的边长X厘米之后，关键在于列出底面(图示虚线部分)长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.解：设截去正方形的边长为 X厘米，根据题意，得(60 2x) (40 2x) =800.2原万程可写成：X 50X 400 0.解这个方程，得X1 10, X240.如果截去的小正方形的边长为40厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为80厘米，这超过了长方形铁皮的长60厘米，因此X2 40不符合题意

23、，应舍去。答：截去正方形的边长为 10厘米。温馨提示：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数 量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.范例探究基础思维探究探究点1、与图形有关的问题例1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用 55米长的篱笆，围起一个面积为300 m3的矩形场地.组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物.问这个场地的各边长为多少？思维点击：设与院墙垂直的边长为x m ,则与院墙平行的边长为（55-2x）m ,根据矩形面积公

24、式可列出方程式.解：设与院墙垂直的边长为 x m ,则与院墙平行的边长为（55-2x）m ,根据题意得：x 55 2x 300. 整理，得 2x2 55x 300 0.解方程，得x120,x2 15.当x=20,即与院墙垂直的边长为 20米时，另一边长为 20米，即与院墙平行的边长为15米.当x=15,即与院墙垂直的边长为 15米时，另一边长为 25米，即与院墙平行的边长为25米.由于校园的院墙长20米，20 25,所以此解不合题意，应舍去.答：与院墙垂直的边长为 20米，与院墙平行的边长为 15米.温馨提示：若设与院墙平行的边长为xm ,则与院墙垂直的边长为 55xm .根据矩形面积公式也可

25、以列出方程2式.但出现了分数，不如前一种设法好.探究点2、利润问题例2、某商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降 价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？思维点击：每天售出的童装件数X每件童装的利润=每天这种童装的总利润。x解：设每件童装应降价 x兀，根据题意，得 20 8 40 x 1200.42化简，得 x 30x 200 0,解得 x1 20, x2 10。因为要尽快

26、减少库存，所以 x应取20。答：每件童装应降价 20元。温馨提示：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。探究点3、增长率问题例3、某厂1月份生产零件 2万个，第一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率。思维点击：解：设每月的平均增长率为x,依题意，得2+2 （1+x ） +2 （1+x） 2=7.98经整理，得 100x 2+300x-99=0 ,解得 xi=0.3=30% , x2=-3.3 不合题意，舍去。答：每月的增长率为 30%。温馨提示：（1）解本题的关键是理解“ 7.98万个零件是3个月生产量的总和”，一定要注意审题；（2）牢记公式 na 1

27、 x b, a为增长率（降低）前的基础数量，x为增长率（降低率），n为增长（降低）的次数，b为增长（降低）后白数量.综合思维探究例4、一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽？图1图2思维点击：这类问题的特点是，挖掘所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边）。如图2所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为（1622x）米，宽为（644x）米。解：设水渠应挖x米宽，则根据题意，得（162 2x）

28、（64 4x） 96002 _x 97x 96 0解得：x1 1, x2 96（舍去）答：水渠应挖1米宽。温馨提示：此类问题可采用“靠边”的办法使得图形便于表达长、宽，主要体现了数学的化归思想.创新拓展思维探究例 5 、机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 60% ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克。为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关。甲车间通过技术革新后， 加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克， 用油的重复利用率仍为60% ， 问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1 千克，用油的重复利用率将增加1.6% ，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12 千克。问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