届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题1(数学)doc

1、2009 届全国名校真题模拟专题训练08 圆锥曲线三、解答题 (第一部分 )1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设 F1 、 F2 分别是椭圆 x2+y2= 1的左、右焦点 .54（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2 的最大值和最小值；（）是否存在过点A（ 5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点C、D，使得 |F 2C|=|F 2D| ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.解：（）易知a5,b2,c1,1(1,0),F2 (1,0)F设 P（ x，y），则 PF1PF2(1x,y)(1x,y) x2y 21x244 x 211 x2

2、355x5,5 ，当 x0 ，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值 3；当 x5 ，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF1PF2 有最大值 4（）假设存在满足条件的直线l 易知点A（ 5， 0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线 l的方程为 yk( x 5)x2y21 ，得 (5k 24) x250k 2 x125k 2由方程组54200y k(x 5)依题意20(1680k 2 )0，得5k555当5k5时，设交点 C( x1 , y1 )、D(x2 , y2 ) ，CD 的中点为 R( x0 , y0 ) ，55则 x1x2

3、50k 2, x0x1x225k 2425k45k22y0k( x05) k(25k 25)5k20k .5k 2424又 |F 2C|=|F 2D|F2 Rlk k F2R10(20k)20k 2kk F2 Rk5k 241125k 2420k 25k24 20k2=20k2 4，而 20k2=20k2 4 不成立，所以不存在直线l ，使得 |F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l，使得 |F 2C|=|F 2 D|2、 (江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点 P（ 1， 0），且与定直线 L:x=-1相切，点C在 l上 .(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；( 2)设过点 P

4、, 且斜率为3 的直线与曲线 M 相交于 A ,B两点.（i ）问： ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii ）当 ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围 .解： (1)依题意，曲线 M 是以点 P为焦点，直线 l为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为 y2=4x.由题意得,直线AB的方程为: y3(x由 y3( x 1)消去y得:( 2)(i )1)y 24x3x 2 10x30,解得 x11,x 23.所以 A (1,2 3),B(3,23),|AB |x1x 2 216.3333假设存在点 C（ 1， y），使 ABC为正三角形，则 |BC|=|A

5、B|且 |AC|=|AB|，即(3 1)2(y2 3)2(162,)224 22321433相减得 :4(y23 ) ()( y) ,解得 y(不符 ,舍)(1 1)22 )2(16)2(y339333因此，直线 l上不存在点 C，使得 ABC是正三角形 .（ii ）解法一：设 C（ 1， y）使 ABC成钝角三角形，由 y13( x1)得 y23,此时 A ,B,C三点共线 ,故y 23.x，又 |AC |2( 11) 2(y2 3)22843yy 2 , | AB |2(16)2256339339，当 |BC |2|AC |2|AB |2 ,即2843yy 22843 yy 2256 ,即

6、 y23 时,9399CAB为钝角 .当 |AC |2|BC |2| AB |2,即 2843 yy 22843yy 2256939y103时 CBA为钝角.3又 |AB |2 |AC |2| BC |2 ,即 2562843yy2284 3yy 2993即 : y24 3y40, (y2 )20333.该不等式无解，所以ACB不可能为钝角 .因此，当 ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标 y的取值范围是 :y10 3 或 y2 3 ( y 2 3)39.解法二：以 AB为直径的圆的方程为 :( x5) 2( y23) 2(8)2圆心 (5,23)到直线 L : x1 的距离为 8333333

7、.所以 ,以 AB 为直径的圆与直线 L相切于点 G( 1,233).当直线 l上的 C点与 G重合时， ACB为直角，当 C与G 点不重合，且 A，B， C三点不共线时，ACB为锐角，即 ABC中 ACB不可能是钝角 .因此，要使 ABC为钝角三角形，只可能是CAB或 CBA为钝角 .过点 A且与 AB 垂直的直线为 : y233 (x1).令x1得 y2 33339 .过点 B且与 AB 垂直的直线为 : y2333), 令x1得 y1033(x3.又由 y3( x1)解得y2 3,所以,当点C的坐标为(时,x11,2 3)A， B， C三点共 线，不构成三角形 .因此，当 ABC为钝角三

