逻辑与科学方法论[04-5]

1、 传统命题逻辑与现代命题逻辑 传统逻辑对命题推理判定的局限性 传统命题逻辑不能判定以下推理： 或者逻辑难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不太容易。 现代命题逻辑对命题推理有效性的判定 自然语言的符号化：从自然语言到真 值形式 对真值形式的判定 命题逻辑层次上自然语言的符号化 例1 如果光强调团结，不强调斗争，或者光强调斗争，不强调团结，就不能达到既弄清思想又团结同志的目的。 令p表示强调团结，q表示强调斗争，r表示弄清思想，s表示团结同志（这里都省略了主语）。例1 的真值形式是 （(pq)(qp)）（rs) 。 例2如果大张在孩

2、子落水的现场但没有参加营救，那么，或者他看到了孩子落水但却装着看不见，或者他确实不会游泳。令p表示大张在孩子落水的现场,q表示大张参加了营救， r表示大张看到了孩子落水，s表示大张装着看不见孩子落水，t表示大张会游泳。 例2的真值形式是 (pq) （rs) t）。 大张看到了孩子落水，和大张装着看不见孩子落水，是两个没有真值关系的原子命题，必须用不同的命题变项表示。r 表示大张看到了孩子落水， r 表示大张没看到孩子落水，而不表示大张装着看不见孩子落水。例3如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足，则全体人质就能获释；否则，恐怖分子就要杀害人质，除非特种部队能实施有效的营救。 令p表示恐怖分子的要

3、求能在规定期限内满足，q表示全体人质就能获释,r表示恐怖分子就要杀害人质，s表示特种部队能实施有效的营救。 例3 的真值形式是(pq)(p(sr)。也可以写作(pq)（(p s)r)。可以证明，上述两式是等值的。命题推理的真值形式： （A1A2 An）B 其中A1，A2 ，An 是前提的真值形式，B是结论的真值形式。 也可写作： A1 A2 An B 例4如果“世界上没有真理”这个命题是真的，则这个命题不是真的。因此，这个命题不是真的。 令p表示“世界上没有真理”这个命题是真的。 则上例的真值形式是 （pp）p 例5如果上帝不能创造出一块他自己都不能搬动的石头，则他不是万能的；如果上帝能创造出

4、一块他自己都不能搬动的石头，则他同样不是万能的。上帝或者能创造出一块他自己都不能搬动的石头，或者不能，二者必居其一。因此，总之，上帝不是万能的。 令p表示上帝能创造出一块他自己都不能搬动的石头，q表示上帝是万能的。则该推理的格式是pqpqpp- q它的真值形式是(pq) (pq) (pp) q例6如果我相信上帝，则如果上帝是存在的，我就有所得；如果上帝不存在，我也无所失。另一方面，如果我不相信上帝，则如果上帝存在，我有所失；如果上帝不存在，我无所得。因此，我如果相信上帝，我或者有所得，或者（至少）无所失；而如果我不相信上帝，则我或者有所失，或者（至多）无所得。 令p表示我相信上帝，q表示上帝是

5、存在的，r表示我有所得，s表示我有所失。例6的真值形式是： p（qr）（qs） p（qs）（qr） - （p（rs）（p（sr） 真值形式的类型 真值形式有三种基本类型： 重言式 矛盾式 可真式 一个真值形式是重言式，当且仅当它在其命题变项的任意一组赋值下都真。例如，p p是重言式，不论p取什么值，它的值都为真。 一个真值形式是矛盾式，当且仅当它在其命题变项的任意一组赋值下都假。例如，qq是矛盾式，不论q取什么值，它的值都假。 一个真值形式是可真式，当且仅它在其命题变项的至少一组赋值下为真。例如，pq 是可真式。当p和q 都真时，pq为真。练习 判别下列断定的正误： 1）重言式都是可真式，但可

6、真式未必都是重言式。 2）一个真值形式A是可真式，当且仅当它的否定A是不可真式，即矛盾式。 3）一个真值形式A是重言式，当且仅当它的否定A是矛盾式。 4）一个真值形式A是可真式，当且仅当它的否定A不是重言式。正：1、3、4 真值形式分为矛盾式和可真式，而可真式又分为重言式和非重言的可真式，重言式都是可真式，但可真式未必都是重言式。 一个真值形式A是重言式，当且仅当它的否定A是矛盾式。 一个真值形式A是可真式，当且仅当它的否定A不是重言式。 真值形式的判定，就是确定它属于重言式、矛盾式和（非重言的）可真式中的哪一种。 在各种真值形式中，我们最感兴趣的是重言式。在命题逻辑中，重言式也称为逻辑规律。

7、真值形式的判定，主要是重言式的判定。问题以下哪个（哪些）断定成立？1）一个命题推理有效，当且仅当它的真值形式是一个可真式。2）一个命题推理有效，当且仅当它的真值形式是一个重言式。3）一个命题推理有效，当且仅当它的真值形式的否定是一个矛盾式。 一个命题推理有效，当且仅当它的真值形式是一个重言式。 一个命题推理有效，当且仅当它的真值形式的否定是一个矛盾式。 判定一个命题推理是否有效，就是要判定它的真值形式是否为重言式，或判定它的真值形式的否定是否为矛盾式。例用真值表判定以下命题推理： 或者逻辑难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不太容

