隐函数的导数

1、目录目录上页上页下页下页第二章导数与微分目录目录上页上页下页下页第五节第五节 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率四四、数学建模的实例、数学建模的实例目录目录上页上页下页下页一、隐函数的导数一、隐函数的导数xOy23sin2xyyxy 函数函数y=f(x)表示变量表示变量y与与x之间的对应关系，这种对应关之间的对应关系，这种对应关系的表示形式是多种多样的。系的表示形式是多种多样的。 例如：例如：从下图中可以看到，对每一个从下图中可以看到

2、，对每一个x通过这条曲线都能有唯通过这条曲线都能有唯一的一的y与之对应，与之对应， 因此我们说这条曲线因此我们说这条曲线(或者方程或者方程x2+y3+siny=2)确定了一个函数确定了一个函数y=f(x)， 称其为由该方程确定的隐函数称其为由该方程确定的隐函数.则称方程在区间目录目录上页上页下页下页一、隐函数的导数一、隐函数的导数 如果在一定条件下，对于某区间如果在一定条件下，对于某区间I I上的任意一个值上的任意一个值x，一般地一般地通过方程通过方程 相应地总有满足这个方程的唯一的实数相应地总有满足这个方程的唯一的实数y( , )0,F x y 则称方程则称方程 在区间在区间I I上确定了一

3、个上确定了一个隐函数隐函数. .( , )0F x y 存在，存在，相应的，诸如相应的，诸如等由自变量等由自变量x的解析式表示的函数称作的解析式表示的函数称作显函数显函数ln(1), sin .xyxeyxxOy23sin2xyyxy目录目录上页上页下页下页隐函数隐函数能化为显函数吗？能化为显函数吗？23sin2xyy由方程由方程 不能解出不能解出y来，因此该来，因此该隐函数不能显化隐函数不能显化.23sin2xyy0132 yx321xy 隐函数显化隐函数显化把一个隐函数化为显函数，就称把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化隐函数显化. .例如：例如： 并不是任意一个隐函数都能显化的并不是任

4、意一个隐函数都能显化的. 我们关心的是，若我们关心的是，若方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行显化而直接由方程求出它的导数呢？显化而直接由方程求出它的导数呢？ 目录目录上页上页下页下页例例1 求方程求方程 确定的隐函数确定的隐函数 在在 点的导数点的导数235100 xyxy)(xfy 0 x解解 用用 替换替换 中的中的 y，得，得)(xfy 235100 xyxy2( )35 ( )100,xf xxf xx方程两边同时对方程两边同时对 求导数，得求导数，得( )( )65( )0,f xxfxxfx解方程即可求得解方程即

5、可求得6( )6( ).55xf xxyfxxx 目录目录上页上页下页下页解这个关于解这个关于 的方程，得的方程，得 dxdy2(3510)0,xyxy 即即650.dydyyxxdxdx注意到注意到 y 是是 x 的函数这一事实，我们可以不必像上边那的函数这一事实，我们可以不必像上边那样去作代换，而直接将方程两边同时对样去作代换，而直接将方程两边同时对 x 求导数，有求导数，有6,5dyxydxx 由方程由方程 可知，当可知，当 时，时， ，因此，因此 2y 0 x235100 xyxy00262.55xxydyxydxx 这一步需要特别这一步需要特别注意什么问题？注意什么问题？你注意到隐函

6、数你注意到隐函数导数的表示式的导数的表示式的特点了吗？特点了吗？ 求隐函数在某一求隐函数在某一点处的导数时应点处的导数时应特别注意什么？特别注意什么？ 目录目录上页上页下页下页总结一下求隐总结一下求隐函数的一阶导函数的一阶导数可分哪几步？数可分哪几步？ 例例2 求方程求方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 的导数的导数0yexye)(xfy 整理得整理得0,yeyyxy解解 方程两边同时对方程两边同时对 求导数，利用复合函数的求导法则求导数，利用复合函数的求导法则（注意，这里（注意，这里 是是 的函数），得的函数），得xxy(),yxeyy 于是有于是有.yyyxe 1. 方程左右两边对方程左右