8、角形时，点C的纵坐标 y的取值范围是：y10 3 或y2 3 ( y 2 3).393、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1 上任取不同三点A、 B、 C，证明：ABC 的垂心 H 也在该双曲线上；（ 2）若正三角形 ABC的一个顶点为C(1, 1)，另两个顶点 A、B 在双曲线 xy=1 另一支上，求顶点 A、B 的坐标。解：（ 1）略；（ 2）A(2+ 3,2 3 ), B(23 ,2+3)或 A(2 3,2+ 3), B(2+ 3 ,23 )4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量 v=(1,1)为方向向量的直线 l 过点 (0,52)，4抛物线 C： y 22

9、px (p>0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上（）求抛物线C 的方程；（）设 A、B 是抛物线 C 上两个动点，过A 作平行于 x 轴的直线 m，直线 OB 与直线 m 交于点 N，若 OA OBp20 (O 为原点， A、 B 异于原点 )，试求点 N 的轨迹方程解：（）由题意可得直线l： y1 x524过原点垂直于l 的直线方程为 y2x解得 x12抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上p12 ， p222抛物线 C 的方程为 y 24x （）设( ,)，A x1y1B( x2 , y2 )N (x, y)由 OA OB p20 ，得 x1 x2y1 y2 4 0

10、 又 y1 24x1 ， y2 24x2 解得y1 y28直线 ON： yy2 x ，即 y4 xx2y2由、及 yy1 得，点 N 的轨迹方程为 x2 ( y0) 5、(安徽省皖南八校2008 届高三第一次联考)已知线段 AB 过 y 轴上一点 P(0, m) ，斜率为 k ，两端点 A， B 到 y 轴距离之差为4k(k 0)，（ 1）求以 O 为顶点， y 轴为对称轴，且过 A， B 两点的抛物线方程；（2）设 Q 为抛物线准线上任意一点，过Q 作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线 MN 过一定点；解：（ 1）设抛物线方程为x 22 py( p0) ， AB 的方程为 ykx

11、m ，联立消 y 整理，得 x22 pkx2 pm0 ； x1 x22 pk ，又依题有 | x1x2 |4k2 pk， p2，抛物线方程为x24y ；（2）设 M( x1 ,x12x22x1，) ， N ( x2 ,) ， Q ( x0 , 1) ， kMQ244 MQ 的方程为 yx12x1( x x1 )x122x1 x4 y0 ；42 MQ 过 Q ， x122 x1 x04 0，同理 x222 x2 x040 x1 , x2 为方程 x22x0 x 40 的两个根；x1 x24 ；又 kMNx1x2， MN 的方程为 yx12x1x2( xx1 )444 yx1x2x1，显然直线 M

12、N 过点 (0,1)46 、(江西省五校2008届高三开学联考) 已知圆M : ( x5) 2y 236,定点 N (5,0),点 P为圆 M上的动点，点 Q在 NP上，点 G在MP 上，且满足NP2NQ, GQ NP0 .（ I）求点 G 的轨迹 C 的方程；（ II）过点（ 2，0）作直线l ，与曲线 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点， 设 OSOAOB,是否存在这样的直线l ，使四边形 OASB的对角线相等（即|OS|=|AB| ）？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，试说明理由 .NP2NQQ 为 PN 的中点且 GQ PN解：（ 1）GQ PN0GQ 为 PN 的中垂线|P

13、G|=|GN|a3 ， |GN|+|GM|=|MP|=6，故 G 点的轨迹是以M、 N 为焦点的椭圆，其长半轴长半焦距 c5 ，短半轴长b=2，点 G 的轨迹方程是x2y21 5分94（ 2）因为 OSOAOB ，所以四边形 OASB为平行四边形若存在 l 使得 |OS |=|AB | ，则四边形 OASB为矩形OA OB0若 l 的斜率不存在，直线l 的方程为 x=2，由x2x2x2y2得2 5941y3160,与OA OB0 矛盾，故 l 的斜率存在 .7分OA OB9设l的方程为y k(xA x,y1 ),Bx2 ,y2 )2), (1(y k( x2)由 x2y21(9k 24) x2

