函数与导数-2025高考数学大题突破（含答案）

函数与导数-2025高考数学大

题突破

善数与导熬

（考情分析）

函数与导数问题是高考数学的必考内容。从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利

用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。此类问题体现了分类讨论、转化与

化归的数学思想，难度较大。

（题型归类）

题型一：利用导数研究函数的单调性

题型二：利用导数研究函数的极值

题型三：利用导数研究函数的最值

题型四：利用导数解决恒成立与能成立

题型五:利用导数求解函数的零点

题型六：利用导数证明不等式

题型七：利用导数研究双变量问题

题型八：利用导数研究极值点偏移问题

题型九：隐零点问题综合应用

题型十：导数与数列综合问题

题型一：利用导数研究函数的单调性

堂1.大题典例

题目11（2024•河南郑州•高三校联考阶段练习）已知函数/（/）=+ax—（ax+l）ln/在/=1处的切线方程

为g=b/+/（a,bGR）.

⑴求Q,b的值；

（2）证明：/（力）在（1,+8）上单调递增.

•••

解法指导

1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的

和、差、积、商,再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

2、求函数单调区间的步骤

⑴确定函数/（①）的定义域；

⑵求/'（2）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式r（2）＞o,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式广（/）vo,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3、含参函数单调性讨论依据：

⑴导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；

（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；

（3）导函数多个零点时大小的讨论。

拿2.变式训练

厘HQ（2024•安徽六安•高三统寿1期末）已知函数/⑺=/3+加—6（aCR）.

（1）若函数/（，）的图象在，=2处的切线与多轴平行，求函数/（,）的图象在c=-3处的切线方程;

（2）讨论函数/（①）的单调性.

•••

蜃用J](2024•辽宁•校联考一模)已知了⑸=sin26+2cos6.

(1)求/(,)在。=0处的切线方程；

(2)求的单调递减区间.

题型二:利用导致研究函数的极值

至1.大题典例

(题目H(2024•湖南长沙•高三长沙一中校考■开学考试)已知直线y=加与函数/(工)=/In工-x2+x的图象相

切.

⑴求k的值；

(2)求函数/(,)的极大值.

解法指导

1、利用导数求函数极值的方法步骤

⑴求导数/'(2)；

(2)求方程/3)=0的所有实数根；

(3)观察在每个根g附近，从左到右导函数;(2)的符号如何变化.

①如果/'(2)的符号由正变负，则:(与)是极大值；②如果由负变正，则/'(&)是极小值；③如果在广(①)=

0的根，=g的左右侧/'(2)的符号不变，则不是极值点.

根据函数的极值(点)求参数的两个要领：

①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.•••

奉2.变式训练

(加24•广东汕头•统考一模)已知函数/(c)=—(a+l)ln±(aeR).

(1)当a=—1时,求曲线v=/(c)在点(ej(e))处的切线方程；

(2)若〃,)既存在极大值，又存在极小值,求实数a的取值范围.

题目包(2022•河南•方三专题练习)已知函数/㈤=e。—需，其中常数aCR.

(1)若/(,)在(0,+8)上是增函数,求实数a的取值范围；

3

(2)若a=4,设g(/)=/(/)+4x2—x+1,求证:函数gQ)在(―1,+oo)上有两个极值点.

o

•••

题型三:利用导致研究函数的最值

至1.大题典例

逾回工(2024•江苏秦州•高三统考阶段练习)已知函数/(工)=/+a炉，/CR.

(1)若函数在点(1,/(1))处的切线过原点,求实数a的值；

(2)若a=—4,求函数/(2)在区间［-1,4］上的最大值.

解法指导

函数/(⑼在区间［a,6］上连续，在(a,6)内可导，则求函数/(⑼最值的步骤为：

⑴求函数/(2)在区间(a,b)上的极值；

⑵将函数/(⑼的各极值与端点处的函数值/(a),/(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值；

(3)实际问题中,“驻点”如果只有一个,这便是“最值”点。•••

*2.变式训练

［题目［1）（2024•安徽黄山成考一模）已知函数/⑺=yrc2-4ax+a21nt在工=1处取值得极大值.