8、易。 解 ：令p = 逻辑难学，q = 没有多少学生喜欢逻辑，r = 数学容易学。则该推理的真值形式是： (pq)(rp)(qr)构造它的真值表如下：p q r(pq)(rp)(qr)1 1 1 11 1 0 11 0 1(10)(11)(01)= 11 0 0 10 1 1 10 1 0 10 0 1 10 0 0 1推理有效。例用真值表判定下列命题推理是否有效：1）此案的作案者是张三，或者是李四。有证据证明张三没作案。因此，作案者是李四。2）此案的作案者是张三，或者是李四。有证据证明是张三作案。因此，作案者不是李四。3）此案的作案者是张三，或者是李四。因此，并非两人都参与作案。解 令p =

9、 作案者是张三，q = 作案者是李四。则上述三个推理的真值形式是：1）(pq)p)q2）(pq)p)q3）(pq)(qp) p q (pq)p)q (pq)p)q (pq)(qp)1 1 1 0 01 0 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 1能行方法 真值表方法是一种能行方法能行方法。 能行方法是一种问题求解的方法。 一种问题求解的方法是能行的，是指：第一，这种方法对问题求解的每一步都给出确定的操作指令；第二，作为第n步求解操作的结果，这种方法给出第n+1步的确定操作指令；第三，这种方法确保在有限步内完成问题的求解。 显然，能行方法有两个根本特点：一是操作方法是机械的，二是操作步骤是

10、有限的。 任一真值形式是能行可判定的。 任一命题推理是能行可判定的。 真值树方法问题 下列断定是否一致（是否自相矛盾）？ 谋杀至少由管家、女仆和园丁三人中一人参与；有证据说明，或者谋杀在室内发生，或者管家参与了谋杀；如果谋杀在室内发生，则园丁可排除作案的可能；如果使用了毒药，那么除非女仆作案，否则管家不会作案。但是，第一，女仆没参与作案，第二，谋杀确实使用了毒药。 真值树方法的基本思想 构造真值树的规则1）合取分解： AB A B 根据该规则，合取式被分解后，它的合取支写在该合取式下方的同一枝上。真值形式被被分解后，写上“”标记，表示该式已经过分解。2）析取分解： AB A B 根据该规则，析

11、取支被分解后，它的析取支写在该析取式下方的不同分枝上。 3）双否分解： A A 基本规则只有这三条。 由于任一真值联结都可由、和定义，因此，依据以上三条规则可分解任意真值形式。问题如何分解： AB （AB） （AB） （AB）AB（AB） 因为（AB）（AB），所以下面的分解成立： AB A B 因为（AB）（AB），所以下面的分解成立： （AB） A B 因为（AB） （AB），所以下面的分解成立： （AB） A B 因为（AB）（AB），所以下面的分解成立：（AB） A B 因为（AB）(AB)（AB）)，所以下面的分解成立： AB A A B B因为（AB） (（AB）（AB），所以下面

12、的分解成立： （AB） A A B B 为了操作方便，一般地说， 第一，先分解那些不产生新分叉的真值形式； 第二，再分解那些能在同一分叉上迅速产生一命题变项及其否定的真值形式； 如果前两条都不能满足，那就先分解最复杂的真值形式。 例1 用真值树方法判定： A B，C， A C是否一致。解 构造该命题集的真值树。（1） AB 前提 （2） C 前提（3） AC 前提（4） A （1）分解（5） B （1）分解（6） A C （3）分解 真值树封闭，命题集不一致。例谋杀至少由管家、女仆和园丁三人中一人参与；有证据说明，或者谋杀在室内发生，或者管家参与了谋杀；如果谋杀在室内发生，则园丁可排除作案的可

13、能；如果使用了毒药，那么除非女仆作案，否则管家不会作案。但是，第一，女仆没参与作案，第二，谋杀确实使用了毒药。 令p表示“管家参与谋杀”，q表示“女仆参与谋杀”，r表示“园丁参与谋杀”，s表示“谋杀在室内发生”，t表示“谋杀使用了毒药”。（1） pqr 前提（2） sp 前提（3） sr 前提（4） t（qp） 前提（5） q 前提（6） t 前提（7） t qp (4)分解 （8） q p (7)分解（9） q (10) s p (2)分解 (11) s r (3)分解 (12) p q r (1)分解 真值树封闭，题目中的议论自相矛盾。 问题： 真值树方法能否判定命题推理的有效性？ 由于A是重言式，当且仅当A是矛盾式，因此，真值树方法同样可以用来判定一真值形式是否为重言式，即可以用来判定一命题推理是否有效。例3 用真值树方法判定下面推理是否有效： 如果“世界上没有真理”这个命题是真的话，那么，它就是假的