高中一年级上学期数学知识点总结(含答案)

1、高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1 .集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如1设P、Q为两个非空实数集合,定义集合PQab|aP,bQ,假设P0,2,5,Q1,2©,那么PQ中元素的有个.答：82非空集合S1,2,345,且满足“假设aS,那么6aS,这样的S共有个答：72 .遇到AIB时,你是否注意到“极端情况：A或B;同样当AB时,你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.如集合Ax|ax10,Bx|x23x20,且AUBb,那么实数a=.“1答：a0,1,-23 .对于含有n个元素

2、的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1,2n1,2n2.如满足1,2M1,2,3,4,5集合M有个.答:74 .集合的运算性质：AUBABA；AIBBBA；AB忸uB；4AI随uAB；euAUBUAB；CuAIBCuAUCuB；CuAUBCuAICuB.如设全集U1,2,3,4,5,假设AB2,CuAB4,CuACuB1,5,那么人=,B=.答：A2,3,B2,45 .研究集合问题,一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素.如：x|yfx一函数的定义域；y|yfx函数的值域；x,y|yfx函数图象上的点集,如设集合Mx|yJx2,集合N=y|yx2,xM,

3、那么MIN_答：4,;6 .数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题.如关于x的不等式当30的解集为M,假设3M且5M求实数a的取值范围.xa5答：a1,U9,2537 .四种命题及其相互关系.假设原命题是“假设p那么q,那么逆命题为“假设q那么p"；否命题为“假设p那么q"；逆否命题为“假设q那么6.提醒：1互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价；2在写出一个含有“或、“且命题的否命题时,要注意

4、“非或即且,非且即或"；3要注意区别“否命题与“命题的否认：否命题要对命题的条件和结论都否认,而命题的否认仅对命题的结论否认；4对于条件或结论是不等关系或否认式的命题,一般利用等价关系“ABBA判断其真假,这也是反证法的理论依据.5哪些命题宜用反证法？如1“在ABC中,假设/C=9C°,那么/A、/B都是锐角的否命题为答：在ABC中,假设C90°,那么A,B不都是锐角；2函数fxax左上,a1,证实方程fx0没有负数根.x18.充要条件.关键是分清条件和结论划主谓宾,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件,那么条件是结论成立的必要条件.从集合

5、角度解释,假设AB,那么A是B的充分条件；假设BA,那么A是B的必要条件；假设A=B那么A是B的充要条件.如设命题p：|4x3|1;命题q：x22a1xaa10.假设8是4的必1要而不充分的条件,那么实数a的取值范围是答：0'21 .不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：假设ab,cd,那么acbd假设ab,cd,那么acbd,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减;2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除；异向不等式可以相除,但不能相乘：假设ab0,cd0,那么acbd假设ab3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方114右ab0,ab,那么一一；假

6、设abab如1对于实数a,b,c中,给出以下命题：b0,那么0,b,b,贝1Jac2bc2；假设ac2bc2,那么a0,那么a2ab0,那么-ab0,那么1r；ba假设a题是2ca答：1xy1,1b0,那么ba.1右ab,-aa泰；b1i一,那么ab假设ab0,那么a0,b0.其中正确的命3,那么3xy的取值范围是答：1,7c13abc,且abcQ那么一的取值氾围是答：2,一a22 .不等式大小比拟的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商常用于分数指数哥的代数式；3分析法；4平方法；5分子或分母有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法.其

7、中比拟法作差、作商是最根本的方法.1 _2如设a2,pa,q2,试比拟p,q的大小答：pqa23. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axbbb的形式,右a0,那么x；右a0,那么x；右a0,那么当b0时,xR；当b0aa1、时,x.如关于x的不等式abx2a3b0的解集为,一,那么关于x3的不等式a3bxb2a0的解集为答：x|x34.一元二次不等式的解集联系图象.尤其当0和0时的解集你会正确表2布吗？设a0,x1,x2是万程axbxc0的两实根,且xx?,那么其解集如下表：2,八axbxc02,caxbxc02,八axbxc02,八axbxc00x|xx1