⑴求a的值；

（2）求/（,）在区间［｝e］上的最大值.

（题目|2〕（2024•陕西西安•第T一模）已知函数/㈤=e-誉/—勺—2皿

⑴当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1J（1））处的切线方程；

（2）若"=/（,）的最小值为1,求a.

•••

题型四:利用导数解决恒成立与能成立

至1.大题典例

趣回工(2024•湖北剜州•高三沙市中学校考阶段练习)设函数/⑺="a

(1)当a=1时,求曲线/(2)在点(1J(1))处的切线方程；

(2)当名)0时，若/(re)Wa恒成立，求实数a的取值范围.

解法指导

对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性，求出最值,从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新

函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注

意恒成立与存在性问题的区别.•••

*2.变式训练

懑国Q(2023•宁夏娠川•高三校携考阶段练习)已知函数/(力=x2-a(lnx+1).

(1)讨论/(c)的单调性；

(2)若存在rce[l,e],使得返+a+a<2,求实数a的最大值.

X

蜃目因(2022•全国•模拟预测)己知函数/⑺=e­1+岫(旌砂

(1)讨论函数/(2)的单调性；

⑵若函数gQ)ulnd—1)—In/,且/(g(力))</(x)在(0,+8)上恒成立,求实数Q的取值范围.

•••

题型五:利用导致求解函数的零点

至1.大题典例

懑亘H（2024•江苏南通•高三统考开学考就）己知函数/（2）=面+/+21n（l-x）,曲线9=/（力）在

（―l,/（—1））处的切线方程为？/=21n2—3.

⑴求a,b的值；

（2）求/（力）的单调区间，并证明/（c）在（-8,0）上没有零点.

解法指导

导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参

数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的

单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的

步骤,在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。•••

除2.变式训练

〔题目兀（2024•湖北夏用•高三基FB-中校戚才期末）已知函数/（工）=mnc—方砂，其导函数为广⑶）.

（1）求/（c）单调性；

⑵求gQ）=/（劣）+cos/零点个数.

题噂］（2022•全国•模拟JWI）已知函数/⑺=立q逻—Inc.

（1）若馆=1,求函数/Q）的单调区间；

（2）若函数g（/）=/（力）一（Tn-l）ln/有两个零点，求实数m,的取值范围.

题型六:利用导致证明不等式

至1.大题典例

南自五］QO22•全国•高三专题练习）已知函数/3=2xlnx一力+2.

（1）求函数/（为的极值；

⑵求证：（①一1）次为一十］＞0.

解法指导

利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题,从而判定不等关系;

3.适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系；

4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.•••

*2.变式训练

懑司Q(2024•全国•高三专题练习)已知函数/3=xinx,

(1)求曲线y=f@)在点(1J(1))处的切线方程；

(2)求证：/(a?)<x2+x.

逾凰5(2024•山东济宁•高三校才开学考试)已知函数/㈤=工'In工+(a-lMaGR.

(1)讨论/Q)的单调性；

(2)已知g[x}=e。-2必当a=1时，证明：g(x)>/(力).

•••

题型七:利用导致研究双变量问题

至1.大题典例

［题目Q(2024•江苏•校联考模拟预测)已知函数/(0=e"+炉—工仙2+a—1),其中aCR,e为自然对数的底

数.

(1)函数g(c)="*)，求g(c)的最小值0(a)；

X

(2)若2i,a；2(2i<22)为函数/(①)的两个零点，证明：x2—Xi<—_2.1.

解法指导

双变量不等式的处理策略：

含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式,

具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量,选取主元.•••

*2.变式训练

（题目|1〕（2024•广东•高三稣考阶段练习）设函数/（工）=Int+a（c—1）（工一2）,其中a为实数.

