二章第一节导数的概念ppt课件

1、 第二章第二章导数与微分导数与微分微积分学的开创人微积分学的开创人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描绘函数变化快慢描绘函数变化快慢微分微分描绘函数变化水平描绘函数变化水平都是描绘物质运动的工具都是描绘物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数) 导数思导数思想最早由想最早由法国数学法国数学家家Ferma Ferma 在研究极在研究极值问题中值问题中提出提出. .英国数学家英国数学家 Newton 第二章第二章第一节第一节一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关

2、系五、单侧导数五、单侧导数导数的概念导数的概念 3 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描绘质点运动位置的函数为设描绘质点运动位置的函数为)(tfs 0t那么那么 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自在落体运动自在落体运动4 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27 xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线)(:xfyCNT0 xM在在

3、 M 点处的切线点处的切线x割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当当 时时)割线割线 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切线切线 MT 的斜率的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx5 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27两个问题的共性两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还

4、有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题6 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记

5、作记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000那么称函那么称函数数假设假设的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点0 x处可导处可导, 在点在点0 x的导数的导数. 7 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27运动质点的位置函数运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线曲线)(:xfyC在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率xyo)(xfy C

6、NT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 说明说明: 在经济学中在经济学中, 边沿本钱率边沿本钱率,边沿劳动消费率和边沿税率等从数学角度看就是导数边沿劳动消费率和边沿税率等从数学角度看就是导数.8 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/270limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx假设上述极限不存在假设上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x假假设设,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x假设函数在开区间假设函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数此时导

7、数值构成的新函数称为导函数.记作记作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就说函数就称函数在就称函数在 I 内可导内可导. 的导数为无穷大的导数为无穷大 .9 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27例例1. 求函数求函数Cxf)(C 为常数为常数) 的导数的导数. 解解:yxCCx0lim0即即0)(C例例2. 求函数求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx10

8、 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27说明：说明：对一般幂函数对一般幂函数xy ( 为常数为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x以后将证明以后将证明11 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函数求函数xxfsin)(的导数的导数. 解解:,xh令那那么么)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin类似可证得类似可证得xxsin)(cosh

9、12 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27)1(lnxh例例4. 求函数求函数xxfln)(的导数的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或或13 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27则令,0hxt原式原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作是否可按下述方法作:例例5. 证明函数证明函数xxf)(在在 x = 0 不可导不可导. 证证:hfhf)0

10、()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不可导在即xx例例6. 设设)(0 xf 存在存在, 求极限求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf14 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27三、三、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线曲线)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为)(tan0 xf 假假设设,0)(0 xf曲线过曲线过

11、上升上升;假假设设,0)(0 xf曲线过曲线过下降下降;xyo0 x),(00yx假假设设,0)(0 xf切线与切线与 x 轴平行轴平行,称为驻点称为驻点;),(00yx),(00yx0 x假假设设,)(0 xf切线与切线与 x 轴垂直轴垂直 .曲线在点曲线在点处的处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf15 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/271111例例7. 问曲线问曲线3xy 哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线131xy平

12、行平行 ? 写出其切线方程写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得,1x对应对应,1y那么在点那么在点(1,1) , (1,1) 处与直线处与直线131xy平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原点故在原点 (0 , 0) 有垂直切线有垂直切线16 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfx

13、yx存在存在 ,因而必有因而必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函数所以函数)(xfy 在点在点 x 连续连续 .注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.即即17 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27在点在点0 x的某个右的某个右 邻域内邻域内五、五、 单侧导数单侧导数)(xfy 假设极限假设极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000那么称此极限值那么称此极限值为为)(xf在在 处的右处的右 导数导数,0 x记作记作)(0 xf即即)(0

14、 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在在 x = 0 处有处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2 . 设函数设函数有定义有定义,存在存在,18 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27定理定理2. 函数函数在点在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf简写为简写为在点在点处右处右 导数存在导数存在0 x定理定理3. 函数函数)(xf)(xf在点在点0 x必必 右右 连续连续.(左左)(左左)假设函假设函数数)(xf)

15、(af)(bf与与都存在都存在 ,那么那么称称)(xf显然显然:)(xf在闭区间在闭区间 a , b 上可导上可导,)(baCxf在开区间在开区间 内可导内可导,),(ba在闭区间在闭区间 上可导上可导.,ba可导的充沛必要条件可导的充沛必要条件是是且且19 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27内容小结内容小结1. 导数的实质导数的实质:3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 已学求导公式已学求导公式 :6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且

16、相等看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;20 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27考虑与练习考虑与练习1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0 xf 是数值是数值;联络联络:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联络有什么区别与联络 ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数21 高高等等数数学学第第二二章章 第

17、第一一节节/272. 设设)(0 xf 存在存在 , 那么那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那那么么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 假设假设),(x时时, 恒有恒有,)(2xxf问问)(xf是否在是否在0 x可导可导?解解:由题设由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准那么由夹逼准那么0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可导可导, 且且0)0( f22 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/275. 设设0,0,sin)(xxaxxxf, 问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),(都存在都存在

18、 , 并求出并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故故1a时时,1)0( f此时此时)(xf 在在),(都存在都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在显然该函数在 x = 0 连续连续 .23 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27作业作业 P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18 24 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家伟大的英国数学家 , 物理学家物理学家, 天文天文学家和自然科学家学家和自然科学家. 他在数学上的卓越他在数学上的卓越奉献是创建了微积分奉献是创建了微积分. 1665年他提出正年他提出正流数流数 (微分微分) 术术 ,次年又提出反流数次年又提出反流数(积分积分)术术,并于并于1671年完成年完成一书一书 (1736年出版年出版).他他还著有还著有和和等等 .25 高高等等数数学学第第二二章章 第第一一节节/27莱