14、36k 2 x36(k 21)094x136k236(k 21)x22, x1 x29k 29k44y1 y2 k (x1 2) k( x22)k 2 x1 x2 2(x1 x2 )420k 2 9 分9k 24把、代入x1 x2y1 y20得 k32存在直线 l : 3x2 y60或3x2 y60 使得四边形OASB的对角线相等.7、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试 )已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y= 1 x2 的焦点，离心率等于 2 5 .45（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于

15、A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 MA =AF ，1MB2 BF1 2为定值 .=，求证 +解：（ I）设椭圆 C 的方程为 x2y 21(a b 0) ，则由题意知 b = 1.a 2b 2a 2b 22 5 即1 2 5a25.a 2. 1a 2.552椭圆 C 的方程为xy21. 5 分5（ II）方法一：设A、B、 M 点的坐标分别为A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), M (0, y0 ).易知 F 点的坐标为（ 2， 0） .MA1 AF,( x1 , y1y0 )1 (2 x1 , y1 ).x12 1, y1y0.8分1111将 A 点坐标代入到椭圆方程中，

16、得1(2 1)2(y0) 21.51111去分母整理得2101 5 520. 10 分1y0同理 ,由MB2 BF可得 : 2210 25 5y020.1, 2 是方程 x210x 55 y020的两个根 ,1210.12 分方法二：设 A、 B、 M 点的坐标分别为A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), M (0, y0 ).又易知 F 点的坐标为（ 2， 0） .显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k，则直线l 的方程是yk(x2).将直线 l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得(15k 2 )x 220k 2 x20k 250.7 分x1 x220k 22

17、 , x1 x220k 225 . 8 分15k15k又 MA1AF,MB2 BF , 将各点坐标代入得 1x1, 2x2.x12 x22x1x22(x1x2 ) 2x1 x210.122 x24 2(x1x2 ) x1 x22 x18、 (安徽省巢湖市2008 届高三第二次教学质量检测)已知点R （ 3,0 ） ,点 P 在 y 轴上，点Q 在 x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上,且满足2PM3 MQ0， RP PM0 .（）当点P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（）设A( x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 为轨迹C 上两点，且x11, y10 ， N(1,

18、0) ，求实数，使 ABAN，且AB16.3解： ( )设点 M(x,y)，由 2PM3MQ0得 P(0 ，y )， Q( x ,0 ).23由RP PM0, 得 (3，y )· ( x ， 3 y ) 0, 即 y24x22又 点 Q 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ，x0故点 M 的轨迹 C 的方程是y24x(x0). 6 分（）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y 2 4x的焦点，且A、 B 为过焦点N 的直线与抛物线 C 的两个交点。当直线 AB斜率不存在时，得A(1,2) ， B(1,-2)， |AB|416 ，不合题意； 73分当直线 AB斜率存在且不为 0时 ， 设lA

19、B :yk x(1y24x得， 代 入k 2 x22(k 22) xk 20则 |AB| x1x222(k 22)24416,解得 k23k2k2310 分代入原方程得 3x 210 x 30，由于 x11，所以 121 ,x3, x3x2x1314由 ABAN ，得3. 13xNx1313分解法二：由题设条件得y124x1(1)y224x2(2)x2x1(1x1 )(3)y2y1y1(4)( x2x1 )2( y2y1 )216(5)3由（ ）、（ ）得 x2x1(1x1 )34y2(1) y1代入（ ）得(1224 x14 (1 x1 )2)y1再把（ ）代入上式并化简得1(1) x11

20、(6)分9同样把（ ）、（ ）代入（ ）并结合（ ）3451化简后可得(1x1 )16分(7)1134414由（ 6）、（ 7）解得3 或1 ，又 x1，故.x133x1 39、(北京市朝阳区2008 年高三数学一模 )已知椭圆 W 的中心在原点， 焦点在 x 轴上， 离心率为6 ，两条准线间的距离为 6.椭圆 W 的左焦点为 F ，过左准线与x 轴的交点 M 任3作一条斜率不为零的直线l 与椭圆 W 交于不同的两点A 、 B ，点 A 关于 x 轴的对称点为 C .（）求椭圆 W 的方程；（）求证：CFFB (R )；（）求MBC 面积 S 的最大值 .解：（）设椭圆W 的方程为 x2y21