⑴当a=l时，求/（,）的单调区间;

（2）当/（2）在定义域内有两个不同的极值点21,22时，证明：/（为）+/（◎）+ln-^-.

9lb

［题目|2）（2023•云南北明•南三正明一中校考阶段练习）设a,b为函数/⑺=c•e。—m（m<0）的两个零点.

（1）若当2<0时,不等式①•ee>］恒成立，求实数m的取值范围；

X

（2）证明：ea+a〈l.

•••

题型八:利用导致研究极值点偏移问题

拿1.大题典例

逋瓦1(2024•浙江绍兴•高三稣考期末)已知函数=x—Inx+-.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若方程/(，)=a有两个解如。2,求证：2巡2<L

解法指导

1、和型g+22V2a(或21+x2>2a)问题的基本步骤：

①首先构造函数g(2)=f(x)—/(2a—/)，求导，确定函数沙=，(2)和函数g=g(a;)的单调性;

②确定两个零点21Vaeg,且/(/J=/(22)，由函数值g(①1)与g(a)的大小关系，

得g(g)=/(g)-f(2a-Xi)=/(g)-/(2a-g)与零进行大小比较；

③再由函数沙=/(土)在区间(a,+s)上的单调性得到22与2a—电的大小,从而证明相应问题；

2、积型/何2Va(/(2J=f(x2))问题的基本步骤：

①求导确定/(切的单调性，得到现明的范围；

②构造函数FQ)=f(x)—/(2)，求导可得斤(①)恒正或恒负；

③得到/Q1)与/(乌)的大小关系后，将/(电)置换为/(g)；

④根据◎与0的范围，结合/(为的单调性，可得应与0的大小关系，由此证得结论.

71Xi•••

*2.变式训练

（题目|1〕（2024•海南•高三校携者期末）已知函数/（工）="+a/—rdn工的导函数为/（工）.

（1）若。=一1,求曲线g=/（6）在点（1,/（1））处的切线方程.

（2）若广（⑼存在两个不同的零点的,62，

（i）求实数Q的取值范围；

（五）证明:力1+比2>1・

［题目|2）（2024•江西•高三校联考开学考试）已知函数g（%）=1-2111c—右（a>0）,且g（x）的极值点为g.

⑴求g；

（2）证明:2g（g）+24看;

（3）若函数g（力）有两个不同的零点61,力2,证明：:+」7>2。（&）+2.

伤力2

•••

题型九:除零点问题综合应用

至1.大题典例

蜃回工(2024•广西南宁•南宁三中校联考一模)已知函数/(①)=Inx—ax+a,gQ)=(x—l)ex~a—ax+

l(aER).

(1)若/(%)&0,求Q的值；

(2)当Qe(0,1］时，证明：g(x)>/(力).

解法指导

隐零点的处理思路：

第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间,

有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步:虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，

利用同构思想等解决,需要注意的是,代换可能不止一次.•••

*2.变式训练

逾里口（2024•山东•高三实金中学校联考开学考试）已知函数/（工）=（mx2-x+l）e-\

（1）当772>0时，求，（劣）的单调区间；

（2）若函数g（力）=6。+/（力）e，-2恰有两个零点，求实数771的取值范围.

画团0（2024•广东•高三校联考开学者武）已知函数八①）=怎

（1）若曲线沙=/（6）在点（a,/（a））处的切线过点（4,2）,求a的值；

（2）若f（劣）&Qe—i恒成立，求a的取值范围.

•••

题型十:导数与数列综合问题

至1.大题典例

蜃回工（2024•云南北明•尼明一中校联考一模）已知函数/（为=alnx+1一6.

（1）若/（劣）&0,求实数Q的值；

（2）证明：当n>2SeN*）时，M野x^x牛……空）<1；

（3）证明：』■+《"---1--<lnn（nGN*,n>2）.

2OTL

解法指导

导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量,

通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第

一问根据特征式的特征而得到.•••

+2.变式训练

趣团口（2024•山西•高三*1考期末）已知函数/（工）=In1—.