7、两边对x求求导导(注意注意y是是x的函数的函数, 因因此对此对y的函数求导时要用的函数求导时要用复合函数求导法则复合函数求导法则).2. 解方程，求出解方程，求出y (注意注意y表达式中即含有表达式中即含有x，也也含有含有 y).目录目录上页上页下页下页 例例3 求椭圆求椭圆 上点上点 处的切线方程处的切线方程22143xy3(1, )2解解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定的隐函数在点的隐函数在点 处的导数处的导数. .3(1, )2220.43xyy 解得解得3.4xyy 22()(1)43xy原方程两边分别对原方程两边分

8、别对 x 求导，得求导，得13233 11.34242xyxky 因此，所求切线斜率因此，所求切线斜率从而，所求的切线方程为从而，所求的切线方程为31(1)22yx 24.xy讨论：讨论：要求切线方程，关键要找到什么？要求切线方程，关键要找到什么？目录目录上页上页下页下页下面又应下面又应怎么办？怎么办？解解 由隐函数的求导法，得由隐函数的求导法，得于是于是 例例4 求由方程求由方程 所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数 . .sin0 xyy 22dxydx上式两边再对上式两边再对 求导，得求导，得将上边求得将上边求得 的结果代入，得的结果代入，得y 1cos0,yy y 1,1c

9、osyy 22(1cos )1sin(),1cos(1cos )(1cos )xxyy yyyyy 231sinsin1cos.(1cos )(1cos )yyyyyy 下面应怎下面应怎么办？么办？目录目录上页上页下页下页您看求隐函数的二阶导您看求隐函数的二阶导数的步骤可分几步？其数的步骤可分几步？其中需要特别注意什么？中需要特别注意什么？1. 方程左右两边对方程左右两边对x求导求导(注意注意y是是x的函数的函数).2. 解方程，求出解方程，求出y的表达式的表达式.3. y的表达式的表达式(或求导后方程或求导后方程)左右再对左右再对x求导求导(注意注意y和和y都都是是x的函数的函数).4. 将

10、将y代入到上面求出的代入到上面求出的y中中(注意注意y表达式中即含有表达式中即含有x，也含有也含有 y).目录目录上页上页下页下页于是于是解解 将方程的两边取对数，得将方程的两边取对数，得例例5 求求 的导数的导数. .(0,1)xyxxx 11lnln1,yxxxyx lnln ,yxx 上式两边对上式两边对 求导，注意到求导，注意到 是是 的函数的函数 ，得，得yxx)(xy ln1ln1 .xyyxxx 隐函数！隐函数！讨论讨论: 这是一个幂指函数这是一个幂指函数, 既不能按照幂函数求导既不能按照幂函数求导, 也不能按照也不能按照指数函数求导指数函数求导. 你想怎么解决这个矛盾？你想怎么

11、解决这个矛盾？对数对数求导法求导法 若方程左右两边同时若方程左右两边同时取对数取对数, 能解决问题吗？能解决问题吗？由这个方程能说由这个方程能说 y是是 x 的函数吗？的函数吗？目录目录上页上页下页下页于是于是例例6 求求 的导数的导数. .(1)(2)(3)(5)xxyxx 解解 将方程的两边取对数（假定将方程的两边取对数（假定 ），得），得5x 1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(5),2yxxxx 上式两边对上式两边对 求导，注意到求导，注意到 是是 的函数的函数 ，得，得yxx)(xy(1)(2)lnln,(3)(5)xxyxx 111111,21235yyxxxx 于是于是11