8、或xx2x|xx1或xx2x|x1xx2x|x1xx20r1b1x|x2aRr1b1x|x2a0RR如解关于x的不等式：ax2a1x10.答：当a0时,x1；当a0时,一、111x1或x；当0a1时,1x；当a1时,x；当21时,一x1aaa5.对于方程ax2bxc0有实数解的问题.首先要讨论最高次项系数a是否为0,其次假设a0,那么一定有b24ac0.对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形？如：1a2x22a2x10对一切xR恒成立,那么a的取值范围是答：1,2；2关于x的方程fxk有解的条件是什么？答：kD,其中D为fx的值域6.一元二次方程根的分布理论

9、.方程根、在m,n上有两根、在,k和k,fxax2bxc0a0在k,上各有一根的充要条件分别是什么？上有两间m,n上实根分布的情况,得出结果,再令xn和xm检查端点的情况.9.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为、fk0.根的分布理论成立n0有实数解的情况,可先利用在开区如fx4x22p2x2p2p1在区间1,1上至少存在一个实数c,使3fc0,求实数p的取值范围.答：3,27 .二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax2bxc0的两个根即为二次不等式ax2bxc00的解集的端点值,也是二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点的横坐标.如1不等式Vx

10、ax3的解集是4,b,2“12-那么a=答：；2右关于x的不等式axbxc0的解集为8,mn,其中mn0,那么关于x的不等式cx2bxa0的解集为11一2答：,一一,；3不等式3x2bx10对x1,2恒成立,那么mn实数b的取值范围是答：.8 .简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1分解成假设干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；2将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3根据曲线显现fx的符号变化规律,写出不等式的解集.如：1解不等式x1x220.答：1,U22不等式x2Jx22x30的解集是答：3,U13设函数fx

11、、gx的定义域都是R,且fx0的解集为x|1x2,gx0的解集为,那么不等式fxggx0的解集为答：,1U2,4要使满足关于x的不等式2x29xa0解集非空的每一个x的值至少满足不81等式x24x30和x26x80中的一个,那么实数a的取值范围是.答：7,一80,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.,-,5x,_如：1解不等式T1答：1,1U2,3x2x32关于x的不等式axb0的解集为1,求关于x的不等式xb0的解集x2答：,1U2,10.绝对值不等式的解法：3 1.1分段讨论最后结

12、果应取各段的并集：如解不等式|2-x|2|x|答：R4 22利用绝对值的定义；3数形结合；如解不等式|x|x1|3答：,1U2,4两边平方：如假设不等式|3x2|2xa|对任意xR恒成立,那么实数a的取值范围.11 .含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为根底,分类讨论是关键.注意解完之后要写上：“综上,原不等式的解集是".注意：按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数讨论,最后应求并集.见4中例题12 .含绝对值不等式的性质：a、b同号或有0a、b异号或有0如设fxx2x|ab|a|b|a|b|ab|;|ab|a|b|a|b|ab|.f(a)|

13、2(|a|1)13,实数a满足|xa|1,求证：|f(x)13 .利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到：“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小这17字方针.如：1以下命题中正确的选项是1x23,A.yx-的最小值是2B.y的取小值是2x、x22Cy23x4x0的最大值是24点D.y23x4x0的最小值是24如xx2假设x2y1,那么2x4y的最小值是答：2衣3正数x,y满足x2y1,那么11的最小值为答：32J2_x_y14.常用不等式有：1屉一心a-Vab-2当且仅当abc时,2211ab取等号,根据目标不等式左右的结构选用；a、b、cR,a2b2c2abbcca当且仅当abc时,取等

14、号；3假设ab0,m0,那么b-b-糖水的浓aam度问题.如果正数a、b满足abab3,那么ab的取值范围是答：9,15 .证实不等式的方法：比拟法、分析法、综合法和放缩法比拟法的步骤是：作差商后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.1111111常用的放缩技巧有：-1y一1一1nn1nn1nnn1n1n_111_k1.k_k、,k1,k1.k2.k,k1、k如(1)abc,求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2；(2)a,b,cR,求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；11xv(3)a,b,x,yR,且一,xy,求证：;abxayb(4)假设nN

15、*,求证：J(n1)21(n1)"1n；(5)|a|b|,求证：1a|1b|1a|1b|；|ab|ab|16 .不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“别离变量法转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法)(1)恒成立问题假设不等式fxA在区间D上恒成立,那么等价于在区间D上fxminA假设不等式fxB在区间D上恒成立,那么等价于在区间D上fxBmax如(1)不等式x4x3a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围(2)假设不等式2x1m(x21)对满足m2的所有m都成立,那么x的取值范围(3)假设不等式x22mx