（1）若当/e（1,+8）时，/（力）＞0,求实数。的取值范围；

⑵求证Jn2+ln|+Inf+…+皿篙＞I-2n]

逾115（2024•四川稳招◎考模栩《测»⑸=cost+mx2—iQeR）.

（1）当馆＞十时，证明：/（力）＞0；

2n

⑵证明小人+―」>n—

2n+l

•••

（必刷大题）

剧模拟

题目1（2024•山东聊城•高三统考期一已知函数/（c）=22—2（a+2）«F+alnc（aeR）.

（1）当a=0时,求曲线/（为在（1J（1））处的切线方程；

（2）讨论函数/（⑼的单调性.

厘回0（2024•江苏•徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数/（工）=Q.—elogQ—e,其中a>l.

（1）若。=已,证明/（力）>0；

（2）讨论了（乃的极值点的个数.

•••

题目日(2022•河南•高三专慝练习)已知函数/(力)=xex—mx2,

(1)求曲线g=/(力)在(0J(0))处的切线方程；

(2)若函数g(力)=/(力)—e*在/=0处取到极小值，求实数m的取值范围.

(2024•重庆•高三重庆一中校考开学考试)已知/3)=梦+sin/，g(a)=aln(x+1)—1.

(1)若/(力)在(0,f(0))处的切线也与g(x)的图象相切，求a的值；

(2)若fQ)+g(x)>0在ce(-1,+8)恒成立，求Q的取值集合.

•••

懑衽3（2024.淅江•高三校联考开学考试）设函数/⑺=聂—ln±—十（aWO）.

（l）a=e时，求曲线0=/（力）在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）证明：/（力）至多只有一个零点.

趣1M（2023•江苏拉城•高三费城中学校联考阶盘练习）设函数“力）=+①，其中e为自然对数的底

数，％CR

（1）若/（，）为R上的单调增函数,求实数k的取值范围；

（2）讨论/（c）的零点的个数.

•••

蜃班可(2024•甘肃平凉•校考模翻覆浏)已知函数/(/)=mn±.

⑴判断了(⑼的单调性;

(2)设方程/(力)一2/+1=0的两个根分别为力1,力2,求证：力1+力2>2e.

题目8(2023•广东深圳.南三深圳中学校考阶段练习)已知函数/(工)=(/+2ax+2a2)e',

(1)若Q=0,求/(力)的单调区间；

(2)若/3)有两个极值点，分别为©和©(◎<g)，求的最小值.

*”e[-—/e电曲’

•••

遒回1(2024•山东用台•高三统考期末)已知函数/⑻=ln(/+l)—甘芹(a<l).

(1)讨论函数/(①)的单调性；

(2)求证：』+$■+…+4<ln2(neN*).

n+1n+22n

题目1回(2024•宁夏石嘴山•高三平罗中学校才期末)设函数/(力)=%—aln(l+0.

(1)讨论/(⑼的单调性；

(2)证明：VnEN*,1++}T----->ln(n+1).

26

峰1.刷真题

寇1包（2023•全国•统考商考真题）已知函数/⑺=（十+a）ln（l+0.

（1）当a=—1时,求曲线g=/（力）在点（l,f（l））处的切线方程.

（2）若函数/（力）在（0,+8）单调递增,求a的取值范围.

smx

瓦区（2023•全国•金才方才真题）已知函数/⑸=ax—,xE

co^x

（1）当Q=1时，讨论/（力）的单调性；

⑵若/（力）+sin/V0,求Q的取值范围.

•••

〔题目〔3〕（2023•全国•统考i15才真题）已知函数/（⑼=ax—应*，工e（0,。

COS，力\2

（1）当。=8时，讨论/（力）的单调性；

（2）若/（力）Vsin2力恒成立，求a的取值范围.