12、1121235yyxxxx 11111(1)(2).21235(3)(5)xxxxxxxx 讨论讨论: 这个题目复杂吗？原因是什么？如果能这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差积化和差”好好求导吗？怎么能求导吗？怎么能“积化和差积化和差”?目录目录上页上页下页下页当当 时时1 x(1)(2)(3)(5)xxyxx 当当 时时32 x(1)(2)(3)(5)xxyxx 用同样的方法可得与上面相同的结果用同样的方法可得与上面相同的结果. . 总结一下，什么时候适总结一下，什么时候适合使用合使用“对数求导法对数求导法”？1. 幂指函数求导数；幂指函数求导数；2. 函数为多个因子的乘积。函数为多

13、个因子的乘积。目录目录上页上页下页下页求一般幂指函数求一般幂指函数 的导数时，同样可以用的导数时，同样可以用上述上述 “对数求导法对数求导法”但注意到但注意到 ，也可以利用复，也可以利用复合函数求导法则求导如合函数求导法则求导如)0)()()( xuxuyxv)(ln)(xuxvey )ln(sin)()(lnsinlnsinsin xxeexyxxxxx)1sinln(coslnsinxxxxexx )sinln(cossinxxxxxx 目录目录上页上页下页下页二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数实例：实例：抛射体的运动轨迹抛射体的运动轨迹122,1,2xv t

14、yv tgt xyOv1v2v其中其中g为重力加速度，为重力加速度，t为时间为时间. . 某时刻某时刻 t 时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标坐标 x 与与纵纵坐标坐标 y，它们都与，它们都与 t 存在函数关系存在函数关系. . 如果把对应于同一个如果把对应于同一个 t 的的 x,y 的值看作对应的，这样就得到的值看作对应的，这样就得到 x 与与 y 之间的函数关系之间的函数关系利用代入消元法，消去参数利用代入消元法，消去参数 t 得到得到22211.2vgyxxvv目录目录上页上页下页下页 则称此函数关系所表达的则称此函数关系所表达的函数为由上述参数方程所确

15、定的函数函数为由上述参数方程所确定的函数下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数: :一般地，若参数方程一般地，若参数方程 ),(),(tytx t确定了确定了y与与x之间的函数关系，之间的函数关系， 如果在上述参数方程中函数如果在上述参数方程中函数 具有单调连续的具有单调连续的反函数反函数 ，)(tx )(1xt 并且并且 与函数与函数 可以构成可以构成复合函数，其中复合函数，其中t 为中间变量为中间变量)(ty )(1xt 目录目录上页上页下页下页于是于是( ),( )tdydxt 由一阶微分形式的不变性，有由一阶微分形式的不变性，有( ),dy

16、t dt 1,( )dtdxt 再由再由 ，利用反函数求导法则得，利用反函数求导法则得1( )tx 代入代入 得得( )dyt dt ( ).( )dytdxt 目录目录上页上页下页下页与与 可以构成复合函数可以构成复合函数 ，1( )tx 1( )yx 定理定理1(参数方程求导法则参数方程求导法则)设参数方程设参数方程 ( ), ( )xttyt 若若 在区间在区间 内可导，并且内可导，并且 ( ),( )xtyt ( ,) ( )0,t ( )xt 1( )tx ( )yt 中，中， 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数 ，并且，并且则有则有( ).( )dytdxt （参数方程求导计

17、算公式）（参数方程求导计算公式）目录目录上页上页下页下页例例7 求由参数方程求由参数方程解解所确定的函数所确定的函数 的微商的微商 . .dxdy)(xyy 2(cossin ),3(sincos ),xy )0, 0( ba3(sincos )3sin3tan .2(cossin )2cos2dydx 目录目录上页上页下页下页例例8 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为求它在求它在 相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程4 t04cos2 2,4x 4cos ,6sin ,xtyt 444(6sin )6cos3.(4cos )4sin2tttdyttdxtt 解解 椭圆上对应于椭圆上

18、对应于 的点的点 的坐标分别为：的坐标分别为：),(000yxM4 t06sin3 2,4y 曲线在点曲线在点 的切线斜率为：的切线斜率为：),(000yxM由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为33 2(2 2),2yx 即即36 20.2xy讨论讨论: 求一点处的切线需要知道什么？由求一点处的切线需要知道什么？由我们能知道什么？我们能知道什么？4t xyO0M目录目录上页上页下页下页解解 显然所求夹角显然所求夹角 的正切为的正切为 ，因此，因此 dxdy例例9 根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程122,1,2xv