21、，由题意可知a2b2c 6 ,a 3a2b2c2 ,解得 a6 ， c2 ， b2 ，yABMFOx2a26,Ccx2y24 分所以椭圆 W 的方程为216（）解法1：因为左准线方程为xa23，所以点M坐标为 (3,0)于是可设直线lc.的方程为 yk (x 3) yk(x3),x2y2得 (1 3k2 ) x218k 2 x27k 260 .621由直线 l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点，可知(18k 2 )24(1 3k2 )(27 k 26)0，解得 k 2 2 3设点 A ， B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ， (x2 , y2 ) ,则 x1x2118k 2 ， x1

22、x227k 26， y1k( x13) ， y2k (x23) 3k 213k2因为 F ( 2,0)， C ( x1,y1 ) ，所以 FC( x12, y1) ， FB ( x22, y2 ) .又因为 (x12) y2( x2 2)(y1)( x12)k ( x23) (x22) k( x13)k2 x1 x25( x1x2 )12k 54k 212190k 21213k23k 2k (54k 2 1290k21236k2 )13k 20 ，所以 CFFB 10 分解法 2：因为左准线方程为xa23，所以点 M 坐标为 ( 3,0) .c于是可设直线 l的方程为 yk ( x3) ，点

23、A ， B 的坐标分别为 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) ,则点 C 的坐标为 ( x1 ,y1 ) ， y1k( x13) ， y2 k (x2 3) 由椭圆的第二定义可得|FB|x23| y2 | ,|FC|x13| y1 |所以 B， F，C三点共线，即 CFFB 10 分( )由题意知S1 | MF | y1 |1 | MF | y2 |221| | y1y2 | MF21 | k (xx)6k |2123|k |132323，13k23| k |3| k |当且仅当 k21 时“ =”成立，3所以MBC 面积 S 的最大值为2310、 (北京市崇文区2008 年高三统一练

24、习一)已知抛物线C : yax 2 ，点 P（ 1， 1）在抛物线 C 上，过点P 作斜率为k1、 k2 的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），且满足 k1+k2=0.（ I）求抛物线 C的焦点坐标；（ II）若点 M 满足 BMMA ，求点 M 的轨迹方程 .解：（ I）将 P（ 1， 1）代入抛物线C 的方程 y ax 2 得 a=1，抛物线 C 的方程为 yx2 ，即 x 2y.焦点坐标为 F（ 0，1 ） .4 分4（ II）设直线 PA的方程为 y 1k1 (x 1) ，y1k1 (x1),k1 xk110,联立方程yx 2 .

25、消去 y 得 x 2则 1x1k11,即 x1k11.由k124( k11)( k12)20,得 k12. 7 分同理直线 PB 的方程为 y1k2 (x1),y 1 k2 ( x1),k2 xk2 10,联立方程yx 2 .消去 y 得 x2则 1x2k21, 即x2k21.且k22.又k1k20,k12. 9 分设点 M 的坐标为（ x，y），由 BMMA,则xx1x2 .2xk11 k212 ( k1k2 ) .22又k1k 20,x1.11 分yy1y2x12x22(k11) 2( k21)2( k11) 2(k1 1)22222(k121)1,又k12,y5.所求 M 的轨迹方程为：

26、 x1( y1且y5).11、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一）已知定圆A : ( x1) 2y216, 圆心为 A，动圆 M 过点 B(1,0) 且和圆 A 相切，动圆的圆心 M 的轨迹记为 C.（ I）求曲线 C 的方程；（ II）若点 P( x0 , y0 ) 为曲线 C 上一点，求证：直线l : 3x0 x4y0 y12 0与曲线 C有且只有一个交点 .解：（ I）圆 A 的圆心为( 1,0), 半径r14，A设动圆 M 的圆心 M (x, y),半径为 r2 ,依题意有 , r2| MB | .由 |AB|=2 ，可知点 B 在圆 A 内，从而圆 M 内切于圆 A，故 |MA|=r 1r2，即 |MA|+|MB|=4 ，所以，点M 的轨迹是以A， B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 x 2y 21，由 24,2c2,可得 a24,b23.a 2b2a故曲线 C 的方程为 x2y 21. 6 分43（ II）当 y0 0时,由 x04y021,可得 x02 ，43当 x02, y00时, 直线 l 的方程为 x02,直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 ( 2,0).当 x02, y00时, 直线 l的方程为 x02,直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 ( 2,