：»④（2023•全国•统考高考真题）已知函数/㈤=（十+同反（1+初

（1）当。=一1时，求曲线夕=/（力）在点（i,y（i））处的切线方程；

（2）是否存在a,b,使得曲线y=/（十）关于直线c=b对称,若存在，求a,6的值，若不存在，说明理由.

（3）若/（2）在（0,+8）存在极值，求a的取值范围.

•••

「题目回（2023•全国•统考高考真题）已知函数/（力）=Q©+Q）—

（1）讨论/（力）的单调性；

（2）证明：当Q>0时，f（x）>21rlQ+-y.

回（2023•全国•统考高考真题）⑴证明：当0V/V1时，/一"Vsin/V/；

（2）已知函数/（力）=COSQ/一ln（l—/）,若力=0是/㈤的极大值点，求Q的取值范围.

•••

颖目0(2023•北京•统考方才真题)设函数/(，)=/一x3e^+b,曲线夕=/(,)在点(1J(1))处的切线方程为y=

—X+1.

(1)求a,6的值；

(2)设函数gQ)=/(，)，求9侬)的单调区间；

(3)求/Q)的极值点个数.

遒亚工酒•天津•统考方考真却已知函数/(2)=(十+十)M/+l).

(1)求曲线g=/(6)在®=2处的切线斜率；

(2)求证：当力＞0时，/(%)＞1；

⑶证明：＜ln(n!)—(72+^~)km+「&l.

•••

颖目回(2022•全国•统考方才真题)已知函数/(rc)=xeax—ex.

(1)当a=1时,讨论了(,)的单调性；

(2)当，＞0时,/(⑼V-1,求a的取值范围；

H---1—/1>ln(n+1).

⑶设TieN*,证明：下三H—,

VF+1V22+2Vn2+n

〔题目|10)(2022•全国•统考高考真题)已知函数/㈤=加―十—(a+l)lnz

(1)当Q=0时，求/(力)的最大值；

(2)若/(0恰有一个零点，求Q的取值范围.

•••

备账易导檄

O【考情分析)O

函数与导数问题是高考数学的必考内容。从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利

用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。此类问题体现了分类讨论、转化与

化归的数学思想，难度较大。

(题型归类—■■■

题型一：利用导数研究函数的单调性

题型二：利用导数研究函数的极值

题型三：利用导数研究函数的最值

题型四：利用导数解决恒成立与能成立

题型五:利用导数求解函数的零点

题型六：利用导数证明不等式

题型七：利用导数研究双变量问题

题型八：利用导数研究极值点偏移问题

题型九:隐零点问题综合应用

题型十：导数与数列综合问题

题型一:利用导致研究函数的单调性

堂1.大题典例

趣回3(2024•河南郑州•高三校残考阶段练习)己知函数/(工)=^-+ax-(ax+l)lnx^x=1处的切线方程

为y=bx+—(a,bWR).

⑴求a,6的值；

(2)证明:/㈤在(1,+8)上单调递增.

【思路分析】

ffr(l)—b

⑴求出函数的导函数，依题意可得,立，即可得到方程组，解得即可；

(2)令g(力)=)―9—21n力，x£(1,+00),利用导数说明函数的单调性，即可得到当力6(1,+oo)时g(力)>

0,即当力G(1,+8)时尸㈤>0,即可得证.

【规范解答】

(1)因为f®=—+ax—(ax+,

•••

所以f'Q)=x+a—aln力—=x——-——alnx,

xx

依题意可得［f｛y,(l))—=b"会即"fl+—a1-—(alanl+=l)6lnl=b+*,解得f｛Aa—=n2.

(2)由(1)可得f(G=+2x—(2x+l)lnc,则f'(x)—x—--21na?,

2x

令g(x)=f'(x)=x—-—21nz,xG(1,+oo),则g'(x)=1+—....—=———>0,

xx2xx2

所以g(rc)在(1,+oo)上单调递增，又g(l)=0,

所以当(1,+co)时g(z)>0,即当rrC(1,+oo)时((2)〉0,

所以/(2)在(1,+oo)上单调递增.