19、tyv tgt 试求抛射体在时刻试求抛射体在时刻t 时的运动方向与水平线间的夹角时的运动方向与水平线间的夹角 . . 222111()2()v tgtvgtdydxv tv 21arctanarctan().vgtdydxv 目录目录上页上页下页下页若若 皆二阶可导，有皆二阶可导，有( ),( )tt ),(),(tytx t设函数的参数方程为设函数的参数方程为 ，利用参数方程求二阶导数利用参数方程求二阶导数参数方程的一阶导数为参数方程的一阶导数为( ),( )tyt dyydx ( )( )dtdxt ( )( )dtdtdttdx 对一阶导数关于对一阶导数关于x求导求导, ,其变量其变量t

20、 t应看作中间变量应看作中间变量, ,而按照复合函数求导法，而按照复合函数求导法， ( )1( )( )dtdttt ( )( ).( )tttt y ( )( ).( )tttt dxdt( )1( )dtdxdttdt dxdt( ) t dt目录目录上页上页下页下页由于由于2( )( )( )( )( )(),( )( )ttttttt 因此因此223( )( )( )( ),( )d yttttdxt 在实际计算时，通常利用在实际计算时，通常利用22( )( ).( )ttd ydxt 不必刻不必刻意去记意去记公式公式.目录目录上页上页下页下页2cotcos1sin )sin( )co

21、s1(tttttatadxdy 解解 由于由于 ，因此因此例例10 求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程 所确定的函数所确定的函数 的二阶导数的二阶导数(sin ),(1cos )xa ttyat )(xyy 22d ydx2211(1cos ).(1cos )2sin2attat cot2 (sin )ta tt 总结一下，求参数方程总结一下，求参数方程确定的函数的二阶导数确定的函数的二阶导数应该注意什么呢？应该注意什么呢？目录目录上页上页下页下页而而 与与 又都又都xy三、相关变化率三、相关变化率设变量设变量y与与x之间存在着函数关系之间存在着函数关系y=f(x)，都是（对它们的自变量都是

22、（对它们的自变量 ）可导的，）可导的，)(tyy t这两个相互依赖的变化率称为这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率t( ).yy t )(txx 是第三个变量是第三个变量 的函数：的函数： ，)(txx 如果函数如果函数 yx那么由于那么由于 与与tdtdxdtdy因此二者分别相对于因此二者分别相对于 的变化率的变化率 , ,之间存在依赖关系，之间存在依赖关系，之间也一定存在着依赖关系之间也一定存在着依赖关系目录目录上页上页下页下页 我们要研究的相关变化率问题就是要研究变化率我们要研究的相关变化率问题就是要研究变化率 , 之间的关系，从而利用其中的一个求出另外的一个之间的关系，从而利

23、用其中的一个求出另外的一个dtdxdtdy 若变量若变量x, ,y之间的关系是之间的关系是y=f(x)，由复合函数求导法则，由复合函数求导法则，得得 , , 之间的关系为之间的关系为dtdxdtdy,dydfdxdtdxdt即即( ).dydxfxdtdt 目录目录上页上页下页下页解解 已知梯子下端滑动的速率，欲求上端已知梯子下端滑动的速率，欲求上端下滑的速率我们必须首先建立梯子上端下滑的速率我们必须首先建立梯子上端下滑的位移与下端离开墙脚的位移之间的下滑的位移与下端离开墙脚的位移之间的关系关系例例11 有一长度为有一长度为5 5米的梯子铅直的靠在墙上假设其下端沿米的梯子铅直的靠在墙上假设其下端沿地板离开墙脚而滑动，当其下端离开墙脚地板离开墙脚而滑动，当其下端离开墙脚1.41.4米时，其下端米时，其下