16、2m100x1的所有实数x都成立,求m的取值范围.(2)能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,那么等价于在区间D上maxA;假设在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,那么等价于在区间D上的xminB.如不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集,求实数a的取值范围一(3)恰成立问题假设不等式fxA在区间D上恰成立,那么等价于不等式fxA的解集为D;假设不等式fxB在区间D上恰成立,那么等价于不等式fxB的解集为D.三、函数1.函数的定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.如(1)函数f(x),xF

17、,那么集合(x,y)|yf(x),xFI(x,y)|x1中所含元素的个数有个(答：01或1)；(2)假设函数y-x22x4的定义域、值域都是闭区间2,2b,那么b=(答：22)2 .同一函数的概念.构成函数的三要素是定义域,值域和对应法那么.而值域可由定义域和对应法那么唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法那么相同时,它们一定为同一函数.如假设一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,那么称这些函数为“天一函数,那么解析式为yx2,值域为4,1的“天一函数共有个(答：9)3 .求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原那么)：(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大

18、于零,分母不能为零,0次哥的底数不能x4x为零.如(1)函数y工厂的定义域是(答：(0,2)U(2,3)U(3,4)；(2)假设x3kx73函数y2kx/的定义域为R,那么k(答:0,3);(3)函数f(x)的定kx4kx34义域是a,b,ba0,那么函数F(x)f(x)f(x)的定义域是(答：a,a)；(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围.(3)复合函数的定义域：假设f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出即可；假设fg(x)的定义域为a,b,求f(x)的定义域,相当于当xa,b时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域).如(1)假设函数yf(x)的

19、定1义域为一,2,那么f(2x)的定义域为(答：x|<2x4)；(2)假设函数22f(x1)的定义域为2,1),那么函数f(x)的定义域为(答：1,5).4.求函数值域(最值)的方法：(1)配方法二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m,n上的最值；二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题.求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系),如2(1)求函数yx2x5,x1,2的值域(答：4,8)；(2)当x(0,2时,函数_21f(x)ax4(a1)x3在x2时取得最大值,那么a的取值范围是(答：a)；2特别说明：二

20、次函数在区间m,n上最值的求法,一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内.b如果是选择、填空可以很快与答案：先看看是否在m,n内,如果在的话,算三个数2abf(m)、fn、f(),三数中谁最大谁就是最大值,谁最小谁就是最小值.如果不在的2a话,只要算两个数f(m)、fn,大的就最大值,小的就最小值.(2)换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(1)y2x1J-的值域为(答:(3,)(令VT7t,t0.运用换元法时,要特别要注意新元t的范围)；(3)函数有界性法一一直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求

21、函数的值域,(4)单调性法一一利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,180如求yx一(1x9)的值域为(答：(0,1);x9(5)判别式法一一对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过局部分式后,再利用均值不等式:yb¥型,可直接用不等式性质,如求ykxbx入.,一y2型,先化简,再用均值不等式,33一丁的值域(答：(0,士)2x2x如(1)求y.的值域(答:1x21 x21(,);(2)求函数y的值域(答：0,)2 x322yx2mxn型,通常用判别式法；如函数yxmxn值域为1,9

22、,求常数m,n的值(答：mn5)2mx8xx21口的定义域为R,xmxn2如求yx1,的值域(答:x12yx侬n型,可用判别式法或均值不等式法,mxn(,3U1,)(6)不等式法一一利用根本不等式ab2后(a,bR)求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧.提醒：(1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？(2)函数的最值与值域之间有何关系？5.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值f(x0)时,一定首先要判断x

23、0属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集f(x)1的自变量x的取值范围是f(x)6.1(x0),那么不等式x1(x0)求函数解析式的常用方法：(x1).(x1).如(1)设函数f(x)()(),那么使得4x1.(x1)(答：(,2U0,10);(2)_3(x2)f(x2)5的解集是(答：(,-)2(1)待定系数法一一所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式：22如f(x)为二次函数,f(x)axbxc；顶点式：f(x)a(xm)n；零点式：f(x)a(xx1)(xx2),要会根据条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式