解法指导

1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的

和、差、积、商,再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

2、求函数单调区间的步骤

（1）确定函数/（①）的定义域；

⑵求/'（2）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式r（2）＞o,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式广（①）V0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3、含参函数单调性讨论依据：

⑴导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；

（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；

（3）导函数多个零点时大小的讨论。

整2.变式训练

画画工）（2024•安徽六安•南三统考期末）已知函数/⑺=炉+a工—6（aCR）.

（1）若函数/（，）的图象在±=2处的切线与立轴平行，求函数/（0的图象在，=-3处的切线方程;

（2）讨论函数/（①）的单调性.

【答案】（1）15N一"+48=0;（2）答案见解析

【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.

【解析】⑴/'（/）=3/2+Q.

由题意/'（2）=12+a=0,解得a=-12,

所以/（力）=炉一12力—6,/（—3）=3,/'（-3）=15

/（力）在x=—3处的切线方程为15力—?/+48=0

⑵广⑺=3〃+Q.

①当a＞0时，/（力）＞0,/（6）在A上单调递增.•••

②当aVO时,在公上的变化情况如下表:

X-R3(7-1)+00)

+0—0+

f3)T极大值J极小值T

由上表可得/(①)在(一心-上单调递增，

在(—V—'\/~^3)上单调递减，在｛yj—g1,+°°)上单调递增.

综上，当a>0时，增区间为(一8,+co),无减区间；

当QV0时，增区间为(一8,-J-1)和(J-",+00)，减区间为

诞巨(2024•辽宁•校联考一模)已知/(/)=sin2/+2cos6.

(1)求/(力)在力=0处的切线方程；

(2)求/(为的单调递减区间.

【分析】⑴先求原函数的导函数，再求出力=0处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可;

(2)求/(力)的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式/(力)40的解集即可.

【解析】⑴由于/(%)=sin2a?+2cos6,

其导函数为:/'(力)=2cos2%—2sinc,得：/'(0)=2,/(0)=2,

所以/(力)在力=0处的切线方程为：g—2=2(力-0),即g=2力+2;

(2)由于/'(x)=2cos2力—2sinrr,

得：于，(x)=2(1—2sin2x)—2sinrc=—2(2sin2劣+simc-1),

若/'(力)&0,则—2(2sin2rc+sinrc—1)VO,即—2(2sina;-1)(sinx+1)40,

由于一1&sin力41,则sinrc+1>0,

只需sin/>即可，解得xE|"2"兀+3,2%兀+乎_],k6Z,

2L66」

故/Q)的单调递减区间为：[2kK+^,2kK+^-],kEZ.

题型二:利用导致研究函数的极值

景1.大题典例

[题目[1](2024•湖南长沙•高三长沙一中校才开学考试)已知直线y=痴与函数/®=xlnx-x2+x的图象相

切.

⑴求看的值；

(2)求函数/(,)的极大值.•••

【思路分析】

⑴设出切点，利用导数的几何意义求解即得.

(2)利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可.

【规范解答】

⑴函数/(力)=x\\xx—x2+x的定义域为(0,+8),求导得/3)=lnN—2力+2,

设切点为(g,Xolnxo—就+g),则切线的斜率为k=Ing—2g+2,

切线方程为g—(glug—塔+g)—(lnx0—2g+2)(N一g),

又切线过点(0,0),于是湍一g=0,而力0>0,解得/0=1,所以k=0.

⑵由⑴知,/〈re)=Inx—2力+2,设g(x)=\nx—2x+2,求导得g'(x)=——2,

x

令/(7)=o,得①=4，当尤e(o,y)时，g，3)>o,当，e居,+QO)时，g，3)VO,

因此函数gQ)在(0,4)上单调递增，在(5，+oo)上单调递减，

于是g(2)max=g(])=1_H12>0,又)=一/<0,3(1)=0,

则存在.e(1,；),g(g)=O,当26(O,g)U(1,4-co)时,广㈤VO,当26(g,l)时，/(力>0,

从而/(c)在(O,a；i),(1,+co)上单调递减，在(如1)上单调递增，

所以/(劣)存在唯一极大值/(1)=0.

解法指导

1、利用导数求函数极值的方法步骤

⑴求导数/3)；

(2)求方程/'(⑼=o的所有实数根；

(3)观察在每个根g附近，从左到右导函数(3)的符号如何变化.

①如果/'(2)的符号由正变负，则/'(&)是极大值;②如果由负变正，则/'(g)是极小值;③如果在/3)=

0的根①=g的左右侧/'Q)的符号不变,则不是极值点.

根据函数的极值(点)求参数的两个要领：

①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

第2.变式训练

蜃U](2024•广东汕头通寺一模)已知函数/⑺=加—十—(a+l)lnc(aCR).

(1)当。=一1时，求曲线"=/(力)在点(ej(e))处的切线方程；

(2)若/(力)既存在极大值，又存在极小值,求实数a的取值范围.

【答案】⑴厂(；一1)力一看；⑵(0,1)U(1,+oo).

【分析】(1)把a=—1代入，利用导数的几何意义求出切线方程.•••

（2）求出函数/（力）的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出a的范围.

【解析】⑴当a——1时，函数/（比）——X——,求导得/'（/）=4一1,

xX2

则/'（e）=吃一1，而/⑹=-e——,

e2e

所以曲线y—f^x）在点（e,/（e））处的切线方程为y—（―e—工）=（4—1）（力一e）,即g=-1）力——.

（2）函数/（/）=ax—-—（a+l）hic的定义域为（0,+oo）,

x

求导得(3)=0+4a+l_a62—(Q+I)/+i_(ax—1)(rr—1)

xx2x2

当a&0时，ar—1V0,由『(x)>0,得0V/V1,由/'(力)V0,得力>1,

则函数f（R）在（0,1）上递增,在（1,+8）上递减，函数/（力）只有极大值/（1），不合题意；

当a＞0时，由f'（G=0,得名=1或%=!，

Q

①若0＜工＜1,即。＞1,由/'（力）＞0,得0＜力＜工或力＞1,由fr（x）VO,得工＜T＜1,

aaa

则函数/㈤在（0,十）,（1,+8）上递增，在上递减，

因此函数/㈤的极大值为/（?）,极小值为了⑴，符合题意；

②若上＞1,即OVaVl,由/'（力）＞0,得0V/V1或/＞工，由/'（劣）V0,得

aaa

则函数/（力）在（0,1）,（十，+8）上递增，在（L?）上递减，

因此函数/（力）的极大值为y（i）,极小值为f吟）,符合题意；

③若工=1,即。=1,由（（劣）＞0在（0,+8）上恒成立，得/（劣）在（0,+00）上递增,

a

函数f（x）无极值，不合题意，

所以a的取值范围为（0,1）U（1,+oo）.

|题目国（2022•河南•高三专题练习）已知函数/（力）=—若，其中常数aeR.

（1）若fQ）在（0,+8）上是增函数,求实数a的取值范围；

3

（2）若a=4,设g（力）=/（力）+1i一力十匕求证:函数g（/）在（_],+oo）上有两个极值点.

O

【答案】⑴（一oo,e2];（2）证明见解析

2

【分析】⑴由y（T）在（0,+8）上是增函数,得:㈤=e，—号■＞0在（0,+00）上恒成立,分离参数可得年

构造函数九（力）=J（力＞o）,利用导数求出函数九（力）的最小值即可；

X1

⑵要证函数g（/）在（-1,+8）上有两个极值点，只需证g\x）=0在（-1,+8）上有两个不等实根,

令0（力）=。〈力），利用导数研究出函数的零点即可.•••

【解析】⑴因为/0)在(0,+8)上是增函数，

所以广㈤=e”—口》0在(0,+8)上恒成立，即34黑恒成立，只需3,

44廿4\X27min

设h{x)=号(力>0),则h\x)=―—当-,

XX6

当力e(0,2)时，h\x)V0,当%E(2,+00)时，h\x)>0,

所以函数从G在(0,2)上单调递减，函数月(力)在⑵+8)上单调递增，

所以h(x)的最小值为h(2)二?,所以£&?，解得aWe?.