24、).且f(x2)f(x2),且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2*5,求f(x)的解析19式.(答：f(x)x2x1)2(2)代换(配凑)法一一形如f(g(x)的表达式,求f(x)的表达式.如(1)假设_1212f(x-)x下,那么函数f(x1)=(答：x2x3)；(2)假设函数f(x)是xx定义在R上的奇函数,且当x(0,)时,f(x)x(1次),那么当x(,0)时,f(x)=(答：x(1Vx).这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即f(x)的定义域应是g(x)的值域.(3)方程的思想一一条彳是含有f(x)及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于

25、f(x)及另外一个函数的方程组.如(1)f(X)2f(X)"2,求f(x)的解析式(答：Q)3x3)；f(x)是1x奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=,那么f(x)=(答:-)ox1x17.函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.(2)确定函数奇偶性的常用方法(假设所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性)：定义法：如判断函数yLx,Lf的奇偶性(答：奇函数).9x2利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)f(x)0或包#1(f(x)0).如f(x)11判断f(x)

26、x()的奇偶性_.(答：偶函数)2x12图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.(3)函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性,那么其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性,那么其单调性恰恰相反如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数假设f(x)为偶函数,那么f(x)f(x)f(|x|).假设奇函数f(x)定义域中含有0,那么必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既a-2xa2不充分也不必要条件.如假设f(x)a2xa2为奇函数,那么实数a=(答：1).21定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一

27、个偶函数的和(或差)".如设f(x)是定义域为R的任一函数,F(x)f(x)f(x),2G(x)f(x)J(x).判断F(x)与G(x)的奇偶性;假设将函数f(x)10x1,表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,那么g(x)=(答：F(x)为偶函数,G(x)_,、1为奇函数；g(x)=-x)2复合函数的奇偶性特点是：“内偶那么偶,内奇同外.既奇又偶函数有无穷多个(f(x)0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).8.函数的单调性.(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解做题中常用：定义法(取值一一作差一一变形一一定号)如函数一3f(x)xax在区间1,)上是增函数

28、,那么a的取值范围是(答：(0,3)；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意yax-(a0xb0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,jbnjb,),减区间为Jb,0),(0,Jb.(例如函数yx4递增区间,2,2,；单调递减区间是aax22,0,0,2)如(1)假设函数f(x)x22(a1)x2在区间,4上是减函数,那么实数a的取值范围是(答：a3);(2)函数f(x)ax1在区间2,x2上为增函数,那么实数a的取值范围(答：(1,);2复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减,(2)特别提醒：求单调区间时,一是勿忘定义域,如求函数f(x)Jx24x3的单调递

29、增区间；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“U和“或；三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示.(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(比拟大小；解不等式；求参数范围).如奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,假设f(m1)f(2m1)0,求1 2实数m的取值范围.(答：-m-)2 39 .常见的图象变换函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的.如设f(x)2x,g(x)的图像由f(x)的图像向左平移1个单位得到,那么g(x)为x1(答：g(x)2)函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的.如(1)假

30、设f(x199)4x24x3,那么函数f(x)的最小值为(答：2)；(2)要得到y2(3x)的图像,只需作y2x关于轴对称的图像,再向平移3个单位而得到(答：y;右)；特别提示：上面两种是左右平移,可以间记为“左加右减函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向下平移a个单b位得到的；如将函数ya的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图xa象如果与原图象关于直线yx对称,那么(A)a1,b0(B)a1,bR(C)a1,b0(D)a0,bR(答：C)特别提示：上面两种是上下平移,可以间记为“上加下

31、减10 .函数的对称性.ab满足条件fxafbx的函数的图象关于直线x对称.如二次2函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根,那么1 2、f(x)=(答：xx)；点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx；点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；形如yax(c0,adbc)的图像是双曲线,其两渐近线分别直线xdcxdc(由分母为零确定)和直线y旦(由分子、分母中x的系数确定),对称中央是点(&,且).ccc如函数图象C与C:y(xa1)axa21关于直线yx对称,且图象C关于点(2,3)对称,那么a的值为(答：2)|f(x)|的图象先保存f(x)原来在x轴上方的图象,作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形,然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保存f(x)在y轴右方的图象,擦去y轴左方