故实数Q的取值范围是(―oo,e2];

⑵要证函数g⑸在(-1,+8)上有两个极值点，

只需证43)=0在(-1,+8)上有两个不等实根，

x

由题意，当Q=4时，gQ)=e。-/—力+1,则g\x)=e—2x—lf

令P(N)=e。-2/一1,则「'(/)=e。一2,

由p'(力)>0,得力>ln2,由/(力)V0,得力Vln2,

所以p(/)在(ln2,+oo)上单调递增，在(―l,ln2)上单调递减，

又因为p(0)=0,p⑴=e—3V0,0⑵=e2—5>0,

所以存在%i=0,gW(1,2),使得0(力1)=0,0(]2)=0,

所以/i,g是函数/(力)的两个极值点，

即g{x}在(―1,+oo)上有两个极值点.

题型三:利用导致研究函数的最值

法1.大题典例

题团口(2024•江苏泰州•高三统考阶盘练习)已知函数/(C)=/+&"，±eR.

(1)若函数在点(1J(1))处的切线过原点,求实数a的值；

(2)若a=-4,求函数/(,)在区间[-1,4]上的最大值.

【思路分析】

(1)代入求出切点，求导，利用导数的意义求斜率，再由点斜式写出直线方程求出；

(2)求导，分析单调性，求出最值即可.

【规范解答】

(1)切点(1,1+Q),/'(%)=4炉+3g2,%=((1)=4+3a.

切线g—(1+Q)=(4+3a)(rc—1)过(0,0),

，、，、3

/.—1—CL—(4+3cz)(—1),/.a———・

(2)a=-4,f[x)=x4—4炉，

(力)=4力3—12炉=/(41一12)=0,/=0或3,

则当一IV%V0或0V/V3时，/'(力)V0,当3〈力V4时，/'(力)>0,•••

fQ)在［-1,3)上为减，在(3,4］为增，

/(-L)=1+4=5,/⑷=44—4x43=0,.•J(,)max=5.

解法指导

函数/（⑼在区间［a,6］上连续，在（a,6）内可导，则求函数/（⑼最值的步骤为：

⑴求函数/（⑼在区间（a,b）上的极值；

⑵将函数/Q）的各极值与端点处的函数值/（a）,/（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值；

⑶实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最直’点=

噌2.变式训练

蜃目工（2024•安徽黄山必考•一模）已知函数/⑺=j-x2-4ax+a2lnx在c=1处取值得极大值.

⑴求a的值；

（2）求〃0）在区间［i.e］上的最大值.

【答案】（1）3;⑵/

【分析】⑴求导，然后令r（力）=o求出力，代入力=1验证是否符合题意即可：

（2）求导，确定函数在区间［§,e］上的单调性，进而可求最大值.

【解析】（1）由已知/'（2）=3/―4a+［=3砂一?”+稼=（3.—?（z-a）

令（6）=0得力=a或6二冬,

当a=l时，令/'（劣）＞0得0＜力＜~1~或力＞1,令r（力）V0得力V1,

0O

故函数/⑺在（04）上单调递增，在（J,l）上单调递减，在（1,+00）上单调递增，

此时函数/（力）在/=:处取极大值，在/=1处取极小值，

与函数f（c）在力=1处取值得极大值不符；

当号=1,即a=3时，令（（多）＞0得0V/V1或力＞3,令（（力）V0得1V/V3,

o

故函数/（劣）在（—00,1）上单调递增，在（1,3）上单调递减，在（3,+00）上单调递增，

此时函数/（力）在力=1处取极大值，在力=3处取极小值，符合题意；

所以